Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория относительности

Знаменитая формула Эйнштейна

Задачи этой статьи непосредственно связаны со знаменитой формулой Эйнштейна: научимся определять полную энергию, кинетическую, массу покоя частиц, находить изменение энергии по изменившейся массе и наоборот: массу по изменившейся энергии.

Знаменитая формула Эйнштейна


Задача 1. Определить энергию, соответствующую массе покоящегося электрона. Результат выразить в электрон-вольтах.

    \[E=m_e c^2=9,1\cdot10^{-31}\cdot 9 \cdot 10^{16}=81,9 \cdot10^{-15}\]

В электронвольтах это

    \[E_1=\frac{E}{1,6\cdot10^{-19}}=511875=0,5\cdot10^6\]

Ответ: 0,5 МэВ

Задача 2. Вычислите энергию покоя: а) протона; б) \alpha -частицы.

Из таблицы возьмем массу протона и сосчитаем его энергию:

    \[E_p'=m_p c^2=1,67\cdot10^{-27}\cdot 9 \cdot 10^{16}=15 \cdot10^{-11}\]

В электронвольтах это

    \[E_p=\frac{E_p'}{1,6\cdot10^{-19}}=9,39\cdot10^8\]

У альфа-частицы в составе два протона и два нейтрона, поэтому ее масса:

    \[m_{\alpha}=2m_p+2m_n=2\cdot1,67\cdot10^{-27}+2\cdot1,67\cdot10^{-27}=4m_p\]

Поэтому ее энергия будет в 4 раза больше, чем у протона:

    \[E_{\alpha}=4\cdot 9,39\cdot10^8=37,6\cdot10^8\]

Ответ: E_p=9,39\cdot10^8 эВ, E_{\alpha}=37,6\cdot10^8 эВ.

Задача 3. При какой скорости кинетическая энергия частицы равна ее энергии покоя?

Полная энергия складывается из энергии покоя и кинетической энергии, поэтому

    \[E=E_k+E_0\]

Так как E_k=E_0, то E=2E_0.

Тогда

    \[mc^2=2m_0c^2\]

Или

    \[m=2m_0\]

Следовательно,

    \[\frac{m_0}{m}=\frac{1}{2}=\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}\]

Откуда

    \[1-\left(\frac{u}{c}\right)^2=\frac{1}{4}\]

    \[\left(\frac{u}{c}\right)^2=\frac{3}{4}\]

    \[u=\frac{\sqrt{3}}{2}c=0,866c\]

Ответ: u=0,866c.

Задача 4. Полная энергия тела возросла на \Delta E = 1 Дж. На сколько при этом изменилась масса тела?

    \[\Delta E=\Delta m c^2\]

    \[\Delta m=\frac{\Delta E }{c^2}=\frac{1}{9\cdot10^{16}}=11,1\cdot10^{-15}\]

Ответ: \Delta m=11,1\cdot10^{-15} г.

Задача 5. Найти изменение энергии, соответствующее изменению массы на величину массы покоя протона.

    \[\Delta E=\Delta m c^2=m_p c^2=1,67\cdot10^{-27}\cdot 9 \cdot 10^{16}=15 \cdot10^{-11}\]

В электронвольтах это

    \[\Delta E =9,39\cdot10^8\]

Ответ: \Delta E=15 \cdot10^{-11} Дж, \Delta E =9,39\cdot10^8 эВ.
Задача 6. С единицы площади поверхности Солнца ежесекундно испускается энергия W= 74 МДж/(м^2\cdotс). На сколько уменьшается масса Солнца за год?

    \[E=WSt=\Delta m c^2\]

    \[\Delta m=\frac{ WSt }{ c^2}=\frac{W\cdot4\pi R^2\cdot t}{c^2}\]

Время нужно выразить в секундах:

    \[t=365\cdot24\cdot3600=31536000\]

    \[\Delta m=\frac{74\cdot10^6\cdot4\cdot3,14 \cdot6,96^2\cdot10^{16}\cdot 31536000}{9 \cdot 10^{16}}=1,42\cdot10^{18}\]

Ответ: \Delta m=1,42\cdot10^{18} кг.

Задача 7. Масса Солнца M = 1,99 \cdot 10^{30} кг. Солнце в течение времени t= 1 год излучает энергию E = 12,6 \cdot 10^{33} Дж. За какое время масса Солнца уменьшится вдвое (n= 2)?

    \[\Delta m=\frac{M}{2}\]

    \[E_{\Delta}=\Delta m c^2\]

    \[T=\frac{ E_{\Delta}}{E}=\frac{Mc^2}{2E}=\frac{1,99 \cdot 10^{30}\cdot9 \cdot 10^{16}}{12,6 \cdot 10^{33}}=7,1\cdot10^{12}\]

Ответ: T=7,1\cdot10^{12} лет.
Задача 8. Объем воды в Мировом океане V= 1,3\cdot 10^9 км^3. На сколько возрастет масса воды в океане, если температура воды повысится на \Delta t = 1^{\circ}С? Плотность воды в океане \rho = 1,03\cdot 10^З кг/м^3.

    \[E=m c_v \Delta t=\Delta m c^2\]

    \[\Delta m=\frac{ m c_v \Delta t }{ c^2}=\frac{ \rho V  c_v \Delta t }{ c^2}=\frac{1,03\cdot 10^3\cdot 1,3\cdot 10^{18}\cdot4200\cdot1}{ 9 \cdot 10^{16}}=6,25\cdot 10^7\]

Ответ: \Delta m=6,25\cdot 10^7 кг.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *