Определение АЧХ и ФЧХ, качественно и аналитически – 2

Сегодня определяем амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики цепи. Сначала сделаем это строго, аналитически, а потом качественно. Задача.  Для цепи на рисунке ($C_2>C_1$) определить ФЧХ, АЧХ, построить графики.

Схема к задаче

Решение: сначала решим аналитически. Комплексная частотная характеристика – это по определению отношение комплексных амплитуд выходного и входного сигналов. А комплексные амплитуды связаны так же, как и их мгновенные значения. $$K(j \omega)=\frac{\dot U}{\dot E}=\frac{R+Z_{C_2}}{ R+Z_{C_1}+Z_{C_2}}$$ $$K(j \omega)=\frac{R+\frac{1}{j\omega C_2}}{R+\frac{1}{j\omega C_1}+\frac{1}{j\omega C_2}}=\frac{j\omega C_2R+1}{j\omega C_2R+\frac{C_2}{C_1}+1}$$ Вынесем из числителя $C_1$, а из знаменателя $C_1+C_2$. $$K(j \omega)=\frac{C_1}{C_1+C_2}\cdot \frac{j\omega C_2R+1}{j\omega R\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}+1}$$ Постоянная времени такой цепи $$\tau=\frac{RC_1C_2}{ C_1+C_2}$$ А произведение $$RС_2=\tau_2$$ Поэтому $$ K(j \omega)= \frac{C_1}{C_1+C_2} \cdot \frac{1+j\omega \tau_2}{1+j\omega \tau}$$ $$ K( j\omega)= \frac{C_1}{C_1+C_2}\cdot \left(\frac{(1+j\omega \tau_2)( 1- j\omega \tau)}{(1+ j\omega \tau)( 1- j\omega \tau )}\right)$$ $$ K( j\omega)= \frac{C_1}{C_1+C_2}\cdot \left(\frac{1+\omega^2 \tau_2\tau+j\omega \tau_2-j\omega \tau}{1+ \omega^2 \tau^2}\right)$$ Модуль этой дроби

$$ K( \omega)= \frac{C_1}{C_1+C_2}\cdot \sqrt{\frac{(1+\omega^2\tau \tau_2)^2+\omega^2(\tau_2-\tau)^2}{\left( 1+ \omega^2 \tau^2\right)^2 }}$$

$$ K( \omega)= \frac{C_1}{C_1+C_2}\cdot \sqrt{\frac{1+2\omega^2\tau \tau_2+\omega^4\tau_2^2\tau^2+\omega^2(\tau_2^2-2\tau \tau_2+\tau^2) }{\left(1+ \omega^2 \tau^2 \right)^2}}$$

$$ K( \omega)= \frac{C_1}{C_1+C_2}\cdot \sqrt{\frac{1+\omega^4\tau_2^2\tau^2+\omega^2\tau_2^2+\omega^2\tau^2 }{\left(1+ \omega^2 \tau^2\right)^2 }}$$

$$ K( \omega)= \frac{C_1}{C_1+C_2}\cdot \sqrt{\frac{1}{1+ \omega^2 \tau^2}+\frac{\omega^4\tau_2^2\tau^2+\omega^2\tau_2^2 }{\left(1+ \omega^2 \tau^2\right)^2 }}$$

$$ K( \omega)= \frac{C_1}{C_1+C_2}\cdot \sqrt{\frac{1}{1+ \omega^2 \tau^2}+\frac{\omega^2\tau_2^2(\omega^2\tau^2+1)}{\left(1+ \omega^2 \tau^2\right)^2 }}$$

$$ K( \omega)= \frac{C_1}{C_1+C_2}\cdot \sqrt{\frac{1}{1+ \omega^2 \tau^2}+\frac{\omega^2\tau_2^2}{1+ \omega^2 \tau^2}}$$

$$ K( \omega)= \frac{C_1}{C_1+C_2}\cdot \sqrt{\frac{1+\omega^2\tau_2^2}{1+ \omega^2 \tau^2}}$$

При $\omega=0$ $$ K( \omega)= \frac{C_1}{C_1+C_2}$$ Так как $C_1<C_2$, то $\frac{C_1}{C_1+C_2}<\frac{1}{2}$ При $\omega \rightarrow \infty$ все напряжение – на резисторе. $$K(\omega)=1$$ Определить фазо-частотную характеристику легко, если вспомнить вот эту запись: $$ K(j \omega)= \frac{C_1}{C_1+C_2}\cdot \frac{1+j\omega \tau_2}{1+j\omega \tau}$$ Два комплексных числа делятся друг на друга, при этом степени (аргументы) вычитаются: $$\varphi(\omega)=\operatorname{arctg}(\omega \tau_2)- \operatorname{arctg}(\omega \tau)$$ Изобразим графики АЧХ и ФЧХ:

АЧХ и ФЧХ

Теперь решим задачу качественно: сначала рассмотрим цепь на частоте 0. $$\omega=0$$ При этом $$z_{C_{1,2}}\rightarrow \infty$$ Поэтому эквивалентная схема будет такой (пренебрегаем активным сопротивлением):

Схема замещения на частоте ноль

$$K(j0)=\frac{C_1}{C_1+C_2}$$ Рассмотрим цепь на бесконечной частоте. $$\omega=\infty$$ При этом $$z_{C_{1,2}}\rightarrow 0$$ Поэтому эквивалентная схема будет такой (оставляем только сопротивление):

Схема замещения на бесконечно большой частоте

$$K(j\infty)=\frac{\dot U}{\dot E}=1$$ Осталось построить векторную диаграмму. Начнем ее построение с $I$ - общего тока. С этим вектором совпадает вектор $U_R$, а векторы $U_{C_1}$ и $U_{C_2}$ - отстают на $90^{\circ}$. И, так как $C_2>C_1$, то $U_{C_1}< U_{C_2}$. Начало вектора $U_{C_1}$ совпадает с концом вектора $U_{C_2}$.

Векторная диаграмма