Трехфазные цепи: от простейших задач к сложным. Часть 8

Теория по трехфазным цепям очень хорошо изложена здесь, стр. 49.

Задача 42.

Три идентичных омических потребителя, соединенных в треугольник, включены в трехфазную сеть. Суммарная мощность установки 2400 Вт, и каждый амперметр показывает 26 А.

А. Что покажет каждый амперметр при обрыве резистора $R_1$?

Б. Чему в этом случае будет равна суммарная мощность?

Рисунок к задаче 42

Решение. Мощность каждой фазы, поскольку они одинаковы, 800 Вт. Линейный ток 26 А, фазный меньше в $\sqrt{3}$ раз и равен 15 А. При соединении в треугольник фазы независимы!

Обрыв нагрузки

При обрыве одной из фаз две другие этого никак не «почувствуют». Мощность в этом случае равна 1600 Вт.

Ответ: А) 26 А;  Б) 1600 Вт.

 

Задача 43.

По данным предыдущей задачи определить показания амперметров и суммарную мощность, если в фазе А перегорит предохранитель.

Решение. Определим линейное напряжение по данным предыдущей задачи. Мощность фазы 800 Вт, ток 15 А, $\cos \varphi=1$ (нагрузка активная):

$$P_f=U_fI_f$$

$$U_f=\frac{P_f}{I_f}=\frac{800}{15}=53,3$$

Определим сопротивление фазы:

$$R=\frac{U_f}{I_f}=\frac{53,3}{15}=3,55$$

Если перегорает предохранитель, то цепь превращается в однофазную:

Рисунок к задаче 43, перегорел предохранитель

$R_1$ и $R_3$ соединены последовательно, и параллельно с $R_2$:

$$R_o=\frac{(R_1+R_3)R_2}{R_1+R_3+R_2}=2,37$$

Ток в линии оказывается тогда равен

$$I_L=\frac{U_L}{R_o}=\frac{53,3}{2,37}=22,5$$

Суммарная мощность может быть определена так:

$$P=I_L^2R_o=22,5^2\cdot 2,37=1202$$

Ответ: амперметры покажут $ I_L=22,5$ А, $P=1202$ Вт.

 

Задача 44.

Электрическая печь состоит из трех идентичных нагревательных элементов, соединенных в треугольник. Печь, включенная в трехфазную сеть с линейным напряжением 380 В, потребляет мощность 38 кВт. В какой-то момент перегорает предохранитель в фазе С.

Рисунок к задаче 44

А. Определить токи в нагревательных элементах.

Б. Какова мощность, которую будут потреблять нагревательные элементы?

В. Какую суммарную мощность будет потреблять электропечь?

Решение. Мощность одной фазы будет равна 12667 Вт. Откуда

$$P_f=U_fI_f$$

$$I_f=\frac{P_f}{U_f}=\frac{12667}{380}=33,3$$

Определим сопротивление фазы:

$$R=\frac{U_f}{I_f}=\frac{380}{33,3}=11,4$$

Если перегорает предохранитель, то цепь превращается в однофазную:

Рис15

$R_1$ и $R_3$ соединены последовательно, и параллельно с $R_2$:

$$R_o=\frac{(R_1+R_3)R_2}{R_1+R_3+R_2}=7,6$$

Ток в линии оказывается тогда равен

$$I_L=\frac{U_L}{R_o}=\frac{380}{7,6}=50$$

Токи в нагревательных элементах будут равны: в $R_2$ - 33,3 А, а в элементах $R_1$ и $R_3$ ток будет 16,67 А.

Суммарная мощность может быть определена так:

$$P=I_L^2R_o=50^2\cdot 7,6=19000$$

Мощность, выделяемая в $R_2$:

$$P_2=\frac{380^2}{11,4}=12667$$

Мощность, выделяемая в $R_1$ и в $R_3$:

$$ P_1=P_3=\frac{190^2}{11,4}=3167$$

Ответ: А) в $R_2$ - 33,3 А, в $R_1$ и в $R_3$ - 16,7 А; Б) $P_2=12667$ Вт, $P_1=P_3=3167$; В) 19000 Вт.

 

Задача 45.

Три потребителя с равными сопротивлениями, соединенные в звезду, потребляют из сети суммарную мощность 3 кВт. Чему будет равна потребляемая мощность, если их пересоединить в треугольник?

Решение. Покажем, что мощность изменится. При соединении в звезду мощность одной фазы

$$P_f=U_f I_f \cos \varphi=U_f \frac{U_f}{Z}\cos \varphi=\frac{U_f^2}{Z}\cdot \cos \varphi$$

При соединении в треугольник мощность одной фазы:

$$P_f=U_f I_f \cos \varphi=U_LI_f\cos \varphi=\frac{ U_L}{Z}\cdot U_L \cos \varphi=\frac{U_L^2}{Z}\cdot \cos \varphi $$

Так как линейное напряжение больше фазного в $\sqrt{3}$ раз, то его квадрат больше в три раза, и мощность станет больше втрое.

Ответ: 9000 Вт.

Задача 46.

Трехфазная сеть с линейным напряжением 380 В питает потребителей мощностью 30 кВт с коэффициентом мощности 0,75.  Определить фазные и линейные токи в двух случаях: если нагрузка соединена в звезду и если она соединена в треугольник.

Решение. Рассмотрим звезду. Фазное напряжение в этом случае 220 В. Мощность фазы 10000 Вт. Следовательно, ток фазы

$$P_f=U_f I_f \cos \varphi$$

$$I_f=\frac{P_f}{ U_f \cos \varphi }=\frac{10000}{220\cdot 0,75}=60,6$$

Но он же является и линейным током.

Рассмотрим треугольник. Фазное напряжение 380 В, мощность фазы 10000 Вт, фазный ток равен

$$P_f=U_L I_f \cos \varphi$$

$$I_f=\frac{P_f}{ U_L \cos \varphi }=\frac{10000}{380\cdot 0,75}=35$$

Линейный ток в этом случае больше фазного в $\sqrt{3}$ раз и равен 60,7 А.

Ответ: при звезде фазный и линейный токи 60,6 А, при треугольнике линейный ток такой же, а фазный 35 А.

 

Задача 47.

Трехфазная электропечь, включенная в сеть с линейным напряжением 380 В, состоит из трех идентичных нагревательных элементов. При соединении в звезду ее мощность равна 3 кВт.

А. Определить мощность при соединении в треугольник.

Б. Определить мощность, если нагревательные элементы соединить последовательно и подключить к двум фазам цепи.

Решение. При соединении в треугольник, как показано в задаче 45, мощность станет больше в три раза: 9 кВт.

Фазное напряжение в случае соединения в звезду 220 В. Мощность фазы 1000 Вт. Следовательно, ток фазы

$$P_f=U_f I_f \cos \varphi$$

$$I_f=\frac{P_f}{ U_f \cos \varphi }=\frac{1000}{220}=4,54$$

Определим сопротивление фазы:

$$R=\frac{U_f}{I_f}=\frac{220}{4,54}=48,4$$

Три сопротивления, соединенные последовательно,  -  145,2 Ом. Если их подключить к двум фазам, они окажутся включенными на линейное напряжение. Тогда

$$P=\frac{U_L^2}{R_o}=\frac{380^2}{145,2}=994,5$$

Ответ: А) 9000 Вт;   Б) 994,5 Вт

 

Задача 48.

Три потребителя с сопротивлением по 40 Ом включены в сеть с линейным напряжением 380 В. Этих потребителей можно соединить в звезду или в треугольник. Определить суммарную мощность в каждом случае.

Решение. Рассмотрим соединение в звезду. Фазное напряжение будет равно 220 В.  

$$P=3P_f=3\frac{U_f^2}{R}=\frac{220^2\cdot 3}{40}=3630$$

При соединении в треугольник

$$P=3P_f=3\frac{U_L^2}{R}=\frac{380^2\cdot 3}{40}=10830$$

Ответ: при соединении в звезду 3630 Вт, при соединении в треугольник 10830 Вт.