Архивные материалы за Декабрь 2023 года

Задача 1. Третья часть однородной линейки массой $m=50$ г и длиной $L=30$ см выступает за край стола. Найдите минимальное значение работы $A$, которую необходимо совершить, чтобы переместить всю линейку на стол, сдвигая ее силой, направленной вдоль длинной стороны. Коэффициент трения между линейкой и столом $\mu=0,3$. ...

Задача 1. Гальванический элемент поочередно замыкается проволоками с сопротивлением $R_1=4$ Ом и $R_2=9$ Ом. В обоих случаях количество тепла $Q$, выделяющегося в одной проволоке в единицу времени, одно и то же. Какое количество тепла $Q_1$ в единицу времени выделится, если включены последовательно сразу обе проволоки?...

Задача 1. К потолку подвешены два маятника. За одинаковое время один маятник совершил 10 колебаний, а другой – 7 колебаний. Чему равна длина каждого маятника, если разность их длин составляет 51 см? В ответ записать длину меньшего маятника в см, округлив до целых. Решение. Запишем общую...

Задача 1. В сосуд вместимостью $V$ при помощи насоса с объемом рабочей камеры $V_0$ нагнетают воздух. Каким будет давление в сосуде после $n$ качаний насоса? Атмосферное давление $p_0$, изменением температуры пренебречь. Решение. Мы закачиваем воздух в сосуд, то есть увеличиваем количество вещества в нем. Сначала в...

Задачи на тему «теорема Штейнера». Сначала давайте соберем в «кучку» все формулы моментов инерции для часто встречающихся тел. Момент инерции тонкого кольца (ось вращения перпендикулярна плоскости кольца и проходит через центр) $$J=mr^2$$ Момент инерции полого тонкостенного цилиндра  (ось вращения совпадает с осью цилиндра) $$J=mr^2$$ Момент...

  Задача 8. Решите неравенство:   $$\operatorname{arctg}(3x)- \operatorname{arcctg}(3x)>0$$ Как при решении уравнений, используем следующее: $$9x^2-1>0$$ $$(x-\frac{1}{3})(x+\frac{1}{3})>0$$ Решение этого неравенства - $(-\infty; -\frac{1}{3})\cup (\frac{1}{3}; \infty)$. Так как $x>0$, то решение всего неравенства - $(\frac{1}{3}; \infty)$. Ответ: $(\frac{1}{3}; \infty)$. Аналогично решается неравенство $$\operatorname{arctg}(x)- \operatorname{arcctg}(x)>0$$ $$x^2-1>0$$ $$(x-1)(x+1)>0$$ Решение этого неравенства - $(-\infty; -1)\cup (1; \infty)$. Так как $x>0$, то решение всего...

Задача 4. Решите неравенство. $$\arccos^2 x-3\arccos x+2\geqslant 0$$ Введем обозначение $t=\arccos x$, тогда $$t^2-3t+2\geqslant 0$$ Решением которого будет $t \in (-\infty; \ \ \ \1]\cup [2;\ \ \ \ \infty)$. Но нужно наложить ограничения на $t$: $0\leqslant t \leqslant \pi$. Поэтому окончательно $t \in [0;\ \ \...

Задача 1. Решите неравенство. $$\arcsin (x)\leqslant \arccos(1-x)$$ Решение. Введем функцию $$f(x)= \arcsin (x)- \arccos(1-x)$$ Определим $D(f)$: $$\begin{Bmatrix}{ \mid x \mid \leqslant 1}\\{\mid 1-x \mid \leqslant 1}\end{matrix}$$ $$\begin{Bmatrix}{-1 \leqslant x \leqslant 1}\\{-1 \leqslant 1-x  \leqslant 1}\end{matrix}$$ $$\begin{Bmatrix}{-1 \leqslant x \leqslant 1}\\{-2 \leqslant -x  \leqslant 0}\end{matrix}$$ $$\begin{Bmatrix}{-1 \leqslant x \leqslant 1}\\{0 \leqslant x  \leqslant 2}\end{matrix}$$ Решение...

Задача 34. Решите уравнение. $$2\arcsin (x)=\arcsin(x\sqrt{2})$$ Решение. Пусть $\arcsin (x)=y,\ \ \ \  \sin y=x$. $$2y=\arcsin(x\sqrt{2})$$ $$\sin 2y= x\sqrt{2}$$ Раскрываем синус двойного угла: $$2\sin y \cos y= x\sqrt{2}$$ Если $\sin y=x$, то $\cos y=\sqrt{1-x^2}$. Подставляем: $$2x\cdot \sqrt{1-x^2}= x\sqrt{2}$$ $$x\sqrt{2} \left(\sqrt{2(1-x^2)}-1\right)=0$$ Либо $x=0$, либо $x^2=\frac{1}{2}$, $x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Ответ: $\{0;\ \ \ \   \frac{\sqrt{2}}{2}; \ \ \ \...

Продолжаю серию задач на оптимизацию. Мы уже разобрали, как их решать «нестрого» (но обоснованно!), а теперь как решить строго (для педантов).   Задача 1. В двух областях есть по 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче...

Задача 30. Решите уравнение. $$2\arcsin (x)+ \arccos (2x)=\frac{6\pi}{7}$$ Решение. Угол уж больно неудобный. Есть подозрение, что решений нет. Исследуем функцию слева: она на отрезке от нуля до $\frac{1}{2}$ убывающая, максимум имеет в нуле, и этот максимум - $\frac{\pi}{2}$, что меньше, чем $\frac{6\pi}{7}$. Ответ: решений нет. Задача 31. Решите уравнение. $$\arccos...

Задача 26. Решите уравнение. $$\arcsin (2x)=3\arcsin (x)$$ $$\sin(\arcsin (2x))=\sin(3\arcsin (x))$$ $$2x=\sin(3\arcsin (x))$$ Пусть $\alpha=\arcsin (x)$, $\sin \alpha =x$. Тогда $$\sin (3\alpha)=3\sin  \alpha - 4\sin^3 \alpha=3x-4x^3$$ $$2x=3x-4x^3$$ $$x(4x^2-1)=0$$ Корни $\{0; \ \ \ \  \frac{1}{2}; \ \ \ \   -\frac{1}{2}\}$, все они подходят. Ответ: $\{0; \ \ \ \  \frac{1}{2}; \ \ \ \   -\frac{1}{2}\}$