Резонанс в последовательных и параллельных контурах-2

Рассмотрим задачи, связанные с резонансом  в последовательной цепи.

Задача 8.

Определить емкость конденсатора, который нужно включить последовательно c катушкой индуктивности, чтобы настроить контур в резонанс на частоте 1 МГц, если $r=10$ Ом, $L=150$ мкГн. Найти ширину полосы пропускания контура.

Решение. По формуле Томсона

$$\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

$$\omega^2=\frac{1}{LC}$$

$$C=\frac{1}{\omega^2 L}=\frac{1}{4 \pi^2 f^2 L}=\frac{1}{4 \pi^2 \cdot (10^6)^2 \cdot 150\cdot 10^{-6} }=0,17\cdot 10^{-9}$$

Понадобится емкость 0,17 нФ. Определим ширину полосы пропускания. Для этого определим характеристическое сопротивление и добротность:

$$\rho=\sqrt{\frac{L}{C}}=\sqrt{\frac{150\cdot 10^{-6}}{0,17\cdot 10^{-9}}}=940$$

$$Q=\frac{\rho}{r}=\frac{940}{10}=94$$

Теперь собственно полоса пропускания:

$$\Delta f=\frac{f_0}{Q}=\frac{10^6}{94}=10638$$

Ответ: $C=0,17$ нФ, $\Delta f=10,6$ кГц.

Задача 9.

В последовательном контуре определить напряжение на катушке индуктивности, если в режиме резонанса напряжение на конденсаторе 120 В, а входное 35 В.

Рисунок к задаче 9

Решение. Все три напряжения образуют треугольник. Поскольку напряжение на конденсаторе строго перпендикулярно входному, то треугольник прямоугольный, причем входное напряжение и напряжение на конденсаторе – его катеты. Напряжение на катушке будет его гипотенузой:

$$U_L=\sqrt{U_r^2+U_C^2}=\sqrt{35^2+120^2}=125$$

Ответ: 125 В.

Задача 10.

По показаниям приборов  в режиме резонанса на частоте 50 Гц определить параметры катушки индуктивности ($r,L$), емкость конденсатора и сопротивление реостата $R$, если $U=200$ В, $U_1=300$ В, $U_2=280$ В, $I=2,5$ А.

Рисунок к задаче 10

Решение. Все три напряжения ($U_1, U_2, U_r$) образуют треугольник. Поскольку напряжение на конденсаторе строго перпендикулярно $U_r$, то треугольник прямоугольный, причем напряжение $U_r$ и напряжение на конденсаторе – его катеты. Напряжение на катушке будет его гипотенузой:

$$U_r=\sqrt{U_1^2-U_2^2}=\sqrt{300^2-280^2}=107,7$$

Так как $U=U_r+U_R$, то

$$U_R=200-107,7=92,3$$

Тогда

$$R=\frac{U_R}{I}=\frac{92,3}{2,5}=36,9$$

А

$$r=\frac{U_r}{I}=\frac{107,7}{2,5}=43$$

Напряжение на чистой индуктивности и напряжение $U_r$ также перпендикулярны:

$$U_r^2+U_L^2=U_1^2$$

Откуда

$$U_L=\sqrt{300^2-108^2}=280$$

Что, вообще, логично, ведь в цепи-то резонанс напряжений! Тогда

$$X_L=\frac{U_L}{I}=\frac{280}{2,5}=112$$

$$\omega L=X_L$$

Следовательно,

$$L=\frac{X_L}{\omega}=\frac{112}{2\pi\cdot 50}=0,356$$

$$X_C=112=X_L$$

$$C=\frac{1}{\omega X_C}=\frac{1}{2\pi\cdot 50\cdot 112}=28,4\cdot 10^{-6}$$

Ответ: $r=43$ Ом, $R=37$ Ом, $L=356$ мГн, $C=28,4$ мкФ.

Задача 11.

В последовательном контуре в режиме резонанса на частоте 2,5 кГц отношение напряжения на конденсаторе емкостью 0,5 мкФ к напряжению на входе равно 50. Определить параметры катушки ($r, L$).

Рисунок к задаче 11

Решение. Нам в условии задали добротность контура, которая равна 50. Но сначала по резонансной частоте определим индуктивность:

$$\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

$$\omega^2=\frac{1}{LC}$$

$$L=\frac{1}{\omega^2 C}=\frac{1}{4\pi^2\cdot 2500^2 \cdot 0,5\cdot 10^{-6}}=8,1\cdot 10^{-3}$$

Так как добротность

$$Q=\frac{\rho}{r}$$

То

$$r=\frac{\rho}{Q}=\sqrt{\frac{L}{C}}\cdot \frac{1}{Q}=\sqrt{\frac{8,1\cdot 10^{-3}}{0,5\cdot 10^{-6}}}\cdot \frac{1}{50}=2,54$$

Ответ: 8 мГн, 2,54 Ом.