Переходные характеристики цепи

В этой статье рассматривается несколько примеров отыскания переходных функций цепей.

Переходная характеристика цепи – это отношение реакции этой цепи при нулевых начальных условиях на единичное ступенчатое воздействие. То есть это отклик цепи при подключении ее к источнику тока 1 А или источнику напряжения 1В. При расчете переходной характеристики совершенно не важно, какие на самом деле в цепи присутствуют источники – она не зависит ни от их формы, ни от амплитуды. Она определяется только структурой самой цепи: какие в цепь входят элементы и как они соединены. Из этого понятно, что переходную характеристику рассчитывают при отсутствии внутренних источников энергии. Иногда при подключении цепи к единичному источнику напряжения говорят о переходной проводимости (при расчете тока в этой цепи), а при подключении к единичному источнику тока – о переходном сопротивлении (при расчете напряжения). Поэтому размерность переходных характеристик может быть самой разной: например, если рассчитывается ток в ветви, а цепь подключается к единичному источнику напряжения, то размерность будет См, а если в этом случае мы подключаем цепь к единичному источнику тока – то переходная характеристика безразмерна.

Чтобы определить переходную характеристику, цепь надо рассчитать так или иначе, например, классическим или операторным методом. В случае использования операторного метода надо не забыть определить оригинал переходной характеристики.

Начнем с простых цепей и попробуем записать для них переходные и импульсные характеристики.

Пример 1. Дана цепь, в которой Ом, мкГн. Найдем для этой цепи переходные характеристики для отыскания тока и напряжения на резисторе. Для этого рассчитаем цепь классическим методом.

Определяем ток в индуктивности до коммутации (ключ открыт). .

Определяем ток в индуктивности после коммутации (ключ закрыт, переходной процесс завершен) .

Записываем характеристическое уравнение и находим его корень, для этого исключаем источник из цепи (закорачиваем), разрываем цепь в любом месте, относительно получившихся точек разрыва записываем комплексное сопротивление цепи, где производим замену на p: , , откуда .

Ток в индуктивности тогда . Чтобы определить постоянную интегрирования, используем закон коммутации: , тогда можем записать: , тогда , откуда .

Записываем ток в индуктивности: . Напряжение на резисторе тогда .

Заметим, что пока при расчете мы не акцентировали внимания на том, какой формы напряжение на источнике. Теперь предполагаем, что это единичный источник: E=1 B. Тогда определяем переходные характеристики для тока: (при подстановке R получим  ) и для напряжения на резисторе: .

Пример 2. Рассчитать переходную характеристику (переходную проводимость) для расчета тока и напряжения , если Ом, Ом, мкФ.

Рассчитаем цепь классическим методом. При этом придется сначала определить напряжение на емкости, так как оно подчиняется закону коммутации.

Определяем состояние цепи до коммутации (до подключения источника). В этом случае токи во всех ветвях отсутствуют, конденсатор разряжен: .

После подключения источника и окончания переходного процесса в цепи конденсатор заряжен, ток протекает в контуре . Конденсатор зарядится до напряжения, равного напряжению на резисторе , так как кондесатор подключен параллельно ему. Ток равен . Напряжение на конденсаторе: .

Запишем теперь характеристическое уравнение цепи. Для этого исключим источник энергии из цепи, и заменим конденсатор его комплексным сопротивлением, при этом заменяем на p:

,

откуда ,

.

Напряжение на емкости найдем как сумму свободной и принужденной составляющей:

, свободную ищем в виде , принужденная уже определена нами – это напряжение на конденсаторе по окончании переходного процесса .

Тогда можем записать: ,

А при подстановке известных чисел получим: .

Определяем постоянную интегрирования, пользуясь законом коммутации:

,

,

.

Тогда напряжение на емкости:

.

Определим ток в емкости через производную:

Разделив напряжение на емкости на сопротивление , получим ток :

.

Осталось определить , для этого воспользуемся первым законом Кирхгофа:

Теперь, предполагая, что источник напряжения – единичный, запишем переходную проводимость:

.

 

Пример 3. В данной цепи найти переходные характеристики для отыскания токов   и напряжения на конденсаторе. Для этого рассчитаем цепь операторным методом.

Составляем операторную схему замещения. Для этой схемы записываем систему уравнений Кирхгофа:

Из этой системы можно выразить по очереди нужные токи, а затем отыскать их оригиналы. Однако эта схема – схема с двумя узлами, а такую схему проще рассчитать методом двух узлов.

По методу двух узлов записываем напряжение между точками а и b:

Так как , то

Найдем сразу корни знаменателя:

Записанное нами напряжение – это уже готовое напряжение на емкости . Чтобы найти ток в резисторе нужно поделить это напряжение на сопротивление резистора:

Определим оригиналы. Для этого воспользуемся теоремой разложения. Числитель:

Нам понадобится также производная знаменателя:

Определяем оригинал напряжения на емкости:

Для упрощения решения можем определить оригинал тока не по его изображению, а разделив оригинал напряжения на сопротивление резистора :

Зная оригинал напряжения на емкости, можем найти ток в емкости, взяв производную:

Ток найдем по первому закону Кирхгофа:

Если теперь во всех полученных нами выше уравнениях заменить источник на единичный, получим переходные характеристики:

 

Пример 4. Найти переходную проводимость последовательного RLC контура, параметры которого мГн, пФ, Ом.

Определяем ток в индуктивности и напряжение на емкости до коммутации (ключ открыт). .

Определяем ток в индуктивности после коммутации (ключ закрыт, переходной процесс завершен) .

Записываем характеристическое уравнение и находим его корень, для этого исключаем источник из цепи (закорачиваем), разрываем цепь в любом месте, относительно получившихся точек разрыва записываем комплексное сопротивление цепи, где производим замену на p: , , откуда . Находим корни уравнения. Определяем дискриминант:  

Корни:  ,

.

Отсюда , ,

 

Напряжение на емкости . Чтобы определить постоянную интегрирования, используем закон коммутации: , тогда можем записать: . Так как неизвестных две, то потребуется еще одно уравнение. Найдем производную напряжения:

,

откуда

.

Снова воспользуемся граничными условиями при t=0:

.

Осталось решить систему:

Выражаем , тогда ,

Записываем напряжение на емкости: , или

,

тогда ток

Первым слагаемым можно пренебречь по сравнению со вторым, поэтому

Теперь предполагаем, что это единичный источник: E=1 B. Тогда определяем переходную характеристику для тока: .