Архивные материалы за Январь 2024 года

Задача 13. Решите неравенство: $$\sqrt{3}\sin x \leqslant \cos x$$ Решение: $$\sqrt{3}\sin x - \cos x \leqslant 0$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x -\frac{1}{2} \cos x \leqslant 0$$ $$\sin (x-\frac{\pi}{6})\leqslant 0$$ Тогда $$-\pi \leqslant x-\frac{\pi}{6}\leqslant 0$$ $$-\frac{5\pi}{6} \leqslant x\leqslant \frac{\pi}{6}$$ Ответ: $-\frac{5\pi}{6} \leqslant x\leqslant \frac{\pi}{6}$   Задача 14. Решите неравенство: $$5\cos x(\sin x+\cos x)>\cos^2 x-\sin^2 x$$ Решение: $$5\cos x\sin x+5\cos^2 x>\cos^2 x-\sin^2 x$$ $$4\cos^2...

Задача 9. Решите неравенство: $$\sin x+\cos x \geqslant 1$$ Решение. Воспользуемся дополнительным углом, для этого разделим на $\sqrt{2}$. $$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x \geqslant \frac{1}{\sqrt{2}}$$ $$\sin \left(\frac{\pi}{4}+x\right) \geqslant \frac{1}{\sqrt{2}}$$ Решение этого неравенства - $\frac{\pi}{4}+2\pi n\leqslant \frac{\pi}{4}+x \leqslant \frac{3\pi}{4}+ 2\pi...

Задача 5. Решите неравенство: $$2\sin^2 x+\sin x>0$$ Решение. Замена $t=\sin x$. $$t<-\frac{1}{2};\ \ \ \  t>0$$ Но лучше, конечно, записать так: $$\begin{Bmatrix}{\sin x >0}\\{\sin x <-\frac{1}{2}}\end{matrix}$$ $$\begin{Bmatrix}{2\pi n< x <\pi+2\pi n}\\{-\frac{5\pi}{6}+2\pi n<x<-\frac{\pi}{6}+2\pi n}\end{matrix}$$ Ответ: $x \in (2\pi n; \pi+2\pi...

Задача 1. Решите неравенство: $$2\sin \frac{x}{2}\leqslant -1$$ Решение. $$\sin \frac{x}{2}\leqslant -\frac{1}{2}$$ Поэтому $$-\frac{5\pi}{6}+2 \pi k \leqslant \frac{x}{2} \leqslant -\frac{\pi}{6}+ 2\pi k$$ $$-\frac{5\pi}{3}+4 \pi k\leqslant x \leqslant -\frac{\pi}{3}+4\pi k$$ Ответ: $-\frac{5\pi}{3}+4 \pi k\leqslant x \leqslant -\frac{\pi}{3}+4\pi k;\ \ \ \ ...

Задача 1. Два груза с массами $M=0,3$ кг и $m$ связаны лёгкой нерастяжимой нитью, перекинутой через лёгкий блок (см. рисунок), и помещены на наклонные шероховатые поверхности клина. Нить скользит по блоку без трения. Угол при вершине клина прямой, а угол наклона к горизонту плоскости, на которой находится груз массы $M$, равен $\alpha=60^{\circ}$ Коэффициенты трения между грузами...

Задача 1. На гладком столе лежит доска массой $M=5$ кг и длиной $L=1,8$ м, а на ней – брусок массой 1 кг. К бруску прикреплена нить, перекинутая через блок (см. рисунок). К другому концу нити (невесомой и нерастяжимой) подвешен груз массой $m=1$ кг, вся система...

Задача 1. После упругого столкновения частицы 1 с покоившейся частицей 2 обе частицы разлетелись симметрично относительно первоначального направления движения частицы 1, а угол между их направлениями разлета $\Theta=60^{\circ}$. Найти отношение масс частиц $\frac{m_1}{m_2}$ Решение. Поскольку частицы разлетелись симметрично, значит, под углом $30^{\circ}$ к первоначальному направлению. Запишем...

  Задача 1. Закрытый с обеих сторон цилиндр разделен на две равные (длиной по $l=42$ см) части теплонепроводящим поршнем. В обеих половинах находятся одинаковые массы газа при температуре $t=27^{\circ}C$ и нормальном атмосферном давлении. На сколько градусов надо нагреть газ в одной части цилиндра, чтобы поршень сместился...

Задача 1. С идеальным одноатомным газом проводят циклический процесс. Расширение газа можно описать графиком в виде дуги окружности 1-2 с центром в начале координат на $pV$диаграмме. $p_0$ и $V_0$ – некоторые фиксированные давление и объем. Найдите отношение температур в точках 1 и 2.  

Задача 1. Через некоторое время от первоначального количества вещества осталось при его распаде 7,7%. Определить, сколько периодов полураспада составляет это время. Ответ округлить до десятых. По закону полураспада $$N=N_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}$$ $$\frac{N}{N_0}=2^{-\frac{t}{T}}$$ Так как осталось 7,7%, то отношение $\frac{N}{N_0}=0,077$. $$0,077=2^{-\frac{t}{T}}$$ $$-\frac{t}{T}=\log_2 0,077=\frac{lg 0,077}{lg 2}=-\frac{1,1135}{0,3}=-3,7$$ $$\frac{t}{T}=3,7$$ Ответ: 3,7 периода. Задача 2. В сосуде, объем которого 1...

Задача 1. Два одинаковых шарика, имеющие одинаковые одноименные заряды, соединены пружиной, жесткость которой $k=20$ Н/м, а длина $l_0=4$ см. Шарики колеблются так, что расстояние между ними меняется от $l_1=3$ см до $l_2=6$ см. Чему равны заряды шариков? Решение. Энергия системы при максимальном сближении шариков равна $$W_1=\frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0...