Трехфазные цепи: от простейших задач к сложным. Часть 12

Теория по трехфазным цепям очень хорошо изложена здесь, стр. 49.

Задача 62.

Несимметричный потребитель с сопротивлениями фаз $Z_a = 20$ Ом; $Z_b =10$ Ом; $Z_c = 20$ Ом соединен звездой без нейтрального провода. Линейное напряжение $U_L = 200$ В. Определить токи в фазах потребителя.

Решение. При соединении в звезду и отсутствии нулевого провода фазы взаимозависимы. Токи в них неодинаковы, но их сумма равна нулю. Напряжения также неодинаковы, так как в этом случае появляется напряжение смещения нейтрали. Найдем его.

$$\dot{U_{nN}}=\frac{\dot{U_A}\dot{Y_a}+\dot{U_B}\dot{Y_b}+\dot{U_C}\dot{Y_c}}{\dot{Y_a}+\dot{Y_b}+\dot{Y_c}}$$

Здесь

$$\dot{U_A}=\frac{200}{\sqrt{3}}\cdot e^{j0^{\circ}}$$

$$\dot{U_B}=\frac{200}{\sqrt{3}}\cdot e^{-j120^{\circ}}$$

$$\dot{U_C}=\frac{200}{\sqrt{3}}\cdot e^{j120^{\circ}}$$

-         фазные напряжения генератора.

$$\dot{Y_a}=\frac{1}{\dot{Z_a}}=0,05$$

$$\dot{Y_b}=\frac{1}{\dot{Z_b}}=0,1$$

$$\dot{Y_c}=\frac{1}{\dot{Z_c}}=0,05$$

Напряжение смещения нейтрали:

$$\dot{U_{nN}}=\frac{0,05 e^{j0^{\circ}}+0,1 e^{-j120^{\circ}}+0,05 e^{j120^{\circ}}}{0,2}\cdot \frac{200}{\sqrt{3}}=\frac{0,05-0,05-\frac{0,1\sqrt{3}j}{2}-0,025+0,05\cdot \frac{\sqrt{3}j}{2}}{0,2}\cdot \frac{200}{\sqrt{3}}$$

$$\dot{U_{nN}}=\frac{-0,025-0,05\cdot \frac{\sqrt{3}j}{2}}{0,2}\cdot \frac{200}{\sqrt{3}}$$

$$\dot{U_{nN}}=\frac{-0,025-0,025\sqrt{3}j}{0,1}\cdot \frac{100}{\sqrt{3}}$$

$$\dot{U_{nN}}=-\frac{25}{\sqrt{3}}-25j=28,9e^{-120^{\circ}}$$

Определим теперь напряжения фаз:

$$\dot{U_a}=\dot{U_A}-\dot{U_{nN}}=\frac{200}{\sqrt{3}}\cdot e^{j0^{\circ}}-28,9e^{-j120^{\circ}}=\frac{200}{\sqrt{3}}+\frac{25}{\sqrt{3}}+25j =\frac{225}{\sqrt{3}}+25j =132,3e^{11^{\circ}}$$

$$\dot{U_b}=\dot{U_B }-\dot{U_{nN}}=\frac{200}{\sqrt{3}}\cdot e^{-j120^{\circ}}-28,9e^{-j120^{\circ}}=86,6 e^{-j120^{\circ}}$$

$$\dot{U_c}=\dot{U_C}-\dot{U_{nN}}=\frac{200}{\sqrt{3}}\cdot e^{j120^{\circ}}-28,9e^{-120^{\circ}}=-\frac{100}{\sqrt{3}}+100j+\frac{25}{\sqrt{3}}+25j =-\frac{75}{\sqrt{3}}+125j=43,3+125j =132,3e^{71^{\circ}}$$

Теперь можно найти токи фаз:

$$\dot{I_a}=\frac{\dot{U_a}}{\dot{Z_a}}=\frac{132,3e^{j11^{\circ}}}{20}=6,61e^{11^{\circ}}$$

$$\dot{I_b}=\frac{\dot{U_b}}{\dot{Z_b}}=\frac{86,6 e^{-j120^{\circ}}}{10}=8,7 e^{-120^{\circ}}$$

$$\dot{I_c}=\frac{\dot{U_c}}{\dot{Z_c}}=\frac{132,3e^{j71^{\circ}}}{20}=6,61 e^{j71^{\circ}}$$

В сумме токи должны давать ноль, проверим:

$$\dot{ I_a}+ \dot{I_b}+\dot{ I_c}=6,49+1,26j-4,35-7,53j+2,15+6,25j=0$$

Ответ: $\dot{I_a}=6,61e^{11^{\circ}}$, $\dot{I_b}=8,7 e^{-120^{\circ}}$, $\dot{I_c}=6,61 e^{j71^{\circ}}$.

Задача 63.

К зажимам трехфазного симметричного источника энергии с линейным напряжением 380 В подключена соединенная звездой несимметричная нагрузка, сопротивления фаз которой $\dot{Z_a}=6+j8$ Ом, $\dot{Z_b}=24+j7$ Ом и $\dot{Z_c}=20$ Ом. Определить токи и напряжения в фазах и мощность, расходуемую в нагрузке.

Решение. При соединении в звезду и отсутствии нулевого провода фазы взаимозависимы. Токи в них неодинаковы, но их сумма равна нулю. Напряжения также неодинаковы, так как в этом случае появляется напряжение смещения нейтрали. Найдем его.

$$\dot{U_{nN}}=\frac{\dot{U_A}\dot{Y_a}+\dot{U_B}\dot{Y_b}+\dot{U_C}\dot{Y_c}}{\dot{Y_a}+\dot{Y_b}+\dot{Y_c}}$$

Здесь

$$\dot{U_A}=\frac{380}{\sqrt{3}}\cdot e^{j0^{\circ}}$$

$$\dot{U_B}=\frac{380}{\sqrt{3}}\cdot e^{-j120^{\circ}}$$

$$\dot{U_C}=\frac{380}{\sqrt{3}}\cdot e^{j120^{\circ}}$$

-         фазные напряжения генератора.

Проводимости нагрузок в фазах:

$$\dot{Y_a}=\frac{1}{\dot{Z_a}}=\frac{1}{6+j8}=\frac{1}{10 e^{j53^{\circ}}}=0,1 e^{-j53^{\circ}}$$

$$\dot{Y_b}=\frac{1}{\dot{Z_b}}=\frac{1}{24+j7}=\frac{1}{25 e^{j16,3^{\circ}}}=0,04 e^{-j16,3^{\circ}}$$

$$\dot{Y_c}=\frac{1}{\dot{Z_c}}=\frac{1}{20}=\frac{1}{20 e^{j0^{\circ}}}=0,05 e^{j0^{\circ}}$$

Напряжение смещения нейтрали:

$$\dot{U_{nN}}=\frac{0,1 e^{-j53^{\circ}}+0,04 e^{-j16,3^{\circ}}\cdot e^{-j120^{\circ}}+0,05 e^{j0^{\circ}}\cdot e^{j120^{\circ}}}{0,1 e^{-j53^{\circ}}+0,04 e^{-j16,3^{\circ}}+0,05 e^{j0^{\circ}}}\cdot \frac{380}{\sqrt{3}}$$

$$\dot{U_{nN}}=\frac{0,1(0,6-j0,8)+0,04(-0,72-j0,7)+0,05(-0,5+j0,866)}{ 0,1(0,6-j0,8)+0,04(0,96-j0,28)+0,05}\cdot \frac{380}{\sqrt{3}}$$

$$\dot{U_{nN}}=\frac{0,0062-j0,065}{0,143-j0,091}\cdot \frac{380}{\sqrt{3}}$$

$$\dot{U_{nN}}=\frac{0,0653 e^{-j84,5^{\circ}}}{0,174 e^{-j31,6^{\circ}}}\cdot \frac{380}{\sqrt{3}}$$

$$\dot{U_{nN}}=82,5e^{-53^{\circ}}$$

Определим теперь напряжения фаз:

$$\dot{U_a}=\dot{U_A}-\dot{U_{nN}}=\frac{380}{\sqrt{3}}\cdot e^{j0^{\circ}}-82,5e^{-j53^{\circ}}=\frac{380}{\sqrt{3}}-82,5\cdot 0,6+82,5j\cdot 0,8 =170,5+66j =183e^{21^{\circ}}$$

$$\dot{U_b}=\dot{U_B }-\dot{U_{nN}}=\frac{380}{\sqrt{3}}\cdot e^{-j120^{\circ}}-82,5e^{-j53^{\circ}}=220(-0,5-j0,866)- 82,5\cdot 0,6+82,5j\cdot 0,8 =-159,5-j124,5=202e^{-142^{\circ}}$$

$$\dot{U_c}=\dot{U_C}-\dot{U_{nN}}=\frac{380}{\sqrt{3}}\cdot e^{j120^{\circ}}-82,5e^{-53^{\circ}}= 220(-0,5+j0,866)- 82,5\cdot 0,6+82,5j\cdot 0,8 =-159,5+j256,5=302e^{122^{\circ}}$$

Теперь можно найти токи фаз:

$$\dot{I_a}=\frac{U_a}{Z_a}=\frac{183e^{21^{\circ}}}{10 e^{j53^{\circ}}}=18,3e^{-32^{\circ}}$$

$$\dot{I_b}=\frac{U_b}{Z_b}=\frac{202e^{-142^{\circ}}}{25 e^{j16,3^{\circ}}}=8,1 e^{-158^{\circ}}$$

$$\dot{I_c}=\frac{U_c}{Z_c}=\frac{302e^{122^{\circ}}}{20 e^{j0^{\circ}}}=15,1 e^{j122^{\circ}}$$

В сумме токи должны давать ноль, проверим:

$$\dot{ I_a}+ \dot{I_b}+ \dot{I_c}=15,5-9,7j-7,5-3j-8+12,8j=0$$

Определим мощность нагрузки:

$$P_a=U_aI_a\cos \varphi_a=183\cdot 18,3\cdot \cos 53^{\circ}=2015$$

$$P_b=U_bI_b\cos \varphi_b=202\cdot 8,1\cdot \cos 16,3^{\circ}=1570$$

$$P_c=U_cI_c\cos \varphi_c=302\cdot 15,1\cdot \cos 0^{\circ}=4560$$

$$P=P_a+P_b+P_c=8145$$

Ответ: $\dot{I_a}=18,3e^{-32^{\circ}}$ А, $\dot{I_b}=8,1 e^{-158^{\circ}}$ А, $\dot{I_c}=15,1 e^{j122^{\circ}}$ А, $P=8145$ Вт.