Два способа решить одну тригонометрическую задачу

Представим больший угол как сумму двух углов по $36^{\circ}$:

$$\operatorname{tg}^2 36^{\circ}\cdot \operatorname{tg}^2 72^{\circ}=\operatorname{tg}^2 36^{\circ}\cdot \left(\frac{2\operatorname{tg} 36^{\circ}}{1-\operatorname{tg}^2 36^{\circ}}\right)^2=\frac{4\operatorname{tg}^4 36^{\circ}}{\left(1-\operatorname{tg}^2 36^{\circ}}\right)^2$$

Так как тангенсы смежных углов отличаются знаком, то

$$\operatorname{tg} 72^{\circ}=-\operatorname{tg} 108^{\circ}$$

Но $72^{\circ}=2\cdot 36^{\circ}$, а $108^{\circ}=3\cdot 36^{\circ}$. То есть

$$\operatorname{tg} 2\alpha+\operatorname{tg} 3\alpha=0$$

Опять воспользуемся формулой «сумма тангенсов»

$$\frac{2\operatorname{tg} \alpha}{1-\operatorname{tg}^2 \alpha}+\frac{\operatorname{tg} 2\alpha +\operatorname{tg} \alpha}{1-\operatorname{tg} \alpha\cdot \operatorname{tg} 2\alpha }=0$$

$$\frac{2\operatorname{tg} \alpha}{1-\operatorname{tg}^2 \alpha}+\frac{\frac{2\operatorname{tg} \alpha}{1-\operatorname{tg}^2 \alpha} +\operatorname{tg} \alpha}{1-\operatorname{tg} \alpha\cdot \frac{2\operatorname{tg} \alpha}{1-\operatorname{tg}^2 \alpha} }=0$$

Сократим:

$$\frac{2}{1-\operatorname{tg}^2 \alpha}+\frac{\frac{2}{1-\operatorname{tg}^2 \alpha} +1}{1-\operatorname{tg} \alpha\cdot \frac{2\operatorname{tg} \alpha}{1-\operatorname{tg}^2 \alpha} }=0$$

$$\frac{2}{1-\operatorname{tg}^2 \alpha}+\frac{\frac{2+1-\operatorname{tg}^2 \alpha }{1-\operatorname{tg}^2 \alpha }}{\frac{1-\operatorname{tg}^2 \alpha- 2\operatorname{tg}^2 \alpha}{1-\operatorname{tg}^2 \alpha }}=0$$

$$\frac{2}{1-\operatorname{tg}^2 \alpha}+\frac{3-\operatorname{tg}^2 \alpha }{1-3\operatorname{tg}^2 \alpha}=0$$

$$\frac{2(1-3\operatorname{tg}^2 \alpha )+(3-\operatorname{tg}^2 \alpha)( 1-\operatorname{tg}^2 \alpha) }{(1-3\operatorname{tg}^2 \alpha)( 1-\operatorname{tg}^2 \alpha )}=0$$

$$2-6\operatorname{tg}^2 \alpha +3-3\operatorname{tg}^2 \alpha-\operatorname{tg}^2 \alpha +\operatorname{tg}^4 \alpha=0$$

$$\operatorname{tg}^4 \alpha -10\operatorname{tg}^2 \alpha+5=0$$

$$\operatorname{tg}^2 \alpha=5 \pm\sqrt{20}$$

Но угол у нас меньше $45^{\circ}$, поэтому $\operatorname{tg} \alpha<1$, $\operatorname{tg}^2 \alpha<1$,

$$\operatorname{tg}^2 \alpha=5 -\sqrt{20}$$

Вернемся к (1):

$$\operatorname{tg}^2 36^{\circ}\cdot \operatorname{tg}^2 72^{\circ}=\frac{4\operatorname{tg}^4 36^{\circ}}{\left(1-\operatorname{tg}^2 36^{\circ}}\right)^2}=\frac{4(5 -\sqrt{20})^2}{\left(1-5 +\sqrt{20}\right)^2}=\frac{4(25 -10\sqrt{20}+20)}{\left(4 -\sqrt{20}\right)^2}=\frac{4(45 -10\sqrt{20})}{\left(16 -8\sqrt{20}+20\right)}$$

$$\operatorname{tg}^2 36^{\circ}\cdot \operatorname{tg}^2 72^{\circ}=\frac{4(45 -10\sqrt{20})}{36 -8\sqrt{20}}=\frac{45 -10\sqrt{20}}{9 -2\sqrt{20}}=\frac{(45 -10\sqrt{20})(9+2\sqrt{20})}{(9 -2\sqrt{20})(9 +2\sqrt{20})}=\frac{405 +90\sqrt{20}-90\sqrt{20}-400}{81-80}=5$$

Построим треугольник $ABC$, равнобедренный, с углами при основании, равными $72^{\circ}$, и углом при вершине $36^{\circ}$. Проведем в нем биссектрису $BF$. Пусть длины отрезков $BF=AF=BC=1$, тогда длина стороны треугольника $AB=AC=AF+FC=1+ x$. По свойству биссектрисы:

$$\frac{1}{x}=\frac{1+x}{1}$$

$$x^2+x-1=0$$

$$D=5$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$$

По теореме косинусов для треугольника $BFC$

$$BF^2=FC^2+BC^2-2\cdotBC\cdotFC\cdot\cos{72^{\circ}$$

$$\cos{72^{\circ}=\frac{ BF^2-FC^2-BC^2}{-2\cdotBC\cdotFC }=\frac{ 1-x^2-1}{-2x}=\frac{x^2}{2x}=\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$$

$$\cos^2{72^{\circ}=\frac{6-2\sqrt{5}}{16}=\frac{3-\sqrt{5}}{8}$$

$$\sin^2{72^{\circ}=1-\cos^2{72^{\circ}=1-\frac{3-\sqrt{5}}{8}=\frac{5+\sqrt{5}}{8}$$

$$\operatorname{tg}^2 72^{\circ}=\frac{5+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$$

По теореме косинусов для треугольника $BAF$

$$BF^2=AB^2+AF^2-2\cdotAB\cdotAF\cdot\cos{36^{\circ}$$

$$\cos{36^{\circ}=\frac{ BF^2-AB^2-AF^2}{-2\cdotAB\cdotAF }=\frac{ 1-1-(1+x)^2}{-2(1+x)}=\frac{1+x}{2}=\frac{1+\frac{(\sqrt{5}-1)}{2}}{2}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$$

$$\cos^2{36^{\circ}=\frac{(\sqrt{5}+1)^2}{16}=\frac{6+2\sqrt{5}}{16}=\frac{3+\sqrt{5}}{8}$$

$$\sin^2{36^{\circ}=1-\cos^2{36^{\circ}=1-\frac{3+\sqrt{5}}{8}=\frac{5-\sqrt{5}}{8}$$

$$\operatorname{tg}^2 36^{\circ}=\frac{5-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$$

И, наконец,

$$\operatorname{tg}^2 36^{\circ}\cdot \operatorname{tg}^2 72^{\circ}=\frac{5-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}\cdot\frac{5+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}=\frac{25-5}{9-5}=5$$

Ответ: 5