Заводы и зарплата: решение без производной

Задачи на оптимизацию не всегда сложные. Иногда они совсем простые, решение двух таких я привела в этой статье.

Задача 1. В распоряжении прораба имеется бригада рабочих в составе 35 человек. Их нужно распределить на строительство двух частных домов, находящихся в разных городах. Если на строительстве первого дома работает $t$ человек, то их суточная зарплата составляет $7t^2$ д. е. Если на строительстве второго дома работает $t$ человек, то их суточная зарплата составляет $3t^2$ д. е. Какое минимальное количество денежных единиц придется выплатить рабочим за сутки?

Решение. Если $x$ рабочих направлены на первый объект, их зарплата- $7x^2$ . Тогда на второй объект направим $35-x$ рабочих, и их зарплата составит $3(35-x)^2$ . Заплатить нужно как можно меньше, поэтому нужно свести к минимуму сумму:

$f(x)=7x^2+3(35-x)^2=7x^2+3(1225-70x+x^2)=10x^2-210x+3675$

Это парабола, ветви вверх, минимум – в вершине. Определяем вершину.

$-\frac{b}{2a}=-\frac{210}{20}=10,5$

Так что в первой бригаде либо 10 либо 11 человек. Так как оба эти числа находятся на одинаковом расстоянии от вершины параболы, то значение функции в обеих точках одинаково: $f(10)=f(11)=2575$ единиц.

Ответ: 2575 д.е.

Задача 2. Борис является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $t$ единиц товара.

За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Борис платит рабочему 500 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 200 рублей.

Борису нужно каждую неделю производить 70 единиц товара. Какую наименьшую сумму придётся тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

Решение. Пусть на первом заводе производят $x$ единиц продукции, значит, трудятся $x^2$ часов. Если на втором заводе производят $y$ единиц продукции, значит, трудятся $y^2$ часов. Всего необходимо $x+y=70$ единиц товара. Значит, всего будет потрачено часов $x^2+y^2$ , а заплачено рабочим