Резонанс в последовательных и параллельных контурах-1

Рассмотрим задачи, связанные с резонансом как в последовательной, так и в параллельной цепи.

Задача 1.

Параллельный резонансный контур имеет частоту свободных затухающих колебаний $\omega=10^6$ рад/с, постоянную времени $\tau=0,2$ мс, индуктивность $L=1$ мГн, емкость $C=1$ нФ. Найти сопротивление потерь, Ом. Считать добротность $Q>>1$.

Решение. Определим по постоянной времени декремент затухания, или еще его называют коэффициентом затухания.

$$\delta=\frac{R}{2L}$$

А через постоянную времени он определяется как

$$\delta=\frac{1}{\tau}=\frac{1}{0,2\cdot 10^{-3}}=5000$$

Тогда

$$R=2\delta L=2\cdot 5000\cdot 10^{-3}=10$$

Ответ: 10 Ом.

Задача 2.

Последовательный колебательный контур имеет полосу пропускания по уровню $0,707\pi$  - 10 рад/с и индуктивность $L=10$ мГн. При амплитуде тока $I=1$ А амплитуда напряжения на индуктивности равна 10 В. Найти добротность $Q$, если она много больше 1.

Решение. Определим индуктивное сопротивление

$$X_L=\frac{U_L}{I}=10$$

Зная индуктивность, найдем резонансную частоту:

$$\omega_0=\frac{X_L}{L}=\frac{10}{10\cdot 10^{-3}}=1000$$

Добротность можно посчитать как

$$Q=\frac{f_{rez}}{\Delta f}=\frac{\omega_{rez}}{\Delta \omega}=\frac{1000}{10}=100$$

Ответ: добротность контура $Q=100$.

Задача 3.

Во сколько раз увеличится запасенная реактивная энергия в параллельном контуре, если его добротность увеличится в 2 раза?

Решение. Так как

$$Q=2\pi\frac{W_{zapas}}{W_{poter}}$$

То с ростом добротности запасенная энергия в 2 раза увеличится.

Задача 4.

Во сколько раз увеличится мощность потерь в параллельном контуре, если его добротность уменьшится в 2 раза?

Решение. Добротность прямо связана с потерями: чем дольше не затухают колебания, тем она выше. А колебания долго не затухают, если энергии негде рассеиваться. То есть чем меньше омическое сопротивление, тем выше добротность, и наоборот, при включении в контур добавочного сопротивления добротность падает, а ширина полосы пропускания растет.

Ответ: мощность потерь вырастет вдвое.

Задача 5.

Во сколько раз изменится амплитуда напряжения при резонансе в параллельном контуре, если его добротность уменьшится в 2 раза?

Решение. Так как добротность определяет, во сколько раз ток в реактивных элементах больше, чем входной, то при ее уменьшении ток в реактивных элементах уменьшится вдвое. А значит, амплитуда напряжения уменьшится вдвое с падением добротности вдвое.

Ответ: в 2 раза.

Задача 6.

Во сколько раз изменится добротность параллельного колебательного контура, если его сопротивление потерь увеличится в 2 раза?

Решение. При росте сопротивления потерь запасенная энергия быстро рассеивается через него и колебания затухают. То есть добротность падает.

Ответ: уменьшится в 2 раза.

Задача 7.

Последовательный колебательный контур имеет сопротивление потерь $R=5$ Ом, индуктивность $L=10$ мГн, емкость $C=10$ нФ, частоту собственных затухающих колебаний $\omega=10^5$ рад/с. Найти постоянную времени в мс. Считать  $Q>>1$.

Решение. Определим коэффициент затухания:

$$\delta=\frac{R}{2L}=\frac{5}{20\cdot 10^{-3}}=250$$

А через постоянную времени он определяется как

$$\delta=\frac{1}{\tau}$$

Тогда

$$\tau =\frac{1}{\delta}=\frac{1}{250}=0,004$$

Ответ: 4 мс.