Определение АЧХ и ФЧХ, качественно и аналитически - 1

Сегодня определяем амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики цепи. Сначала сделаем это качественно, а потом строго, аналитически. Задача.  Для цепи на рисунке определить ФЧХ, АЧХ, построить графики.

Схема к задаче

Решение: сначала рассмотрим цепь на частоте ноль: $$\omega=0$$ При этом $$x_L=\omega L=0$$ Поэтому эквивалентная схема будет такой:

Эквивалентная схема на нулевой частоте

Определим выходное напряжение. Сопротивление будет равно $$R_0=\frac{R_1R_2}{ R_1+R_2}$$ А выходное напряжение $$U=R_0 i_n=\frac{R_1R_2}{ R_1+R_2} i_n$$ Комплексная частотная характеристика – это по определению отношение комплексных амплитуд выходного и входного сигналов. А комплексные амплитуды связаны так же, как и их мгновенные значения. $$K(j \omega)=\frac{\dot U}{\dot i_n}$$ Таким образом, $$K(j 0)= \frac{R_1R_2}{ R_1+R_2}$$ Это комплексная частотная характеристика в нуле. АЧХ в нуле – модуль этой дроби: $$K(0)= \frac{R_1R_2}{ R_1+R_2}$$ А ФЧХ – аргумент этой дроби: $$\varphi (0)=0$$ Теперь устремим частоту к бесконечности. При этом индуктивное сопротивление тоже устремится к бесконечности. Поэтому схема замещения будет такой:

Эквивалентная схема на частоте, стремящейся к бесконечности

Выходное напряжение $$U=R_2 i_n$$ Комплексная частотная характеристика $$K(j \infty)=R_2$$ АЧХ тогда $$K(\infty)=R_2$$ А ФЧХ $$\varphi (\infty)=0$$ Можно построить примерные графики:

Качественно построенные АЧХ и ФЧХ

Теперь построим векторную диаграмму. Построим ток через резистор $R_1$ - $I_1$. Этот ток совпадает по направлению с направлением вектора напряжения $U_{R_1}$. А напряжение на индуктивности отстает от этого тока на $90^{\circ}$.

Начало построения векторной диаграммы

Входное напряжение $U$ - сумма напряжений  $U_{R_1}$ и $U_L$. И с этим напряжением совпадает по фазе ток $I_2$ - ток в резисторе $R_2$. А ток источника – сумма токов $i_1$ и $I_2$ по закону Кирхгофа:

Полная векторная диаграмма

Видно, что ток источника $I_n$ отстает от вектора напряжения $U$ на угол $\varphi$. Мы решили задачу качественно. Решим ее теперь аналитически. Комплексная частотная характеристика – это по определению отношение комплексных амплитуд выходного и входного сигналов. То есть $$K(j \omega)=\frac{\dot U}{\dot i_n}$$ А это, по сути, сопротивление (полное, общее) обеих ветвей. Давайте его определим. $$K(j \omega)=\frac{R_2(R_1+j\omega L)}{ R_2+R_1+j\omega L }= \frac{R_1R_2}{ R_1+R_2}\frac{1+j\frac{\omega L}{R_1}}{1+\frac{j\omega L }{R_1+R_2}}$$ Если источник разомкнуть (холостой ход), то получится цепь, в которой $R_1, R_2$ и $L$ соединены последовательно. Постоянная времени такой цепи $$\tau=\frac{L}{ R_1+R_2}$$ А отношение $$\frac{L}{R_1}=\tau_1$$ Поэтому $$ K(j \omega)= K(j 0)\cdot \frac{1+j\omega \tau_1}{1+j\omega \tau}$$ $$ K( j\omega)= K(j 0)\cdot \left(\frac{(1+j\omega \tau_1)( 1- j\omega \tau)}{(1+ j\omega \tau)( 1- j\omega \tau )}\right)$$ $$ K( j\omega)= K(j 0)\cdot \left(\frac{(1+\omega^2 \tau_1\tau+j\omega \tau_1-j\omega \tau)}{1+ \omega^2 \tau^2}\right)$$

Модуль этой дроби

$$ K( \omega)= K(j 0) \cdot \sqrt{\frac{(1+\omega^2\tau \tau_1)^2+\omega^2(\tau_1-\tau)^2}{ \left( 1+ \omega^2 \tau^2 \right)^2 }}$$

$$ K( \omega)= K(j 0)\cdot \sqrt{\frac{1+2\omega^2\tau \tau_1+\omega^4\tau_1^2\tau^2+\omega^2(\tau_1^2-2\tau \tau_1+\tau^2) }{\left(1+ \omega^2 \tau^2 \right)^2}}$$ $$ K( \omega)= K(j 0)\cdot \sqrt{\frac{1+\omega^4\tau_1^2\tau^2+\omega^2\tau_1^2+\omega^2\tau^2 }{\left(1+ \omega^2 \tau^2\right)^2 }}$$ $$ K( \omega)= K(j 0)\cdot \sqrt{\frac{1}{1+ \omega^2 \tau^2}+\frac{\omega^4\tau_1^2\tau^2+\omega^2\tau_1^2 }{\left(1+ \omega^2 \tau^2\right)^2 }}$$ $$ K( \omega)= K(j 0)\cdot \sqrt{\frac{1}{1+ \omega^2 \tau^2}+\frac{\omega^2\tau_1^2(\omega^2\tau^2+1)}{\left(1+ \omega^2 \tau^2\right)^2 }}$$ $$ K( \omega)= K(j 0)\cdot \sqrt{\frac{1}{1+ \omega^2 \tau^2}+\frac{\omega^2\tau_1^2}{1+ \omega^2 \tau^2}}$$

$$ K( \omega)= K(j 0)\cdot \sqrt{\frac{1+\omega^2\tau_1^2}{1+ \omega^2 \tau^2}}$$

Определить фазо-частотную характеристику легко, если вспомнить вот эту запись: $$ K(j \omega)= K(j 0)\cdot \frac{1+j\omega \tau_1}{1+j\omega \tau}$$ Два комплексных числа делятся друг на друга, при этом степени (аргументы) вычитаются: $$\varphi(\omega)=\operatorname{arctg}(\omega \tau_1)- \operatorname{arctg}(\omega \tau)$$ Так как $\tau_1>\tau$, то понятно, что $\operatorname{arctg}(\omega \tau_1)> \operatorname{arctg}(\omega \tau$, то есть угол $\varphi>0$.