Простая физика
Архивные материалы за Июль 2016 года
Категория:
Движение под углом к горизонтуМячик и две наклонные плоскости
Задача из книги "Отличник ЕГЭ. Решение сложных задач." Задача требует внимательного перехода из одной системы координат в другую и грамотной записи уравнений с использованием проекций скоростей и ускорений.
Маленький шарик падает с нулевой начальной скоростью с некоторой высоты $H$ на наклонную плоскость. После удара он попадает...
Категория:
Равнопеременное движениеМячик в лифте и камешек, упавший на землю
Задачи, предложенные в статье, взяты из книги "Отличник ЕГЭ. Решение сложных задач." Первая задача относительно простая, вторая - довольно сложная. Сложность состоит, например, в том, чтобы не запутаться с самого начала и четко различать понятия "путь" и "перемещение".
Задача 1.
Подъемный кран опускает бетонную плиту...
Категория:
Движение под углом к горизонтуМячи и камушки в воздухе
В статье предложены задачи из книги "Отличник ЕГЭ. Решение сложных задач". Задачи подобрались несложные, вполне решаемые. Можно использовать их как базу для подготовки к ЕГЭ или олимпиадам районного уровня.
Задача 1.
Небольшой камень, брошенный с ровной горизонтальной поверхности земли под углом к горизонту, упал обратно...
Категория:
Экономическая задача (16)Экономическая задача с неизвестным сроком хранения вклада
Задача. Виктор Михайлович положил в банк 96000 рублей. Несколько лет ему начислялись то 5%, то 10% годовых, а за последний год начислили 25% годовых. При этом проценты начислялись в конце каждого года и добавлялись к сумме вклада. В результате его вклад стал равным 160083 рублей....
Категория:
Параметры (18)Количество решений в задаче с параметром
В этой задаче нужно очень внимательно разобрать все возможные варианты, которые могут обеспечить наличие трех решений исходного уравнения. Всегда для этого полезно нарисовать картинку: так проще провести анализ и наложить условия, которые помогут проще найти значения параметра.
При каком значении параметра $a$ уравнение
$$\sin^2 x + (a-2)^2...
Категория:
Параметры (18)Уравнение с параметром. Теорема Виета
При решении данного уравнения проведен анализ, в каких случаях может оказаться, что у квадратного уравнения один корень, и подробно рассмотрены все такие случаи.
При каком значении параметра $a$уравнение
$$25^x-(8a+5)\cdot 5^x+16a^2+20a-14=0$$
имеет одно решение?
Первое, что приходит в голову, - ввести замену. Сделаем замену $t=5^x$, $t>0$. Тогда
$$t^2-(8a+5)t+16a^2+20a-14=0$$
У этого уравнения могут...
Категория:
Параметры (18)Теорема Виета в задаче с параметром
Задачи с параметром – наиболее сложные, но зато и самые интересные. Решение такой задачи – всегда исследование, всегда приключение. При решении уравнения использована теорема Виета, проведен анализ количества корней уравнения в зависимости от параметра
Задача. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$$(\operatorname{tg} {x}+6)^2-(a^2+2a+8)(...
Категория:
Движение под углом к горизонтуСтолкновения в воздухе
Решение этих задач достаточно однотипно: понятно, что, раз тела повстречались в воздухе, значит они оказались в одном и том же месте, в одной точке. То есть координаты по обеим осям должны быть одинаковы. Далее решение строится на приравнивании этих координат и получении из уравнения требуемой...
Категория:
Параметры (18)Тригонометрические уравнения с параметром
Задачи с параметром – наиболее сложные, но зато и самые интересные. Решение такой задачи – всегда исследование, всегда приключение. Тогда вперед, к приключениям!
Задача 1.
Найдите все значения параметра $q$, при каждом из которых уравнение
$$(\operatorname{tg} {a}+2)^2-(q^2-9q)( (\operatorname{tg} {a}+2)-9q^3=0$$
Относительно величины $a$ имеет ровно 89 решений на...
Категория:
Параметры (18)Площадь фигуры и параметр
Когда какое-либо уравнение задает фигуру, то всегда должна получиться замкнутая ломаная линия, причем линии излома можно просто установить. Понадобятся и геометрические знания: вспомним коэффициент подобия.
Задача. При каких значениях параметра $a$ площадь фигуры, заданной уравнением
$$\mid 2x+y \mid + \mid x-y+3 \mid \leqslant a$$
будет равна 24?
Определяем линии...
Категория:
Параметры (18)Задача с параметром и двумя модулями
В этой задаче, если заметить симметрию относительно обеих переменных, то при решении можно обойтись "малой кровью" - решение сводится к определению уравнений прямых первого квадранта, а во все остальные картинку можно отразить симметрично.
Задача. Найти значения параметра $a$, при которых решения неравенства $$(\mid x \mid+ \mid...
Категория:
Параметры (18)Параметр, модуль и пары параллельных прямых
В этой задаче нам придется не только раскрывать два модуля, но потом и построить получившиеся прямые, а их будет несколько, и найти, где области между прямыми и заданный промежуток не имеют общих точек.
Задача. Найти значение параметра $a$, при котором решение неравенства $$\mid x+a- \mid 2a-\frac{x}{2}...
Категория:
Параметры (18)Графическое решение неравенства с параметром и модулем
Здесь будет применен прием домножения на сопряженное выражение, и применен графический способ решения данного неравенства.
Задача. Найдите все значения параметра $a$, при которых неравенство выполняется на отрезке $x \in [-1;0]$:
$$\mid x+a^2 \mid \leqslant \mid a+x^2 \mid$$
Перепишем:
$$\mid x+a^2 \mid - \mid a+x^2 \mid\leqslant 0$$
Применим прием «борьбы» с...
Категория:
Параметры (18)Неравенство с параметром: применение различных приемов.
При решении этого неравенства применяется целый комплекс приемов и подходов: тут и домножение на сопряженное выражение, и искуственный прием при использовании рационализации логарифма, и сам метод рационализации, и использование графического метода при доведении до получения ответа.
Задача. Решите неравенство:
$$\log_a (x+4)\cdot \left((a+1)^{x+2}-a-1\right)( \mid x -4 \mid -2)...
Категория:
Неравенства (15)Метод домножения на сопряженное выражение при решении неравенств
Когда мы решаем неравенства, то помним, что можно разделить неравенство на заведомо положительное выражение без смены знака, и на заведомо отрицательное - со сменой. Также известно, что можно умножить неравенство на положительное выражение. Именно это мы и будем использовать при решении приведенных ниже неравенств.
Задача. Решите...
Категория:
Движение по окружностиЗадача про катушку
В этой задаче придется применить не только знание темы "равноускоренное движение", но и тему "движение по окружности", а также вспомнить, что такое мгновенный центр вращения.
Задача. На цилиндрическую часть катушки радиусом $r=10$ см, лежащей на столе, намотана легкая нерастяжимая нить, отрезок $AB$ которой горизонтален. В момент...
Категория:
Равнопеременное движениеРакеты
Две задачи из ЕГЭ по физике, очень несложные, решаются аналогично, поэтому, после просмотра решения первой задачи рекомендую вторую решить самостоятельно.
Задача 1.
Ракета запущена вертикально вверх с поверхности земли и на участке разгона имела постоянное ускорение $a=19,6$ м/с$^2$. Какое время $t_0$ падала ракета после достижения...
Категория:
Движение под углом к горизонтуВзрыв сферы
В этой задаче потребуются знания не только формул равноускоренного движения, но и очень хорошие геометрические (стереометрические) знания, а кроме того, и знание тригонометрии.
Задача. На поверхности земли на множество осколков разорвалась небольшая сфера массой $m=1$ кг. Осколки разлетелись во все стороны с одинаковыми по модулю скоростями...
Категория:
Движение под углом к горизонтуВодяные струи
Две задачи, связанные с движением под углом к горизонту, и обе - про водяные струи, поэтому я их и объединила в одну статью. Первая - простая, а во второй нужно вспомнить тригонометрию, и решить ее в общем виде, что обычно сложнее для ребят.
Задача 1.
...
Категория:
Параметры (18)Два уравнения с параметрами
При решении одного из представленных уравнений используется монотонность функции, второе - использует свойства квадратного трехчлена и его корней. Чтобы правильно выбрать оптимальный путь решения задачи с параметрами, нужно иметь опыт решения подобных задач. Поэтому рецепт один: решать.
Задача 1.
При каком значении параметра $a$ решение...
Категория:
Движение с постоянной скоростьюДвижение точки на плоскости
В этой статье понадобится различать такие понятия, как модуль средней скорости и средняя путевая скорость. Модуль средней скорости – это средняя скорость по перемещению, то есть частное от деления модуля перемещения на время. Средняя путевая скорость – это частное от деления всего пути, пройденного телом,...
Категория:
Равнопеременное движениеСвободное падение
В статье собраны задачи, связанные с падением тел. При падении ускорение постоянно и равно 9,8 м/c$^2$. Свободно падающее тело - тело, падающее без начальной скорости, как оторвавшаяся сосулька.
Задача 1.
Свободно падающее тело в некоторый момент времени находилось на высоте $h_1=1100$ м, а спустя время...
Категория:
Планиметрия (17)Задачи с фантазией - 9
Продолжаю серию статей "Задачи с фантазией". Эти задачи можно и нужно использовать как подготовку к решению задачи 16: они очень хорошо развивают "геометрическое видение". Решайте больше - и количество не замедлит перерасти в качество!
Задача 1.
Дан правильный десятиугольник $H_1H_2H_3…H_{10}$. Чему равен угол между диагоналями...
Категория:
9 классЗадача с окружностями
Несложная, приятная задача, которая напомнит уравнение окружности, а также поможет научиться выделить его, и напоминает, как найти расстояние между точками, зная их координаты.
Концы отрезка расположены на линиях, заданных уравнениями:
$$\begin{Bmatrix}{g^2+8k-272+2g+k^2=0}\\{g^2-40k+k^2+16g+448=0 }\end{matrix}$$
Чему равна наименьшая возможная длина отрезка?
Преобразуем уравнения и запишем иначе:
$$\begin{Bmatrix}{g^2+2g+1-1 -272+k^2+8k +16-16=0}\\{g^2+16g+64-64+k^2 -40k +400-400+448=0 }\end{matrix}$$
$$\begin{Bmatrix}{(g^2+2g+1)+(k^2+8k +16)-289=0}\\{(g^2+16g+64)+(k^2...
Категория:
Вычисления и преобразованияПреобразование тригонометрических выражений
Поучимся сегодня преобразовывать тригонометрические выражения. Эти задания относятся к заданиям 9 профильного ЕГЭ, а также заданиям 5 базового ЕГЭ.
Задача 1. Вычислите все возможные значения выражения $\sin(-22w)$, если величина $w$ является решением уравнения:
$$306\cos(-11w)-187\sin(-11w)=0$$
Нам необходимо определить синус двойного угла. Из уравнения можем найти тангенс, а...
Категория:
Движение с постоянной скоростьюБайдарка и бревно
Хорошая, довольно простая задача (простая в отношении физики процесса), требующая, однако, решения тригонометрического уравнения, сводящегося к квадратному. Если грамотно разложить скорости на проекции - то задача решается просто.
Задача. Турист, сплавлявшийся по реке на байдарке, заметил, что поток несет его к середине упавшего и перегородившего ему...
Категория:
Нестандартные задачиРаспиленный брусок
Интересная несложная задача, в общем, даже не на сообразительность, а больше на внимательность.
Задача. Деревянный брусок, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда $JVEMJ_1V_1E_1M_1$, распилили тремя распилами, параллельными граням, на 8 маленьких брусков. Чему равна площадь поверхности бруска с вершиной $J_1$, если площадь поверхности бруска с вершиной $J$ составляет...
Категория:
Планиметрия (17)Задачи с фантазией - 7
Задачи в этой серии статей подобрались одна к одной: не совсем привычные, требующие времени, часто имеющие два решения и требующие нестандартных подходов.
Задача 1.
В остроугольном треугольнике $KLV$ провели высоту $LA$. Из точки $A$ на стороны $KL$ и $LV$ опустили перпендикуляры $AE$ и $AW$ соответственно....
Категория:
Параметры (18)Задача с параметром. Полуокружность
Необходимо найти значение параметра, такое, чтобы уравнение имело единственное решение. Знакомимся с видом уравнения, задающего полуокружность.
Задача. Чему равно значение параметра $m$, если уравнение
$$mx-\sqrt{-x^2-28x+380}=-110+11m+10x$$
имеет единственное решение?
Перепишем немного иначе:
$$\sqrt{-x^2-28x+380}= mx +110-11m-10x $$
Поработаем с правой частью:
$$\sqrt{-x^2-28x+380}= x(m-10) -11(m-10)$$
$$\sqrt{-x^2-28x+380}= (x-11)(m-10)$$
Теперь займемся левой частью.
$$\sqrt{-x^2-28x-196+576}= (x-11)(m-10)$$
$$\sqrt{-(x+14)^2+576}= (x-11)(m-10)$$
В левой части имеем уравнение...
Категория:
Вычисления и преобразованияСтепени и корни
В этой статье рассмотрены задачи со степенями и корнями, которые были предложены на вступительных экзаменах в различные вузы. Нужно либо упростить выражение, либо вычислить его значение.
Задача 1.
Вычислить:
$$(\sqrt{28}-\sqrt{12})\cdot \sqrt{10+\sqrt{84}}$$
Решение:
$$(\sqrt{28}-\sqrt{12})\cdot \sqrt{10+\sqrt{84}}=(2\sqrt{7}-2\sqrt{3})\cdot \sqrt{10+\sqrt{84}}=2(\sqrt{7}-\sqrt{3})\cdot \sqrt{7+2\sqrt{3}\sqrt{7}+3}$$
$$2(\sqrt{7}-\sqrt{3})\cdot \sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{7})^2}=2(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})=2(7-3)=8$$
Ответ: 8
Задача 2.
...
Категория:
Теория относительностиСатана и питейное заведение
Задача на релятивистские скорости, изменение массы тела и его длины при скоростях, приближающихся к скорости света. Также задача поможет вспомнить и повторить тему "плотность" и понятие "концентрация".
Задача. Сатана, пролетая мимо питейного заведения, походя измерил плотность продаваемой водки и обнаружил, что вместо плотности, соответствующей положенным 40% концентрации спирта,...
Категория:
Параметры (18)Уравнение с параметром
В этой задаче надо найти такие значения параметра, при которых уравнение будет иметь одно решение. А уравнение квадратное, но присутствует и дробь, поэтому может так случиться, что один из корней совпадет с корнем знаменателя и таким образом станет посторонним. Поэтому такой случай, кроме нулевого дискриминанта,...
Категория:
Параметры (18)Тригонометрия и свойства функций в задачах с параметром
Есть разные способы решать задачи с параметром. Самый наглядный - графический, но он не везде применим. Хорош и аналитический способ - но в этой задаче две совершенно разные функции, и это наталкивает на применение свойств функций.
Задача. При каких значениях параметра $a$ уравнение
$$\cos{\frac{10x-2x^2-a}{3}} -\cos(2x+a)=x^2-8x-a$$
имеет одно решение?
Обратим...
Категория:
Параметры (18)Сложная задача с параметром
В этой интересной задаче сошлись как использование свойств функций, так и графические приемы решения. Даже в самом конце решения, при записи ответа, нужно подставлять значения $x$ в "правильное" неравенство, следя за тем, оказались ли мы выше или ниже разделительной прямой.
Задача. При каких значениях параметра $a$ неравенство
$$2^{\mid 9a+6x \mid+x^2-9}...
Категория:
Относительность движенияПарашютисты
В этой статье рассмотрены задачи, в которых присутствует как движение с постоянной скоростью, так и равноускоренное движение, а именно, падение тел. Также эти задачи включают и относительность движения, потому что парашютисты двигаются, и бросают тела относительно себя, а следовательно, их скорость относительно земли надо определить.
Категория:
Параметры (18)Свойства функции в задачах с параметром
При решении этой задачи мы воспользуемся свойствами функции. Функцию можно исследовать на монотонность, именно монотонность функции нам и поможет в этой задаче. Также нужно помнить, что при введении замены нас уже не интересует "бывшая" переменная, и никакого ОДЗ уже не нужно определять. После замены нам...
Категория:
Равнопеременное движениеСкорости и ускорения как производные координаты
Зная координату тела (закон, по которому она изменяется) можно очень многое о движении этого тела узнать. Например, скорость - первая производная от координаты. А ускорение - вторая производная, или первая производная скорости. Если в задаче дано еще и время движения тела - то можно полностью...