Расчет обратных тригонометрических функций

Здравствуйте, читатели! Знакомимся мы с вами сегодня с обратными тригонометрическими функциями. Мы узнаем, что такое арксинусы, арккосинусы и арктангенсы – арккотангенсы, и научимся решать примеры с их участием.

Сначала вспомним определение:

Арксинусом числа ,  модуль которого не больше 1, называется такое число из промежутка , синус которого равен .

, если ,

Также мы можем записать это так: , если , а также справедливо: .

Еще нам пригодится такая формула: .

 

Арккосинусом числа ,  модуль которого не больше 1, называется такое число из промежутка , косинус которого равен .

, если ,

Также мы можем записать это так: , если , аналогично  .

Еще нам пригодится такая формула: .

 

Арктангенсом числа называется такое число из промежутка , тангенс которого равен .

, если ,

Также мы можем записать это так: ,  , аналогично  .

Будем пользоваться и такой формулой: .

 

Арккотангенсом числа называется такое число из промежутка , котангенс которого равен .

, если ,

Также мы можем записать это так: ,  , аналогично  .

Будем пользоваться и такой формулой: .

Интересно, что .

Ну что ж, формул много, давайте попробуем их применять на практике.

Вычислить:

Задача 1.  , так как

Задача 2. 

Задача 3.  , так как

Задача 4. 

Так как , то выражение – это  число, синус которого равен 0,6. Тогда косинус этого числа можно вычислить через основное тригонометрическое тождество:

Задача 5. 

Задача 6. 

Задача 7.  . Так как , то . Но , а 6,28 – это .  Тогда . Число меньше 1, и к нему применим формулу :

Задача 8. 

По формуле приведения

Задача 9.  .  Рассуждаем так: – это такое число, синус которого равен . Тогда  по основному тригонометрическому тождеству косинус этолго числа: . Тогда тангенс этого числа – отношение синуса к косинусу:

Задача 10. 

Применим формулу косинуса суммы:

Сначала отдельно рассчитаем значения выражений и :

– если синус угла равен , то косинус найдем через основное тригонометрическое тождество:

Аналогично : если синус числа равен 1/3, то косинус его равен .

Тогда получим:

Имеет ли смысл выражение:

Задача 11. 

Так как , то выражение имеет смысл.

Задача 12.  – выражение смысла не имеет.

Решить уравнение:

Задача 13. 

Применим такой прием:

Тогда

 

Задача 14. 

И снова тот же прием:

 

Доказать тождество:

Задача 15.

Сначала избавимся от отрицательного числа под знаком арккосинуса:

Теперь применим уже знакомый прием, определим косинус правой и левой частей:

Раскрываем по формуле «косинус суммы»:

Теперь определим :

Нам нужно определить косинус такого угла, синус которого равен , воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

Определим  :

Нам нужно определить синус такого угла, косинус которого равен , воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

Вернемся к примеру:

Тождество доказано.

Задача 16.

Снова видим отрицательные числа под знаками арккосинусов, избавимся от них:

Поменяем знаки:

Применим операцию взятия косинуса от правой и левой частей:

Применяем формулу косинуса разности:

Определим :

Нам нужно определить синус такого угла, косинус которого равен , воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

Определим

Нам нужно определить синус такого угла, косинус которого равен , воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

Возвращаемся к примеру:

Тождество доказано.

Вычислить:

Задача 17.

По формулам приведения

Задача 18. 

Применим формулу косинуса суммы:

Сначала отдельно рассчитаем значения выражений и :

– если синус угла равен 3/5, то косинус найдем через основное тригонометрическое тождество:

Аналогично : если синус числа равен 3/5, то косинус его 4/5 (определяем через основное тригонометрическое тождество).

Тогда получим: