Заряженные сферы 3

[latexpage]

Это третья статья короткого цикла. В ней я собрала задачи из задачника Гольдфарба на заряженные сферы. Эта тема обычно трудно дается ученикам, поэтому по просьбе коллеги публикую эту серию.

Задача 1. Двум металлическим шарам с  радиусами $r_1$ и $r_2$, соединенным длинным тонким проводником, сообщен заряд $Q$. Затем шар радиусом $r_1$ помещают внутрь металлической заземленной сферы радиусом $3r_1$. Какое количество электричества перейдет при этом по соединительному проводнику?

Решение. Емкости шаров

$$C_1=\frac{ r_1}{k}$$

$$C_2=\frac{ r_2}{k}$$

Заряд $Q$ распределен на оба шара.

$$Q=q_1+q_2$$

Заряды относятся, как радиусы шаров:

$$\frac{q_1}{q_2}=\frac{r_1}{r_2}$$

Тогда

$$Q=q_1+q_1\frac{r_1}{r_2}$$

$$q_1=\frac{Q}{1+\frac{r_1}{r_2}}=\frac{qr_1}{r_1+r_2}$$

$$q_2=Q-\frac{qr_1}{r_1+r_2}=\frac{qr_2}{r_1+r_2}$$

Потенциал шара 1 до окружения его оболочкой равен

$$\varphi_1=\frac{qk}{r_1+r_2}=\varphi\frac{r_1}{r_2}$$

На оболочке индуцируется заряд $-q_1$ на внутренней стороне, и $q_1$ – на внешней. Когда оболочку заземлят, потенциал оболочки будет равен нулю. Ее потенциал изменится на величину

$$\Delta \varphi_{ob}=0-\varphi_1\frac{r_1}{3r_1}=0-\frac{\varphi_1}{3}=-\frac{\varphi_1}{3}$$

Потенциал шара изменится на такую же величину:

$$\varphi_2=\varphi_1+\left(-\frac{\varphi_1}{3}\right)=\frac{2\varphi_1}{3}$$

То есть шар будет обладать эквивалентной емкостью

$$C_{ekv}=\frac{q_1}{\varphi_2}=\frac{Qr_1}{r_1+r_2}\cdot \frac{3(r_1+r_2)}{2kQ}=\frac{3r_1}{2k}$$

Эквивалентный радиус, соответственно, составит $1,5r_1$.

Новое отношение зарядов на шарах

$$\frac{q_1’}{q_2’}=\frac{1,5r_1}{r_2}$$

По-прежнему, $q_1’+q_2’=Q$. То есть

$$q_1’+\frac{q_1’r_2}{1,5r_1}=Q$$

$$q_1’\left(1+\frac{r_2}{1,5r_1}\right)=Q$$

$$q_1’=\frac{1,5qr_1}{1,5r_1+r_2}$$

Количество электричества, перетекшее по проводнику, равно разности зарядов.

$$\Delta q=q_1’-q_1=\frac{3qr_1}{3r_1+2r_2}-\frac{qr_1}{r_1+r_2}=\frac{3qr_1(r_1+r_2)-qr_1(3r_1+2r_2)}{( 3r_1+2r_2)( r_1+r_2)}=\frac{qr_1r_2}{( 3r_1+2r_2)( r_1+r_2)}$$

Ответ: $\Delta q =\frac{qr_1r_2}{( 3r_1+2r_2)( r_1+r_2)}$

Задача 2. Внутрь тонкостенной металлической сферы радиусом $R=20$ см концентрически помещен  металлический шар радиусом $r=10$ см. Шар через отверстие в сфере соединен с землей с помощью очень тонкого длинного проводника. На внешнюю сферу помещают заряд $Q=10^{-8}$ Кл. Определить потенциал $\varphi$ этой сферы.

Решение. На внутреннем шаре вследствие индукции наведется заряд противоположного знака, равный $-q$. На внешней сфере на внутренней поверхности находится заряд $q$, на внешней $Q-q$. Потенциал шара будет складываться из потенциала шара в связи с тем, что он имеет заряд, и потенциала оболочки, так как шар внутри нее:

$$\varphi_{ch}=\frac{kQ}{R}-\frac{kq}{r}$$

Потенциал заземленного шара равен нулю:

$$\frac{kQ}{R}=\frac{kq}{r}$$

Следовательно,

$$q=\frac{Qr}{R}$$

Таким образом, потенциал сферы

$$\varphi_{sf}=\frac{k(Q-q)}{R}=\frac{Qk}{R}\left(1-\frac{r}{R}\right)= \frac{10^{-8}\cdot9\cdot10^9}{0,2}\left(1-\frac{0,1}{0,2}\right)=225$$

Ответ:  225 В.