Получение уравнения плоскости, параллельной двум ненулевым векторам

Несколько задач на получение уравнения плоскости. Сегодня будем искать уравнение плоскости, параллельной двум векторам.

Задача 1.

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, про него известно, что $AB=5; DC=12; AA_1=14$. Задача: получить уравнение плоскости, проходящей через точку $P$, являющуюся точкой пересечения диагоналей, и параллельной векторам $\vec{AD_1}$ и $B_1C$.

К задаче 1

Введем систему координат.  Начало совместим с точкой $A$, оси направим так, как показано на рисунке.

К задаче 1 - система координат

Определим координаты точки $D_1$: $D_1 (12; 0; 14)$

Определим координаты точки $A$: $A (0; 0; 0)$

Определим координаты точки $C$: $C (12; 5; 0)$

Определим координаты точки $B_1$: $B_1 (0; 5; 14)$

Определим координаты точки $P$: $P (6; 2,5; 7)$

Тогда координаты вектора $\vec{ AD_1} \{12; 0; 14\}$, а координаты вектора $\vec{B_1C} \{12; 0; -14\}$. Оба вектора параллельны плоскости, а значит, перпендикулярны нормали к ней. Поэтому скалярное произведение вектора нормали и данных векторов должно быть равно 0. И дополнит систему уравнение, в которое мы подставим координаты точки $P$, так как она принадлежит плоскости.

Общее уравнение плоскости

$$ax+by+cz+d=0$$

Условия перпендикулярности:

$$\vec{n}\cdot\vec{AD_1}=0$$

$$\vec{n}\cdot\vec{B_1C}=0$$

Имеем:

$$\begin{Bmatrix}{ a\cdot 12+b\cdot 0+c\cdot 14=0}\\{ a\cdot 12+b\cdot0-c\cdot 14=0}\\{ a\cdot6+b\cdot 2,5+c\cdot7+d=0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ 12a+14c=0}\\{12a-14c=0}\\{ 6a+2,5b+7c+d=0}\end{matrix}$$

Если $d=1$, то $b=-0,4$, $c=0$,  $a=0$.

И уравнение плоскости принимает вид

$$-\frac{2}{5}y+1=0$$

Ответ: $-\frac{2}{5}y+1=0$

Задача 2 для самостоятельного решения.

Найти уравнение плоскости, проходящей через точку $M (2; 0; 0)$ и параллельной векторам $TN \{-3; 0; 1\}$ и $KP \{0; 3; -1\}$.

Показать