Архивные материалы за Октябрь 2026 года

Задача 1. $SABCD$ - пирамида с вершиной $S$. Плоскость $(SAB)\perp (ABC)$, также плоскость $(SCD)\perp (ABC)$. Известно, что $SB=SC$, $SA=SD$. а) Докажите, что $ABCD$ - равнобедренная трапеция; б) $AB=3, BC=2$, $AD=4$. Грань $SBC$ наклонена к плоскости $ABC$ под углом $45^{\circ}$. Найдите объем пирамиды. Решение.

Задача 1. На ребре $BC$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ($AA_1\parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1$) выбрана точка $K$, причем $KB:KC=1:2$. Точка $P$ принадлежит ребру $DD_1$, причем $DP:DD_1=1:3$. Через точки $K$ и $P$ проведена плоскость, параллельная прямой $BC_1$. Постройте сечение и найдите, в каком отношении секущая плоскость а)...

Задача 1. В основании четырехугольной пирамиды $MPQRS$ лежит трапеция $PQRS$, основание $PS$ которой в 4 раза больше $QR$. Точки $E$ и $F$ лежат на ребрах $MR$ и $PS$ соответственно, причем $ME:ER=2:3$, $PF:FS=1:3$. А) Докажите, что объемы пирамид $MEPQ$ и $EFRS$ относятся как $10:9$; Б) Найдите расстояние от...

Задача 5.15. Ядро, летевшее в горизонтальном направлении со скоростью $\upsilon = 20$ м/с, разорвалось на две части, массы которых $m_1 = 10$ кг и $m_2 = 5$ кг. Скорость второго осколка $\upsilon_2= 90$ м/с и направлена так же, как и скорость ядра. Определить величину и...

Задача 5.12. Две тележки, каждая массой $М$, движутся без трения с одинаковой скоростью $\upsilon_0$. На задней тележке находится человек массы $m$. Человек прыгнул в переднюю тележку. Его скорость во время полета равна $u$ относительно задней тележки. Какой стала скорость передней тележки $\upsilon_1$? Решение. Запишем закон сохранения...

Задача 5.9. Человек, стоящий на коньках на гладком льду, бросает вдоль льда камень массой $m = 0,5$ кг. За время $\tau = 2$ с камень переместился на расстояние $s = 20$ м. С какой скоростью и начинает скользить конькобежец, если его масса $М = 60$...

Задача 34. (МОШ, 2014, 9) Два одинаковых вольтметра соединили параллельно, третий вольтметр подключили к этой комбинации последовательно, и к концам получившейся цепи присоединили идеальную батарейку. При этом вольтметры показывают 4 В, 4 В и 5 В. Какое напряжение у батарейки? Могут ли быть одинаковыми все...

Задача 38. («Покори Воробьёвы горы!», 2019, 7–9) В схеме, показанной на рисунке, используются проградуированный реостат, амперметр с очень малым внутренним сопротивлением и практически идеальный источник с ЭДС 24 В. Изменяя сопротивление реостата, фиксируем показания амперметра: при $R_a = 30$ Ом сила тока $I_a = 0,4$...

Задача 3.25.2 Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром $O$. Диагонали четырёхугольника равны и перпендикулярны, пересекаются в точке $P$, отличной от $O$, и не проходят через точку $O$. Точки $M$ и $N$ —середины диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно. а) Докажите, что четырёхугольник $OMPN$—квадрат. б) Найдите площадь этого...

Задача 2.21.2. В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ относятся как $\frac{1}{3}$. Пусть $M$—середина боковой стороны $CD$. Прямая $AM$ пересекает диагональ $BD$ в точке $P$. а) Докажите, что $\frac{BP}{PD}=\frac{4}{3}$. б) Найдите площадь четырёхугольника $BCMP$, если площадь трапеции $ABCD$ равна 56.