Определение АЧХ и ФЧХ, качественно и аналитически – 5

Сегодня определяем амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики цепи. Сначала сделаем это качественно, а потом строго, аналитически.

Задача.  Для цепи на рисунке определить ФЧХ, АЧХ, построить графики.

Схема к задаче

Решим задачу качественно.

$$K(j\omega)= \frac{\dot{U_2}}{\dot{U_1}}$$

$$K(j\omega)= \frac{\dot{U_C}}{\dot{U_{R_2}}+\dot{U_C}}$$

При $\omega=0$ $\dot{z_C}=\frac{1}{j\omega C}\rightarrow \infty$

Поэтому конденсатор можно заменить разрывом цепи и эквивалентная схема будет такой:

Схема замещения на нулевой частоте

$$ K( j\omega)= \frac{R_1}{R_1+R_2}$$

При $\omega \rightarrow \infty$ $\dot{z_C}=\frac{1}{j\omega C}\rightarrow 0$

Поэтому конденсатор можно заменить перемычкой и эквивалентная схема будет такой:

Схема замещения на бесконечно большой частоте

При этом выходное напряжение равно нулю и

$$ K( j\omega)= 0$$

$$ K( j0)= \frac{R_1}{R_1+R_2}<1$$

Определим фазо-частотную характеристику при $\omega=0$: $\varphi(0)=0$.

При $\omega \rightarrow \infty$ $\varphi(\infty)=0$.

Строим графики:

Графики АЧХ и ФЧХ

Векторная диаграмма:

Векторная диаграмма цепи

Решим теперь аналитически:

$$K( j\omega)=\frac{\frac{R_1\cdot\frac{1}{j\omega C}}{R_1+\frac{1}{j\omega C}}}{R_2+\frac{R_1\cdot\frac{1}{j\omega C}}{R_1+\frac{1}{j\omega C}}}$$

$$K( j\omega)=\frac{\frac{R_1}{1+j\omega R_1C}}{R_2+\frac{R_1}{1+j\omega R_1C}}=\frac{R_1}{R_2(j\omega CR_1+1)+R_1}$$

$$K( j\omega)=\frac{R_1}{R_1+R_2+jR_1R_2\omega C}$$

Вынесем из числителя $R_1$, а из знаменателя - $R_1+R_2$:

$$K( j\omega)=\frac{R_1}{R_1+R_2}\cdot \frac{1}{1+\frac{ R_1R_2}{ R_1+R_2}j\omega C}$$

Обозначим за $\tau$

$$\tau=\frac{ R_1R_2C}{ R_1+R_2}$$

Тогда

$$K( j\omega)=\frac{R_1}{R_1+R_2}\cdot \frac{1}{1+j\omega \tau}$$

Определим модуль этой дроби:

$$K( j\omega)=\frac{R_1}{R_1+R_2}\cdot \frac{1-j\omega \tau }{(1+j\omega \tau)( 1-j\omega \tau )}$$

$$K( j\omega)=\frac{R_1}{R_1+R_2}\cdot \frac{1-j\omega \tau }{1+\omega^2 \tau^2}$$

Осталось разделить это комплексное число на действительную и мнимую части и найти корень из суммы их квадратов:

$$K( \omega)=\frac{R_1}{R_1+R_2}\cdot \sqrt{\frac{1}{1+\omega^2 \tau^2}}$$

$$\varphi( \omega)=- \operatorname{arctg}(\omega \tau)$$

Так что угол, как и нарисовано выше, отрицателен.