Заряженные сферы 3

Это третья статья короткого цикла. В ней я собрала задачи из задачника Гольдфарба на заряженные сферы. Эта тема обычно трудно дается ученикам, поэтому по просьбе коллеги публикую эту серию.

Задача 1. Двум металлическим шарам с радиусами $r_1$ и $r_2$ , соединенным длинным тонким проводником, сообщен заряд $Q$ . Затем шар радиусом $r_1$ помещают внутрь металлической заземленной сферы радиусом $3r_1$ . Какое количество электричества перейдет при этом по соединительному проводнику?

Решение. Емкости шаров

$C_1=\frac{ r_1}{k}$

$C_2=\frac{ r_2}{k}$

Заряд $Q$ распределен на оба шара.

$Q=q_1+q_2$

Заряды относятся, как радиусы шаров:

$\frac{q_1}{q_2}=\frac{r_1}{r_2}$

Тогда

$Q=q_1+q_1\frac{r_1}{r_2}$

$q_1=\frac{Q}{1+\frac{r_1}{r_2}}=\frac{qr_1}{r_1+r_2}$

$q_2=Q-\frac{qr_1}{r_1+r_2}=\frac{qr_2}{r_1+r_2}$

Потенциал шара 1 до окружения его оболочкой равен

$\varphi_1=\frac{qk}{r_1+r_2}=\varphi\frac{r_1}{r_2}$

На оболочке индуцируется заряд $-q_1$ на внутренней стороне, и $q_1$ – на внешней. Когда оболочку заземлят, потенциал оболочки будет равен нулю. Ее потенциал изменится на величину

$\Delta \varphi_{ob}=0-\varphi_1\frac{r_1}{3r_1}=0-\frac{\varphi_1}{3}=-\frac{\varphi_1}{3}$

Потенциал шара изменится на такую же величину:

$\varphi_2=\varphi_1+\left(-\frac{\varphi_1}{3}\right)=\frac{2\varphi_1}{3}$

То есть шар будет обладать эквивалентной емкостью

$C_{ekv}=\frac{q_1}{\varphi_2}=\frac{Qr_1}{r_1+r_2}\cdot \frac{3(r_1+r_2)}{2kQ}=\frac{3r_1}{2k}$

Эквивалентный радиус, соответственно, составит $1,5r_1$ .

Новое отношение зарядов на шарах

$\frac{q_1'}{q_2'}=\frac{1,5r_1}{r_2}$

По-прежнему, $q_1'+q_2'=Q$ . То есть

$q_1'+\frac{q_1'r_2}{1,5r_1}=Q$

$q_1'\left(1+\frac{r_2}{1,5r_1}\right)=Q$

$q_1'=\frac{1,5qr_1}{1,5r_1+r_2}$

Количество электричества, перетекшее по проводнику, равно разности зарядов.

$\Delta q=q_1'-q_1=\frac{3qr_1}{3r_1+2r_2}-\frac{qr_1}{r_1+r_2}=\frac{3qr_1(r_1+r_2)-qr_1(3r_1+2r_2)}{( 3r_1+2r_2)( r_1+r_2)}=\frac{qr_1r_2}{( 3r_1+2r_2)( r_1+r_2)}$

Ответ: $\Delta q =\frac{qr_1r_2}{( 3r_1+2r_2)( r_1+r_2)}$

Задача 2. Внутрь тонкостенной металлической сферы радиусом $R=20$ см концентрически помещен металлический шар радиусом $r=10$ см. Шар через отверстие в сфере соединен с землей с помощью очень тонкого длинного проводника. На внешнюю сферу помещают заряд $Q=10^{-8}$ Кл. Определить потенциал $\varphi$ этой сферы.

Решение. На внутреннем шаре вследствие индукции наведется заряд противоположного знака, равный $-q$ . На внешней сфере на внутренней поверхности находится заряд $q$ , на внешней $Q-q$ . Потенциал шара будет складываться из потенциала шара в связи с тем, что он имеет заряд, и потенциала оболочки, так как шар внутри нее: