Получение уравнения плоскости, параллельной вектору

Несколько задач на построение плоскости. Теперь будем получать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и параллельной заданному вектору.

Задача 1.

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, про него известно, что $AB=5; DC=12; AA_1=14$. Задача: получить уравнение плоскости, проходящей через точки $A_1$ и $B_1$ и параллельной вектору $\vec{BD_1}$.

К задаче 1

Введем систему координат.  Начало совместим с точкой $A$, оси направим так, как показано на рисунке.

К задаче 1- система координат

Определим координаты точки $A_1$: $A_1 (0; 0; 14)$

Определим координаты точки $B_1$: $B_1 (0; 5; 14)$

Определим координаты точки $B$: $B (0; 5; 0)$

Определим координаты точки $D_1$: $D_1 (12; 0; 14)$

Тогда координаты вектора $\vec{ BD_1} \{12; -5; 14\}$. Этот вектор параллелен плоскости, поэтому он перпендикулярен нормали $\vec{n} \{a; b; c\}$. Общее уравнение плоскости

$$ax+by+cz+d=0$$

Если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. Из этого условия и условия принадлежности точек $A_1$ и $B_1$ плоскости составим систему.

Условие перпендикулярности:

$$\vec{n}\cdot\vec{DC}=0$$

Имеем:

$$\begin{Bmatrix}{ a\cdot 12-b\cdot 5+c\cdot 14=0}\\{ a\cdot 0+b\cdot0+c\cdot14+d=0}\\{ a\cdot0+b\cdot 5+c\cdot14+d=0}\end{matrix}$$

Тогда $b=0$, $c=-\frac{d}{14}$, $a=\frac{d}{12}$

И уравнение плоскости принимает вид

$$\frac{1}{12}x-\frac{1}{14}z+1=0$$

Ответ: $\frac{1}{12}x-\frac{1}{14}z+1=0$

Задача 2, для самостоятельного решения. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ записать уравнение плоскости, проходящей через точки $C$ и $C_1$ и параллельной вектору $A_1O$, где $O$ - центр грани $DCC_1D_1$.

К задаче 2- система координат

Показать