Архивные материалы за Ноябрь 2023 года

Задача 22. Решите уравнение. $$\arcsin (x^2-2x)=\arccos \sqrt{1-x^2}$$ Применяем стандартный прием: $$(x^2-2x)^2+(1-x^2)=1$$ $$(x^2-2x)^2-x^2=0$$ Раскроем разность квадратов: $$(x^2-2x-x)(x^2-2x+x)=0$$ $$(x^2-3x)(x^2-x)=0$$ Корни ${1,\ \ \ \3,\ \ \ \0}$, но некоторые – посторонние. Так как $-1\leqslant x^2-2x\leqslant 1$, то корнем является только 1. Ответ: 1 Задача 23. Решите уравнение. $$\arcsin (1+2\cos x)+\arccos(1+ 3\operatorname{tg}x)=\frac{\pi}{2}$$ $$\arcsin (1+2\cos x)= \frac{\pi}{2}-\arccos(1+ 3\operatorname{tg}x)$$ $$\sin(\arcsin (1+2\cos x))=\sin \left(...

Задача 18. Решите уравнение: $$\arcsin (x) \cdot \arccos (x)=\frac{\pi^2}{18}$$ Решение: $$\arcsin (x) \cdot \left(\frac{\pi}{2}-\arcsin (x)\right) =\frac{\pi^2}{18}$$ $$\frac{\pi}{2}\arcsin (x)- \arcsin^2 (x) =\frac{\pi^2}{18}$$ Замена: $t=\arcsin (x)$, $$t^2-\frac{\pi}{2}t+\frac{\pi^2}{18}=0$$ $$D=\frac{\pi^2}{4}-4\cdot\frac{\pi^2}{18}=\frac{\pi^2}{36}$$ Корни: $$t=\frac{\frac{\pi}{2}\pm \frac{\pi}{6}}{2}$$ $$t=\frac{\pi}{3}$$ $$t=\frac{\pi}{6}$$ Обратная замена: $$x=\sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x=\sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$$ Ответ: $\{\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2} \}$   Задача 19. Решите уравнение: $$\arcsin (2x-15)= \arcsin (x^2-6x-8)$$ $$2x-15= x^2-6x-8$$ $$ x^2-8x+7=0$$ Так как $$-1 \leqslant 2x-15 \leqslant 1$$ $$14 \leqslant 2x \leqslant 16$$ $$7\leqslant x \leqslant...

Задача 14. Решить уравнение. $$ 2\arcsin^2 (x)-7\arcsin (x)+3=0$$ Решение: ну тут сразу понятно: замена. $$t=\arcsin x$$ $$2t^2-7t+3=0$$ $$t_1=\frac{1}{2}$$ $$t_2=3$$ Так как $\mid t \mid \leqslant \frac{\pi}{2}$, то $ t=\frac{1}{2}$. Обратная замена: $$\arcsin x=\frac{1}{2}$$ $$x=\sin (0,5)$$ Ответ: $x=\sin (0,5)$.   Задача 15. Решить уравнение. $$ \arcsin^2 (x)-\frac{\pi}{2}\arcsin (x)+\frac{\pi^2}{18}=0$$ Решение. Снова заменим: $t=\arcsin x$. $$t^2-\frac{\pi}{2}t+\frac{\pi^2}{18}=0$$ $$D=\frac{\pi^2}{4}-4\frac{\pi^2}{18}=\frac{\pi^2}{36}$$ Корни: $$t=\frac{\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}}{2}=\frac{\pi}{3}$$ $$t=\frac{\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}}{2}=\frac{\pi}{6}$$ Так как $\mid t \mid \leqslant \frac{\pi}{2}$, то...

Задача 9. Решите уравнение: $$\operatorname{arctg}(x+1)- \operatorname{arctg}(x-1)= \operatorname{arctg}(2)$$ Решение: берем тангенс слева и справа. Слева преобразуем тангенс суммы: $$\operatorname{tg} \left(\operatorname{arctg}(x+1)- \operatorname{arctg}(x-1)\right)= \operatorname{tg} (\operatorname{arctg}(2))$$ $$\frac{x+1+1-x}{1-(x+1)(1-x)}=2$$ $$\frac{1}{1-(x-x^2+1-x)}=1$$ $$\frac{1}{x^2}=1$$ $$x=\pm 1$$ Ответ: $x=1;   x=-1$.   Задача 10. Решите уравнение: $$\arcsin x+\arcsin (x\sqrt{3})=\frac{\pi}{2}$$ Решение: $$\arcsin x=\frac{\pi}{2} -\arcsin (x\sqrt{3})$$ $$\arcsin x=\arccos (x\sqrt{3})$$ Теперь уже легко, пользуемся соотношением 1: если $ \arcsin f(x)= \arccos g(x)$, то $f^2(x)+g^2(x)=1$. $$x^2+3x^2=1$$ $$4x^2=1$$ $$x=\frac{1}{2}$$ Ответ:...

Задача 5. Решите уравнение: $$\arcsin (3x-1)+2\operatorname{arctg}(4x)=\arccos(1-3x)$$ Решение: $$2\operatorname{arctg}(4x)= \arccos(1-3x)+ \arcsin (1-3x)$$ $$2\operatorname{arctg}(4x)= \frac{\pi}{2}$$ $$\operatorname{arctg}(4x)= \frac{\pi}{4}$$ $$4x=\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}=1$$ $$x=0,25$$ Так как $$-1\leqslant 3x-1\leqslant 1$$ $$0\leqslant 3x\leqslant 2$$ $$0\leqslant x\leqslant \frac{2}{3}$$ То найденный корень вполне гож. Ответ: $x=0,25$.   Задача 6. Решите уравнение: $$\arcsin x+\arccos(x-1)=\pi$$ Решение: $$\arcsin x=\pi-\arccos(x-1)$$ $$\arcsin x=\arccos(x-1)$$ Применяем первое из соотношений для решения уравнений: если $ \arcsin f(x)= \arccos g(x)$, то $f^2(x)+g^2(x)=1$. $$x^2+(1-x)^2=1$$ $$x^2+1-2x+x^2=1$$ $$2x^2-2x=0$$ Ответ: $x=0$ или $x=1$.  

В этой статье рассмотрим свойства обратных тригонометрических функций и будем решать уравнения с ними. Сначала – немного теории. Первая функция - арксинус: $$y=\arcsin x$$ Функция возрастающая, $D(f) \in [-1; 1]$ Функция нечетная: $$\arcsin(-x)=-\arcsin x$$ Область значений $$E(\arcsin (x))=[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} ]$$ Вторая...

Задача 1. Чтобы изотермически уменьшить объем газа в $n$ раз, на тяжелый поршень, под которым он находится, надо положить груз $M$. Какой груз надо положить на поршень, чтобы уменьшить объем еще в $k$ раз?

Задача 1. По магистральному газопроводу Уренгой-Помары-Ужгород с диаметром труб $d=1020$ мм подается смесь горючих газов под давлением 10 атм. Скорость движения газа в трубе $\upsilon=10$ м/с, температура $t=17^{\circ}C$. Молярная масса смеси $M=44$ г/моль. Какая масса смеси прокачивается за год? Решение. Начнем с сечения газопровода: $$S=\frac{\pi d^2}{4}$$ За год...

Степенью диссоциации $\alpha$ называется доля распавшихся молекул изо всех молекул $N_0$, $$\alpha=\frac{N}{N_0}$$ Коэффициент размножения $\beta$ показывает, во сколько раз выросло число разваливающихся частиц. Молекулы газа могут развалиться на 2 части – тогда коэффициент размножения $\beta=2$, например, если разваливаются двухатомные газы на атомы, а если, например, происходит реакция,...

На гладкой горизонтальной плоскости находится тело массы $M$ (рис.) и на нем небольшая шайба массы $m$. Последней сообщили в горизонтальном направлении скорость $\upsilon$. На какую высоту (по сравнению с первоначальным уровнем) поднимется шайба после отрыва от тела $M$? Трения нет.