Заводы и зарплата: решение без производной

[latexpage]

Задачи на оптимизацию не всегда сложные. Иногда они совсем простые, решение двух таких я привела в этой статье.

Задача 1. В распоряжении прораба имеется бригада рабочих в составе 35 человек. Их нужно распределить на строительство двух частных домов, находящихся в разных городах. Если на строительстве первого дома работает $t$ человек, то их суточная зарплата составляет $7t^2$ д. е. Если на строительстве второго дома работает $t$ человек, то их суточная зарплата составляет $3t^2$ д. е. Какое минимальное количество денежных единиц придется выплатить рабочим за сутки?

Решение. Если $x$ рабочих направлены на первый объект, их зарплата-  $7x^2$. Тогда на второй объект направим $35-x$ рабочих, и их зарплата составит $3(35-x)^2$. Заплатить нужно как можно меньше, поэтому нужно свести к минимуму сумму:

$$f(x)=7x^2+3(35-x)^2=7x^2+3(1225-70x+x^2)=10x^2-210x+3675$$

Это парабола, ветви вверх, минимум – в вершине. Определяем вершину.

$$-\frac{b}{2a}=-\frac{210}{20}=10,5$$

Так что в первой бригаде либо 10 либо 11 человек. Так как оба эти числа находятся на одинаковом расстоянии от вершины параболы, то значение функции в обеих точках одинаково: $f(10)=f(11)=2575$ единиц.

Ответ: 2575 д.е.

Задача 2. Борис является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $t$ единиц товара.

За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Борис платит рабочему 500 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 200 рублей.

Борису нужно каждую неделю производить 70 единиц товара. Какую наименьшую сумму придётся тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

Решение.  Пусть на первом заводе производят $x$ единиц продукции, значит, трудятся $x^2$ часов. Если на втором заводе производят $y$ единиц продукции, значит, трудятся $y^2$ часов. Всего необходимо $x+y=70$ единиц товара. Значит, всего будет потрачено часов $x^2+y^2$, а заплачено рабочим $$S=200x^2+500y^2=200x^2+500(70-x)^2=200x^2+500(4900-140x+x^2)=$$

$$=700x^2-70000x+2450000$$

Это парабола, ветви вверх, минимум – в вершине.

$$-\frac{b}{2a}=-\frac{70000}{1400}=50$$

Значит, $y=20$. Всего рабочим заплачено

$$S=2500\cdot 200+400\cdot 500=700000$$

Ответ: 700000 руб.