Шар с пояском и перегоревший резистор

Задача 1.

В электрической цепи (рис.) амперметр $A$ показывает $I_1=32$ мА. Сопротивление всех резисторов одинаково и равно $R$. Вычислите силу тока $I_x$, который будет протекать через амперметр, если перегорит резистор, заштрихованный на схеме. Напряжение, подаваемое на разъёмы $P$ и $Q$ цепи, постоянно.

Рисунок к задаче 1

Решение: определим сопротивление данной части схемы:

Часть схемы

$$R+\frac{2R\cdot R}{2R+R}=1\frac{2}{3}R$$

С учетом левого (входного) сопротивления - $2\frac{2}{3}R$.

Распределение токов в схеме

Так как две части схемы симметричны, то можно сделать вывод, что в симметрично расположенных резисторах течет по 16 мА. А значит, в двух последовательно соединенных резисторах в правой части схемы течет по 8 мА - так как сопротивление вдвое больше... И теперь остальные токи:

Полное распределение токов в старой схеме

Когда параллельно этой части существовала симметричная ей, сопротивление было равно

$$R+\frac{5R}{6}=\frac{11R}{6}$$

Следовательно, новый ток будет равен (составим пропорцию, чтобы найти, пропорция обратная):

$$48 - \frac{11R}{6}$$

$$x - 2\frac{2}{3}R$$

Тогда входной ток

$$x=48\cdot \frac{11R}{6}\div\frac{8}{3}R =33$$

А через амперметр потечет, как и в первом случае, две трети – то есть 22 мА.

Ответ: 22 мА.

Задача 2.

Пустотелый металлический шар имеет радиус $r=10$ см и толщину стенок $d=1$мм. Он изготовлен из меди, за исключением полоски на «экваторе» шириной $a=2$ мм, которая выполнена из алюминия (см. рис.). Когда на «полюса» шара было подано напряжение $U=0,1$мВ, через него пошёл ток  $I=5,12$ А. Опыт повторили с другим шаром, у которого вместо алюминиевой полоски была железная. Какой ток пойдёт через этот шар? Удельное сопротивление алюминия равно $\rho_{Al}=2,8\cdot10^{-8}$ Ом$\cdot$м,  железа $\rho_{Fe}=10\cdot 10^{-8}$Ом$\cdot$ м. Контактной разностью потенциалов пренебречь. Ответ округлить до сотых.

Рисунок к задаче 2

Решение: определим сопротивление шара.

$$R=\frac{U}{I}=\frac{0,0001}{5,12}=0,00001953$$

Это сопротивление – сумма последовательно соединенных сопротивлений полушарий и полоски:

$$R=R_{polos}+2R_{polush}$$

Определим сопротивление полоски:

$$ R_{polos}=\rho_{Al}\cdot \frac{l}{S}=\rho_{Al}\cdot \frac{a}{2\pi r\cdot d}=\frac{2,8\cdot10^{-8}\cdot0,002}{2\pi\cdot 0,1\cdot 0,001}=\frac{2,8\cdot 10^{-7}}{\pi}$$

Сопротивления полушарий:

$$2R_{polush}=R- R_{polos}=0,00001953-\frac{2,8\cdot 10^{-7}}{\pi}=19,44\cdot 10^{-6}$$

Определим сопротивление железной полоски:

$$R_{polos_Fe}=\rho_{Fe}\cdot \frac{l}{S}=\rho_{Fe}\cdot \frac{a}{2\pi r\cdot d}=\frac{10\cdot10^{-8}\cdot0,002}{2\pi\cdot 0,1\cdot 0,001}=\frac{10^{-6}}{\pi}$$

Определим новое сопротивление шара.

$$R^{\prime}= R_{polos_Fe}+2R_{polush}=\frac{10^{-6}}{\pi}+19,44\cdot 10^{-6}=19,76\cdot 10^{-6}$$

Находим новый ток:

$$I^{\prime}=\frac{U}{ R^{\prime}}=\frac{0,0001}{19,76\cdot 10^{-6}}=5,06$$

Ответ: 5,06 А