Две сложные планиметрические задачи из части В

Задачи достаточно интересные. Первая заставила подумать над решением, вторая - над условием. Интересны они также тем, что присутствуют в части В - под номером 6, для которого в целом являются необычными.

Задача 1.

В треугольнике $ABC$, в котором угол $\angle A=30^{\circ}$ и  $\angle B=105^{\circ}$, проведена медиана $CM$. Найдите угол $\angle MCA$, ответ дайте в градусах.

К задаче 1

Решение. Определим угол $\angle C$:

$$\angle C=180^{\circ}-105^{\circ}-30^{\circ}=45^{\circ}$$

Такие углы - $30^{\circ}$ и $45^{\circ}$ - наталкивают на построение высоты треугольника. Построим $BH$, которая разобьет треугольник на два: равнобедренный $BHC$ и треугольник $ABH$ с углом в $30^{\circ}$. Против угла в $30^{\circ}$ лежит катет, который вдвое короче гипотенузы. Поэтому $BM=BH=HC=MH$, треугольник $BMH$ - правильный. А треугольник $MHC$ - равнобедренный, и, так как угол $\angle MHB=60^{\circ}$ - то угол $\angle MHС=150^{\circ}$, и $\angle MCA=\frac{180^{\circ}-150^{\circ}}{2}=15^{\circ}$.

Ответ: $\angle MCA=15^{\circ}$.

Задача 2.

Средняя линия треугольника образует со стороной углы, которые в три раза больше углов треугольника при этой стороне. Найдите углы треугольника.

К задаче 2

Рассмотрим треугольник $ABC$ и его среднюю линию $ME$. Пусть $\angle BEM=x$ и $\angle CEM=y$. Пусть $\angle ABC=\frac{x}{3}$, тогда, чтобы условие было до конца соблюдено, то $y=3x$. Тогда, так как $x+y=180^{\circ}$ (как односторонние), то $4x=180^{\circ}$, $x=45^{\circ}$. Тогда углы треугольника $\angle ACB=45^{\circ}$, $\angle ABC=15^{\circ}$, $\angle BAC=180{\circ}-45^{\circ}-15^{\circ}=120^{\circ}$.

Ответ: $45^{\circ}$, $15^{\circ}$, $120^{\circ}$.