Простая физика
10-11 класс
Категория:
Уравнения (13)Вывод формул тригонометрии
Всем понятно, что на экзамене чувствуешь себя иначе, чем в обычной жизни. Без волнения никак. Нервы сдают даже у самых стойких. Поэтому сдавать экзамен нужно учиться: не засиживаться на одной задаче, лучше потом к ней еще раз вернуться; искать разные подходы – не подошел один,...
Категория:
10-11 классДва способа решить одну тригонометрическую задачу
Два способа решить одну тригонометрическую задачу.
Задача 1. Найти $\operatorname{tg}^2 36^{\circ}\cdot \operatorname{tg}^2 72^{\circ}$.
Решение алгебраическое.
Показать
Представим больший угол как сумму двух углов по $36^{\circ}$:
$$\operatorname{tg}^2 36^{\circ}\cdot \operatorname{tg}^2 72^{\circ}=\operatorname{tg}^2 36^{\circ}\cdot \left(\frac{2\operatorname{tg} 36^{\circ}}{1-\operatorname{tg}^2 36^{\circ}}\right)^2=\frac{4\operatorname{tg}^4 36^{\circ}}{\left(1-\operatorname{tg}^2 36^{\circ}}\right)^2$$
Так как тангенсы смежных углов отличаются знаком,...
Категория:
Сложная алгебра (задание 20)Алгебраические преобразования
Пара алгебраических задач на сообразительность. Для тренировки при решении задачи 21 ОГЭ и задачи 9 ЕГЭ.
Задача 1.
Если $a^2+12\sqrt{a}=5, a>0$, то $a+2\sqrt{a}=?$
Решение.
Показать
Пусть $\sqrt{a}=t$, тогда
$$t^4+12t=5$$
А ищем мы $t^2+2t$.
$$t^4+12t-5=0$$
$$t^4+4t^2+4-4t^2+12t-9=0$$
$$(t^2+2)^2-(2t-3)^2=0$$
Раскроем как разность квадратов:
$$(t^2+2-2t+3)( t^2+2+2t-3)=0$$
$$(t^2-2t+5)( t^2+2t-1)=0$$
Либо
$$t^2-2t+5=0$$
Тут корней нет.
$$t^2+2t-1=0$$
То есть...
Категория:
10-11 классРешение квадратных уравнений методом "переброски"
Решение квадратных уравнений методом «переброски» - а вы владеете этим способом? Нет – давайте учиться, это просто!
Задача 1.
Решить уравнение.
$$2x^2-9x+9=0$$
Уравнение неприведенное, и по коэффициентам не решается. Давайте используем для его решения метод переброски. Для этого «перебрасываем» коэффициент $a$ к коэффициенту $c$, и перемножаем их....
Категория:
10-11 классПолучение уравнения плоскости, параллельной двум ненулевым векторам
Несколько задач на получение уравнения плоскости. Сегодня будем искать уравнение плоскости, параллельной двум векторам.
Задача 1.
Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, про него известно, что $AB=5; DC=12; AA_1=14$. Задача: получить уравнение плоскости, проходящей через точку $P$, являющуюся точкой пересечения диагоналей, и параллельной векторам $\vec{AD_1}$ и $B_1C$.
Категория:
10-11 классПолучение уравнения плоскости, параллельной вектору
Несколько задач на построение плоскости. Теперь будем получать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и параллельной заданному вектору.
Задача 1.
Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, про него известно, что $AB=5; DC=12; AA_1=14$. Задача: получить уравнение плоскости, проходящей через точки $A_1$ и $B_1$ и параллельной вектору $\vec{BD_1}$.
Категория:
ЕГЭ профильИзвлекаем корни в столбик без калькулятора
Очень это полезное умение - извлекать корни без калькулятора. На ЕГЭ - точно пригодится. Возможно, и на ОГЭ поможет.
Категория:
Экстремумы функций (12)Производная сложной функции
Производная сложной функции – да ведь это же просто! Нужно найти «вложенные» функции и взять производные по очереди от каждой, и затем перемножить.
Задача 1.
Определить производную функции: $$y=7^{\arcsin^2 x}$$ Решение: $$y’=7^{\arcsin^2 x}\cdot \ln 7 \cdot(\arcsin^2 x)’=7^{\arcsin^2 x}\cdot \ln 7\cdot2\arcsin^1 x \cdot (\arcsin x)’=7^{\arcsin^2...
Категория:
10-11 классДве сложные планиметрические задачи из части В
Задачи достаточно интересные. Первая заставила подумать над решением, вторая - над условием. Интересны они также тем, что присутствуют в части В - под номером 6, для которого в целом являются необычными.
Задача 1.
В треугольнике $ABC$, в котором угол $\angle A=30^{\circ}$ и $\angle B=105^{\circ}$, проведена...
Категория:
МатематикаДВИ в МГУ им. М.В. Ломоносова. Задача 8
Решим сегодня задачу из дополнительных вступительных испытаний в Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова. Задача была предложена в июле этого (2016) года на вступительных экзаменах под номером 8.
Найдите наименьшее значение выражения
$$\sqrt{106+\log_a^2 \cos ax+ \log_a \cos^{10} ax}+\sqrt{58+\log_a^2 \sin ax- \log_a \sin^6 ax}+\sqrt{5+\log_a^2 \operatorname{tg} ax+ \log_a \operatorname{tg}^2...
Интересная планиметрическая задача
Попалась хорошая интересная задача. Попробуйте решить ее сами, прежде чем подглядывать в решение.
Задача. В равнобедренном треугольнике $ABC$, где $AB=BC$, построили биссектрису $AD$. Оказалось, что $AD+BD=AC$. Найти угол $\angle B$.
Показать
...
Категория:
Уравнения (13)Неравенство и система
Неравенство, которое может сначала испугать, а оказывается, что его может решить и школьник 7 класса, и система с некрасивыми числами рассмотрены в этой статье.
1.Решите неравенство:
$$\sqrt{32s^{52752}-16s^{105504}-16}+11s^{466436}-78<0$$
Неравенство выглядит жутковато, но нас не испугать. Мы знаем, что подкоренное выражение неотрицательно. А если приглядеться, то можно под корнем углядеть...
Категория:
10-11 классЗадача 17 - определение срока кредитования.
Задача 17 - одна из сложных задач ЕГЭ. Они делятся на "экономические" и "неэкономические". В первых, как правило, нужно уметь определять срок кредитования, сумму кредита, банковский процент или величину платежа.
Задача 1.
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на...
Категория:
10-11 классЗадача 17. Определение процента банка.
Задача 1.
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100000 рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на а% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.
Найдите число а,...
Категория:
МатематикаПрототипы заданий 1-14 ЕГЭ по математике (с ответами)
Скачать (PDF, 4.30M)
//
Категория:
10-11 классЗадача 17 ЕГЭ-2016. Кредиты. Разные задачи.
//
//
Задача 1: Вкладчик внёс некоторую сумму в сбербанк под определённый процент годовых. Через год он взял половину получившейся суммы и переложил её...
Категория:
Уравнения (13)Тригонометрические уравнения 5
//
//
Задание 1. Решите уравнение:
$$ \cos^2 x+\sin^4 x=1$$
Категория:
Неравенства (15)Компактное неравенство с модулями
Решим небольшое неравенство, которое включает в себя как логарифмы, так и модули, и может быть решено с помощью метода рационализации.
$$log_{\left|x-3\right|} {\left|x^2-5x+6 \right|}<2$$
$$log_{\left|x-3\right|} {\left|x^2-5x+6 \right|}< log_{\left|x-3\right|} {\left( x-3 \right)}^2$$
Применяем метод рационализации:
$${\left({ \left| x-3 \right|}-1 \right)} {\left({ \left| x^2-5x+6 \right|}- {\left( x-3 \right)}^2 \right)}<0$$
Теперь надо определить, в...
Категория:
Уравнения (13)Тригонометрические уравнения 4. Тренируемся решать и выбирать корни
//
//
Рассмотрим сегодня несколько тригонометрических уравнений.
Задание 1. Решить уравнение:
$$\sqrt{1+\sin...
Категория:
Уравнения (13)Возвратные уравнения
Сегодня будем решать возвратные уравнения. Возвратными называются такие уравнения, в которых коэффициенты, одинаково удаленные от начала и конца, равны между собой. Например:
$$2x^5-3x^4-x^3-x^2-3x+2=0$$
...
Категория:
Планиметрия (17)Геометрическая задача и два способа ее решения.
Сегодня я предлагаю вашему вниманию интересную геометрическую задачу. Попробуйте решить ее самостоятельно прежде, чем посмотреть решение. Я предлагаю два способа решения этой задачи: первый основан на свойстве биссектрисы о пропорциональном делении ею противолежащей стороны, а второй, предложенный Инной Фельдман (сайт ЕГЭ?ОК!) – на...
Категория:
МатематикаИнтересные уравнения и их системы
//
//
Несколько интересных уравнений попалось, давайте разберем вместе их...
Категория:
МатематикаЗадача 14 - стереометрия. Профиль.
Задача 1. В прямоугольном параллелепипеде у которого АВ=4, ВС=6, , найдите тангенс угла между плоскостями и
Категория:
МатематикаСтереометрия. Задача 14. Призмы и пирамиды.
Задача 1. В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми и .
...
Категория:
МатематикаЗадача 16 - планиметрическая задача профильного ЕГЭ
Задача 1. Дан прямоугольник KLMN со сторонами KN=13, MN=6. Прямая, проходящая через вершину М, касается окружности с центром К радиуса 3 и пересекается с прямой KN в точке Q. Найдите QK.
Нарисуем картинку.
...
Категория:
ЕГЭ профильНеравенства профильного ЕГЭ (задания 15) - не опять, а снова!
И еще немного неравенств… Обязательно помним про ОДЗ там, где есть корни, логарифмы, дроби!
Задание 1. Решить систему неравенств:
Категория:
ЕГЭ профильНеравенства профильного ЕГЭ (задания 15) - еще немного!
//
//
И еще немного неравенств… Обязательно помним про ОДЗ там, где есть корни, логарифмы, дроби!
Задание 1. Решить неравенство:
Категория:
ЕГЭ профильНеравенства профильного ЕГЭ - задания 15 (С3) - продолжение
И еще немного неравенств… Обязательно помним про ОДЗ там, где есть корни, логарифмы, дроби!
Задание 1. Решить неравенство:
ОДЗ:
1)
Категория:
ЕГЭ профильНеравенства профильного ЕГЭ - задания 15 (С3)
Неравенства… Задания, которые, как правило, требуют повышенного внимания и аккуратности. Сегодня рассматриваем неравенства, простые и сложные, и одно уравнение.
Задание 1. Решить систему неравенств:
Категория:
ЕГЭ профильУравнения и неравенства с модулями
// //
Сегодня порешаем немного заданий с модулями, вспомним, как они раскрываются, будут и уравнения, и неравенства. Поехали…
Задание 1. Решить уравнение:
Категория:
Уравнения (13)Уравнения из ЕГЭ прошлых лет. Задание 15.
И еще немного уравнений! Рассмотрим уравнения из заданий С1 ЕГЭ 2013. Все они разные, есть очень простые, есть посложнее, с логарифмами и с модулями.
Задание 1. Решить уравнение:
Уравнение очень просто и быстро решается подбором, только для подобранного...
Категория:
Уравнения (13)Уравнения из ЕГЭ 2013
Всем привет! Сегодня разберем решение нескольких уравнений с выбором корней. Такие задания обычны в ЕГЭ – раньше они шли под номером С1, теперь это 15 задание профильного ЕГЭ. Предлагаю вашему вниманию задания из ЕГЭ 2013.
Задание 1. Решите уравнение:
Категория:
Уравнения (13)Тригонометрические уравнения 3
При решении тригонометрических уравнений могут появиться посторонние корни, если:
1) Уравнение содержит тангенс или котангенс;
2) Обе части уравнения умножаются или делятся на выражение, содержащее неизвестное;
3) Обе части уравнения возводятся в квадрат.
При решении тригонометрических уравнений могут быть потеряны корни, если:
1) Обе части уравнения умножаются или делятся на...
Категория:
Уравнения (13)Тригонометрические уравнения 2
//
//
В этой статье будут рассмотрены тригонометрические уравнения с корнями. Прежде чем приступить к решению, вспомним, когда появляется опасность потерять корни или приобрести...
Категория:
Уравнения (13)Тригонометрические уравнения 1
//
//
В этой статье будут рассмотрены тригонометрические уравнения с корнями. Прежде чем приступить к решению, вспомним, когда появляется опасность потерять корни или приобрести...
Категория:
10-11 классРасчет обратных тригонометрических функций
//
//
Здравствуйте, читатели! Знакомимся мы с вами сегодня с обратными тригонометрическими функциями. Мы узнаем, что такое арксинусы, арккосинусы и арктангенсы – арккотангенсы, и...
Категория:
ЕГЭ профильСложные системы уравнений
//
//
Я решила сделать отдельную запись с решениями таких...
Категория:
ЕГЭ профильСистемы уравнений с логарифмами
//
//
Пример 1. Решить систему уравнений.
Категория:
ЕГЭ профильСистемы уравнений, содержащие степенные уравнения
//
//
Пример 1. Решить систему уравнений.
Категория:
ЕГЭ профильСистемы уравнений с радикалами
//
//
При решении систем уравнений с радикалами очень важно...
Категория:
ОГЭ по математикеПростые системы уравнений
//
//
Системы уравнений. Не самая простая тема. Есть способы...
Категория:
ФункцииЗадания 23 (С3) ОГЭ 2015 на построение графиков функций.
Здравствуйте, друзья! Я недавно приобрела новую книжечку для подготовки к ОГЭ (страшно люблю книжки покупать), и там попались мне на глаза задания С3, которые показались интересными для разбора. Поэтому сегодня я предлагаю их вашему вниманию. Задачи на построение сложных графиков функций вы найдете также в...
Категория:
ФункцииПериодичность функций
В этой статье обсуждаем периодичность функций: как определить, периодична ли функция, и каков ее период.
Функция периодична, если некоторый набор ее значений повторяется раз за разом, и точки с одинаковыми значениями функции расположены на числовой оси с равными промежутками. Это расстояние и будем называть периодом. Периодичная...
Категория:
ФункцииЧётность и нечётность функций
Привет всем посетителям! Сегодня рассматриваем вопрос четности и нечетности функций.
Правило:
Если , то функция четная.
Если , то функция нечетная.
При этом важно, чтобы область определения функции была бы симметричной...
Категория:
ФункцииПредел функции
Функция имеет предел А при , если с приближением значения аргумента к числу значение...
Категория:
ФункцииОбласть значений функции
Всем здравствуйте! Тренируемся находить область значений функции! Кто еще не понял, что такое область определения (а она нам тоже понадобится непременно), тому сюда.
Что же такое область значений функции? Это та "часть" оси ординат, та область, где можно наткнуться на какие-либо точки, принадлежащие...
Категория:
ФункцииОбласть определения функции
Сегодня потренируемся в отыскании области определения выражения и функции.
Когда отыскивают область определения функции, то часто она совпадает с областью определения выражения, задающего функцию: такая область определения называется естественной. Но бывает и так, что условия задачи накладывают особые ограничения: например, естественная область определения функции от (-8)...