Трехфазные цепи: от простейших задач к сложным. Часть 11

Теория по трехфазным цепям очень хорошо изложена здесь, стр. 49.

Задача 59.

Три однофазные электропечи, соединенные в звезду, включены в трехфазную четырехпроводную сеть с линейным напряжением 380 В. Две печи – в фазах А и В – имеют мощность 17,6 кВт. Мощность печи, включенной в фазу С, равна 13,2 кВт. Определить токи в линиях и найти графическим способом ток в нулевом проводе.

Решение. Определим фазное напряжение.

$$U_f=\frac{U_L}{\sqrt{3}}=\frac{380}{\sqrt{3}}=220$$

Определим теперь фазные токи (при наличии нулевого провода фазы независимы!)

$$ I_a=\frac{P_a}{U_f}=\frac{17600}{220}=80$$

$$I_b=\frac{ P_b }{ U_f }=\frac{17600}{220}=80$$

$$I_c=\frac{P_c}{U_f}=\frac{13200}{220}=60$$

Определим нулевой ток, считая нагрузку омической:

$$\vec{I_0}=\vec{I_a}+\vec{I_b}+\vec{I_c}$$

$$I_0=I_a\cdot e^{j0^{\circ}}+I_b\cdot e^{-j120^{\circ}}+I_c\cdot e^{j120^{\circ}}$$

$$I_0=80\cdot e^{j0^{\circ}}+80\cdot e^{-j120^{\circ}}+60\cdot e^{j120^{\circ}}$$

$$I_0=80+80(\cos(-120^{\circ})+j\sin(-120^{\circ}))+60(\cos(120^{\circ})+ j\sin(120^{\circ}))$$

$$I_0=80+80\cdot (-0,5)-j\cdot 80\frac{\sqrt{3}}{2}+60\cdot (-0,5)+ j\cdot 60\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10-17,3j$$

Диаграмма токов к задаче 59

Ответ: $I_a=80$ А, $I_b=80$ А, $I_c=60$ А;  $I_0=10-17,3j=20e^{-60^{\circ}}$

Задача 60.

Три потребителя мощностью 10 кВт, 6 кВт и 4 кВт включены в четырехпроводную сеть с линейным напряжением 400 В. Определить токи в фазах и найти ток в нулевом проводе.

Решение. Определим фазное напряжение.

$$U_f=\frac{U_L}{\sqrt{3}}=\frac{400}{\sqrt{3}}=231$$

Определим теперь фазные токи (при наличии нулевого провода фазы независимы!)

$$ I_a=\frac{P_a}{U_f}=\frac{10000}{231}=43,3$$

$$I_b=\frac{ P_b }{ U_f }=\frac{6000}{231}=26$$

$$I_c=\frac{P_c}{U_f}=\frac{4000}{231}=17,3$$

Определим нулевой ток, считая нагрузку омической:

$$\vec{I_0}=\vec{I_a}+\vec{I_b}+\vec{I_c}$$

$$I_0=I_a\cdot e^{j0^{\circ}}+I_b\cdot e^{-j120^{\circ}}+I_c\cdot e^{j120^{\circ}}$$

$$I_0=43,3\cdot e^{j0^{\circ}}+26\cdot e^{-j120^{\circ}}+17,3\cdot e^{j120^{\circ}}$$

$$I_0=43,3+26(\cos(-120^{\circ})+j\sin(-120^{\circ}))+17,3(\cos(120^{\circ})+ j\sin(120^{\circ}))$$

$$I_0=43,3+26\cdot (-0,5)-j\cdot 26\frac{\sqrt{3}}{2}+17,3\cdot (-0,5)+ j\cdot 17,3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=21,65-7,53j$$

Векторная диаграмма к задаче 60

Ответ: $I_a=43,3$ А, $I_b=26$ А, $I_c=17,3$ А;  $I_0=21,65-7,53j=22,9e^{-19^{\circ}}$

Задача 61.

Определить потребляемую активную мощность и найти графическим способом ток в нулевом проводе. Фазное напряжение равно 240 В.

Рисунок к задаче 61

Решение. Определим фазный ток в активной нагрузке:

$$ I_a=\frac{U_f}{R_a}=\frac{240}{30}=8$$

Найдем теперь активную мощность:

$$P_a=I_a^2R=8^2\cdot 30=1920$$

Токи остальных фаз будут такими же по модулю, но совпадать со своими напряжениями уже не будут. Ток фазы B (индуктивная нагрузка) отстает от напряжения в этой фазе на $90^{\circ}$, ток фазы $C$ (емкостная нагрузка) опережает напряжение своей фазы:

Токи не совпадают с напряжениями

Определим ток в нулевом проводе:
$$\vec{I_0}=\vec{I_a}+\vec{I_b}+\vec{I_c}$$

$$I_0=I_a\cdot e^{j0^{\circ}}+I_b\cdot e^{j150^{\circ}}+I_c\cdot e^{-j150^{\circ}}$$

$$I_0=8\cdot e^{j0^{\circ}}+8\cdot e^{j150^{\circ}}+8\cdot e^{-j150^{\circ}}$$

$$I_0=8+8(\cos(150^{\circ})+j\sin(150^{\circ}))+8(\cos(-150^{\circ})+ j\sin(-150^{\circ}))$$

$$I_0=8-8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} +j\cdot 8\cdot 0,5-8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + j\cdot 8\cdot (-0,5)=-5,86$$

Векторная диаграмма токов

Ответ: $I_a=8$ А, $I_b=8$ А, $I_c=8$ А;  $I_0=-5,86=5,86e^{180^{\circ}}$