Трехфазные цепи: от простейших задач к сложным. Часть 10

Теория по трехфазным цепям очень хорошо изложена здесь, стр. 49.

Задача 55.

Линейное напряжение трехфазной четырехпроводной сети равно 208 В. Три группы ламп накаливания соединены в звезду, и каждая группа подключена к фазному и нулевому проводам. Сопротивление первой группы равно 4 Ом, второй группы – 1 Ом, третьей группы – 2 Ом.

А. Определить ток каждой фазы.

Б. Определить суммарную мощность, потребляемую лампами.

В. Начертить векторную диаграмму и найти ток в нулевом проводе.

Решение. Определим фазное напряжение.

$$U_f=\frac{U_L}{\sqrt{3}}=\frac{208}{\sqrt{3}}=120$$

Определим теперь фазные токи (при наличии нулевого провода фазы независимы!)

$$I_a=\frac{U_f}{R_a}=\frac{120}{4}=30$$

$$I_b=\frac{U_f}{R_b}=\frac{120}{1}=120$$

$$I_c=\frac{U_f}{R_c}=\frac{120}{2}=60$$

Определяем мощности фаз:

$$P_a=U_aI_a=120\cdot 30=3600$$

$$P_b=U_bI_b=120\cdot 120=14400$$

$$P_c=U_cI_c=120\cdot 60=7200$$

Суммарная мощность

$$P=P_a+P_b+P_c=3600+14400+7200=25200$$

Токи фаз, вследствие того, что нагрузка активная, будут совпадать по фазе со своими фазными напряжениями – то есть иметь сдвиг на $120^{\circ}$ относительно друг друга.

Токи в трехфазной цепи с неравномерной активной нагрузкой

Теперь найдем сумму (я искала по правилу ломаной, пристраивая векторы $I_a$ и $I_c$ к вектору $I_b$. Зеленым показан нулевой ток, являющийся суммой трех фазных токов.

Векторная диаграмма токов, нулевой ток

Определим нулевой ток «как положено»:

$$\vec{I_0}=\vec{I_a}+\vec{I_b}+\vec{I_c}$$

$$I_0=I_a\cdot e^{j0^{\circ}}+I_b\cdot e^{-j120^{\circ}}+I_c\cdot e^{j120^{\circ}}$$

$$I_0=30\cdot e^{j0^{\circ}}+120\cdot e^{-j120^{\circ}}+60\cdot e^{j120^{\circ}}$$

$$I_0=30+120(\cos(-120^{\circ})+j\sin(-120^{\circ}))+60(\cos(120^{\circ})+ j\sin(120^{\circ}))$$

$$I_0=30+120\cdot (-0,5)-j\cdot 120\frac{\sqrt{3}}{2}+60\cdot (-0,5)+ j\cdot 60\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-60-30j\sqrt{3}=-60-52j$$

Примерно такой вектор мы и получили на диаграмме.

Ответ: А) $I_a=30$ А, $I_b=120$ А, $I_c=60$ А; Б) $P=25,2$ кВт; В) см. рис., $I_0=-60-52j=79,4e^{-139^{\circ}}$

 

Задача 56.

Фазные токи трехфазной четырехпроводной сети с линейным напряжением 380 В относятся друг к другу как 1:3:4. Омические потребители сети имеют суммарную мощность 3,2 кВт. Определить токи в линии и в нулевом проводе.

Решение. Определим фазное напряжение.

$$U_f=\frac{U_L}{\sqrt{3}}=\frac{380}{\sqrt{3}}=220$$

Если токи относятся как 1 : 3 : 4, то отношение сопротивлений фаз будет 12 : 4 : 3.  Мощности тогда будут относиться как 12 : 36 : 48, или как 1 : 3 : 4. Разделим 3200 Вт в этом отношении: 400 : 1200 : 1600. Токи в линиях (они же фазные)

$$ I_a=\frac{P_a}{U_f}=\frac{400}{220}=1,82$$

$$I_b=\frac{ P_b }{ U_f }=\frac{1200}{220}=5,45$$

$$I_c=\frac{U_f}{R_c}=\frac{1600}{220}=7,27$$

Определим нулевой ток:

$$\vec{I_0}=\vec{I_a}+\vec{I_b}+\vec{I_c}$$

$$I_0=I_a\cdot e^{j0^{\circ}}+I_b\cdot e^{-j120^{\circ}}+I_c\cdot e^{j120^{\circ}}$$

$$I_0=1,82\cdot e^{j0^{\circ}}+5,45\cdot e^{-j120^{\circ}}+7,27\cdot e^{j120^{\circ}}$$

$$I_0=1,82+5,45(\cos(-120^{\circ})+j\sin(-120^{\circ}))+7,27(\cos(120^{\circ})+ j\sin(120^{\circ}))$$

$$I_0=1,82+5,45\cdot (-0,5)-j\cdot 5,45\frac{\sqrt{3}}{2}+7,27\cdot (-0,5)+ j\cdot 7,27\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-4,54+1,58j$$

Ответ: $I_a=1,82$ А, $I_b=5,45$ А, $I_c=7,27$ А;  $I_0=-4,54+1,58j=4,81e^{161^{\circ}}$

 

Задача 57.

Три потребителя, соединенных в звезду, включены в трехфазную четырехпроводную сеть с линейным напряжением 380 В. Мощность потребителя, включенного в фазу А, равна 3,52 кВт, мощность потребителя в фазе В равна 2,64 кВт, мощность последнего потребителя 3,96  кВт. Определить токи в фазах и графическим способом найти ток нулевого провода.

Решение. Определим фазное напряжение.

$$U_f=\frac{U_L}{\sqrt{3}}=\frac{380}{\sqrt{3}}=220$$

Токи в линиях (они же фазные)

$$ I_a=\frac{P_a}{U_f}=\frac{3520}{220}=16$$

$$I_b=\frac{ P_b }{ U_f }=\frac{2640}{220}=12$$

$$I_c=\frac{U_f}{R_c}=\frac{3960}{220}=18$$

Определим нулевой ток:

$$\vec{I_0}=\vec{I_a}+\vec{I_b}+\vec{I_c}$$

$$I_0=I_a\cdot e^{j0^{\circ}}+I_b\cdot e^{-j120^{\circ}}+I_c\cdot e^{j120^{\circ}}$$

$$I_0=16\cdot e^{j0^{\circ}}+12\cdot e^{-j120^{\circ}}+18\cdot e^{j120^{\circ}}$$

$$I_0=16+12(\cos(-120^{\circ})+j\sin(-120^{\circ}))+18(\cos(120^{\circ})+ j\sin(120^{\circ}))$$

$$I_0=16+12\cdot (-0,5)-j\cdot 12\frac{\sqrt{3}}{2}+18\cdot (-0,5)+ j\cdot 18\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=1+5,2j$$

Таким мы и получили нулевой ток на диаграмме (темно-зеленый).

Векторная диаграмма токов, получение нулевого тока

Ответ: $I_a=16$ А, $I_b=12$ А, $I_c=18$ А;  $I_0=1+5,2j=5,3e^{79^{\circ}}$

 

Задача 58.

Определить токи в фазах и графическим способом найти ток нулевого провода. Линейное напряжение 380 В.

Схема к задаче 58

Решение. Определим фазное напряжение.

$$U_f=\frac{U_L}{\sqrt{3}}=\frac{380}{\sqrt{3}}=220$$

Токи в линиях (они же фазные)

$$ I_a=\frac{P_a}{U_f}=\frac{6800}{220}=31$$

$$I_b=\frac{ P_b }{ U_f }=\frac{9000}{220}=41$$

$$I_c=\frac{U_f}{R_c}=\frac{11200}{220}=52$$

Определим нулевой ток:

$$\vec{I_0}=\vec{I_a}+\vec{I_b}+\vec{I_c}$$

$$I_0=I_a\cdot e^{j0^{\circ}}+I_b\cdot e^{-j120^{\circ}}+I_c\cdot e^{j120^{\circ}}$$

$$I_0=31\cdot e^{j0^{\circ}}+41\cdot e^{-j120^{\circ}}+51\cdot e^{j120^{\circ}}$$

$$I_0=31+41(\cos(-120^{\circ})+j\sin(-120^{\circ}))+51(\cos(120^{\circ})+ j\sin(120^{\circ}))$$

$$I_0=31+41\cdot (-0,5)-j\cdot 41\frac{\sqrt{3}}{2}+51\cdot (-0,5)+ j\cdot 51\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-15+8,66j$$

Таким мы и получили нулевой ток на диаграмме (темно-зеленый).

Векторная диаграмма, получение тока нулевого провода

Ответ: $I_a=31$ А, $I_b=41$ А, $I_c=51$ А;  $I_0=-15+8,66j=17,3e^{150^{\circ}}$