Расчет переходного процесса в цепи с индуктивностью и источником тока классическим и операторным методами

Задача. В цепи, приведенной на рисунке, определить ток в индуктивности классическим и операторным методами расчета.  $R_1=R_4=3$ Ом, $R_2=R_3=6$ Ом, $E=108$ В, $J=4$ А, $L=1$ мГн.

Исходная расчетная цепь

Решение. Цепь отличается наличием в ней источника тока. Ключ размыкается, вследствие чего в цепи появляется дополнительное сопротивление ($R_4$), которое до коммутации было шунтировано перемычкой. Сначала сделаем расчет классическим методом. Для этого необходимо: 1) рассчитать цепь до коммутации – так мы узнаем начальное значение искомого тока; 2) рассчитать цепь после коммутации – так мы узнаем установившееся значение искомого тока; 3) составить характеристическое уравнение цепи – решив его, узнаем постоянную степени экспоненты $p$; 4) определить постоянную интегрирования и записать окончательное решение.

Делаем!

1) Цепь до коммутации представляет собой вот что:

Цепь до коммутации

Сделаем расчет этой цепи методом двух узлов (цель – ток в ветви с индуктивностью):

$$U_{ab} (0_{-})=\frac{\frac{E}{R_1}-J}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}}$$

$$U_{ab} (0_{-})=\frac{\frac{108}{3}-4}{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}}=\frac{32}{\frac{2}{3}}=48$$

Ток в ветви с индуктивностью:

$$I_L(0_{-})=\frac{ U_{ab} (0_{-})}{R_2}=\frac{48}{6}=8$$

2) Цепь после коммутации, когда токи установились, такая:

Цепь после коммутации

Также сделаем расчет методом двух узлов и определим ток в ветви с индуктивностью спустя большое время:

$$U_{ab} (\infty)=\frac{\frac{E}{R_1+R_4}-J}{\frac{1}{R_1+R_4}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}}$$

$$U_{ab} (\infty)=\frac{\frac{108}{6}-4}{\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}}=\frac{14}{\frac{1}{2}}=28$$

Ток в ветви с индуктивностью:

$$I_L(\infty)=\frac{ U_{ab} (\infty)}{R_2+R_4}=\frac{28}{6}=\frac{14}{3}$$

3) Составляем характеристическое уравнение. Для этого источник тока в схеме, сложившейся после коммутации, надо оборвать, источник напряжения – закоротить, получить цепь, состоящую из сопротивлений. Индуктивность в этой цепи заменяется на $pL$.

Закоротили ЭДС, оборвали источник тока, заменили катушку

Затем эту цепь нужно разорвать в любом месте и определить ее сопротивление относительно точек разрыва.

Ищем сопротивление цепи относительно полученных приразрыве зажимов

$$Z=R_1+R_4+\frac{(R_2+pL)R_3}{R_2+pL+R_3}$$

$$ R_1+R_4+\frac{(R_2+pL)R_3}{R_2+pL+R_3}=0$$

$$ 3+3+\frac{(6+pL)6}{6+pL+6}=0$$

$$ 1+\frac{6+pL}{12+pL}=0$$

$$6+pL=-12-pL$$

$$2pL=-18$$

$$2p\cdot 10^{-3}=-18$$

$$p=-9000$$

4) Осталось разобраться с постоянной интегрирования. Для этого запишем решение для тока в индуктивности в виде суммы свободной $ A\cdot e^{pt}$ и принужденной $ I_L(\infty)$ составляющих:

$$i_L(t)=I_L(\infty)+A\cdot e^{pt}$$

И подставим ноль в качестве времени:

$$i_L(0)=I_L(\infty)+A\cdot e^{0}$$

$$8 =\frac{14}{3}+A$$

Откуда

$$A=8-\frac{14}{3}=\frac{10}{3}$$

Ответ: $i_L(t)= \frac{14}{3}+\frac{10}{3}\cdot e^{-9000t}$

 

Отлично. Переходим к операторному методу расчета. Для этого 1) цепь, сложившуюся после коммутации, заменяем операторной схемой замещения. Источники заменяются на $\frac{E}{p}$ и $\frac{J}{p}$, а индуктивность – сопротивлением $pL$ и источником напряжения $L\cdot i_L(0)$.

Операторная схема замещения

Теперь 2) снова определим напряжение $U_{ab}(p)$ методом двух узлов. Тем самым найдем изображение этого напряжения по Лапласу:

$$ U_{ab}(p)=\frac{\frac{E}{p(R_1+R_4)}-\frac{Li_L(0)}{pL+R_2}-\frac{J}{p}}{\frac{1}{R_1+R_4}+\frac{1}{R_2+pL}+\frac{1}{R_3}}$$

Здесь мне удобнее уже подставить численные значения резисторов и источников:

$$ U_{ab}(p)=\frac{\frac{18}{p}-\frac{8L}{pL+6}-\frac{4}{p}}{\frac{1}{6}+\frac{1}{6+pL}+\frac{1}{6}}$$

$$ U_{ab}(p)=\frac{\frac{14(6+pL)-8pL}{p(pL+6)}}{\frac{1}{3}+\frac{1}{6+pL}}$$

$$U_{ab}(p)=\frac{\frac{14(6+pL)-8pL}{p(pL+6)}}{\frac{6+pL}{3(6+pL)}+\frac{3}{3(6+pL)}}$$

$$U_{ab}(p)=\frac{\frac{14(6+pL)-8pL}{p(pL+6)}}{\frac{9+pL}{3(6+pL)}}$$

Скобку $6+pL$ сокращаем:

$$U_{ab}(p)=\frac{\frac{14(6+pL)-8pL}{p}}{\frac{9+pL}{3}}$$

$$U_{ab}(p)=\frac{(14\cdot 6+6pL)\cdot 3}{p(9+pL)}$$

Теперь надо определить ток. Но для этого нельзя разделить полученное напряжение на сопротивление $R_2+pL$! Потому что есть еще источник $ L\cdot i_L(0)$. По второму закону Кирхгофа можем записать:

$$I_L(p)=\frac{U_{ab}(p)+L\cdot i_L(0)}{R_2+pL}=\frac{18(14+pL)}{p(9+pL)(6+pL)}+\frac{8L}{6+pL}$$

$$I_L(p)=\frac{18(14+pL)+8Lp(9+pL)}{p(9+pL)(6+pL)}$$

$$I_L(p)=\frac{252+18pL+72pL+8p^2L^2}{ p(9+pL)(6+pL)}$$

$$ I_L(p)=\frac{252+90pL+8p^2L^2}{ p(9+pL)(6+pL)}$$

Разложим числитель на множители, я сделала это с помощью $\frac{D}{4}$:

$$\frac{D}{4}=45^2-252\cdot 8=9$$

Корни:

$$pL=\frac{-45+3}{8}=-5,25$$

И

$$pL=\frac{-45-3}{8}=-6$$

Таким образом,

$$ I_L(p)=\frac{8(pL+6)(pL+5,25)}{ p(9+pL)(6+pL)}= \frac{8(pL+5,25)}{ p(9+pL)}$$

$$ I_L(p)=\frac{ (8pL+42)}{ p(9+pL)}$$

Ура! Осталось 3) найти по данному изображению оригинал.

Для поиска оригинала воспользуемся теоремой разложения – ведь у нас дробь, степень знаменателя которой превышает степень числителя. Записываем числитель:

$$F_1(p)=8pL+42$$

Записываем знаменатель:

$$F_2(p)= p(9+pL)=9p+p^2L$$

Приравниваем к нулю знаменатель и ищем корни:

$$p_1=0$$

$$p_2=-9000$$

Берем производную от знаменателя:

$$ F_2(p)^{‘}=9+2pL$$

Находим значение числителя, подставляя первый корень:

$$F_1(p_1)=42$$

Находим значение числителя, подставляя второй корень:

$$F_1(p_2)=-30$$

Находим значение производной знаменателя, подставляя первый корень:

$$ F_2(p_1)^{‘}=9$$

Находим значение производной знаменателя, подставляя второй корень:

$$ F_2(p_2)^{‘}=-9$$

Теперь находим оригинал тока по теореме разложения:

$$i_L(t)=\frac{ F_1(p_1)}{ F_2(p_1)^{‘}}\cdot e^{p_1t}+\frac{ F_1(p_2)}{ F_2(p_2)^{‘}}\cdot e^{p_2t}$$

$$i_L(t)=\frac{42}{9}+\frac{(-30)}{(-9)}\cdot e^{-9000t}$$

$$i_L(t)=\frac{14}{3}+\frac{10}{3}\cdot e^{-9000t}$$

Ответ: $i_L(t)=\frac{14}{3}+\frac{10}{3}\cdot e^{-9000t}$

График тока: