Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Экономическая задача (17)

Заводы и зарплата: решение без производной

Задачи на оптимизацию не всегда сложные. Иногда они совсем простые, решение двух таких я привела в этой статье.

Задача 1. В распоряжении прораба имеется бригада рабочих в составе 35 человек. Их нужно распределить на строительство двух частных домов, находящихся в разных городах. Если на строительстве первого дома работает t человек, то их суточная зарплата составляет 7t^2 д. е. Если на строительстве второго дома работает t человек, то их суточная зарплата составляет 3t^2 д. е. Какое минимальное количество денежных единиц придется выплатить рабочим за сутки?

Решение. Если x рабочих направлены на первый объект, их зарплата-  7x^2. Тогда на второй объект направим 35-x рабочих, и их зарплата составит 3(35-x)^2. Заплатить нужно как можно меньше, поэтому нужно свести к минимуму сумму:

    \[f(x)=7x^2+3(35-x)^2=7x^2+3(1225-70x+x^2)=10x^2-210x+3675\]

Это парабола, ветви вверх, минимум – в вершине. Определяем вершину.

    \[-\frac{b}{2a}=-\frac{210}{20}=10,5\]

Так что в первой бригаде либо 10 либо 11 человек. Так как оба эти числа находятся на одинаковом расстоянии от вершины параболы, то значение функции в обеих точках одинаково: f(10)=f(11)=2575 единиц.

Ответ: 2575 д.е.

 

Задача 2. Борис является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t^2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара.

За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Борис платит рабочему 500 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 200 рублей.

Борису нужно каждую неделю производить 70 единиц товара. Какую наименьшую сумму придётся тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

Решение.  Пусть на первом заводе производят x единиц продукции, значит, трудятся x^2 часов. Если на втором заводе производят y единиц продукции, значит, трудятся y^2 часов. Всего необходимо x+y=70 единиц товара. Значит, всего будет потрачено часов x^2+y^2, а заплачено рабочим

    \[S=200x^2+500y^2=200x^2+500(70-x)^2=200x^2+500(4900-140x+x^2)=\]

    \[=700x^2-70000x+2450000\]

Это парабола, ветви вверх, минимум – в вершине.

    \[-\frac{b}{2a}=-\frac{70000}{1400}=50\]

Значит, y=20. Всего рабочим заплачено

    \[S=2500\cdot 200+400\cdot 500=700000\]

Ответ: 700000 руб.

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *