Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Напряженность поля, Потенциал

Заряженные сферы 3

Это третья статья короткого цикла. В ней я собрала задачи из задачника Гольдфарба на заряженные сферы. Эта тема обычно трудно дается ученикам, поэтому по просьбе коллеги публикую эту серию.

Задача 1. Двум металлическим шарам с  радиусами r_1 и r_2, соединенным длинным тонким проводником, сообщен заряд Q. Затем шар радиусом r_1 помещают внутрь металлической заземленной сферы радиусом 3r_1. Какое количество электричества перейдет при этом по соединительному проводнику?

Решение. Емкости шаров

    \[C_1=\frac{ r_1}{k}\]

    \[C_2=\frac{ r_2}{k}\]

Заряд Q распределен на оба шара.

    \[Q=q_1+q_2\]

Заряды относятся, как радиусы шаров:

    \[\frac{q_1}{q_2}=\frac{r_1}{r_2}\]

Тогда

    \[Q=q_1+q_1\frac{r_1}{r_2}\]

    \[q_1=\frac{Q}{1+\frac{r_1}{r_2}}=\frac{qr_1}{r_1+r_2}\]

    \[q_2=Q-\frac{qr_1}{r_1+r_2}=\frac{qr_2}{r_1+r_2}\]

Потенциал шара 1 до окружения его оболочкой равен

    \[\varphi_1=\frac{qk}{r_1+r_2}=\varphi\frac{r_1}{r_2}\]

На оболочке индуцируется заряд -q_1 на внутренней стороне, и q_1 – на внешней. Когда оболочку заземлят, потенциал оболочки будет равен нулю. Ее потенциал изменится на величину

    \[\Delta \varphi_{ob}=0-\varphi_1\frac{r_1}{3r_1}=0-\frac{\varphi_1}{3}=-\frac{\varphi_1}{3}\]

Потенциал шара изменится на такую же величину:

    \[\varphi_2=\varphi_1+\left(-\frac{\varphi_1}{3}\right)=\frac{2\varphi_1}{3}\]

То есть шар будет обладать эквивалентной емкостью

    \[C_{ekv}=\frac{q_1}{\varphi_2}=\frac{Qr_1}{r_1+r_2}\cdot \frac{3(r_1+r_2)}{2kQ}=\frac{3r_1}{2k}\]

Эквивалентный радиус, соответственно, составит 1,5r_1.

Новое отношение зарядов на шарах

    \[\frac{q_1'}{q_2'}=\frac{1,5r_1}{r_2}\]

По-прежнему, q_1'+q_2'=Q. То есть

    \[q_1'+\frac{q_1'r_2}{1,5r_1}=Q\]

    \[q_1'\left(1+\frac{r_2}{1,5r_1}\right)=Q\]

    \[q_1'=\frac{1,5qr_1}{1,5r_1+r_2}\]

Количество электричества, перетекшее по проводнику, равно разности зарядов.

    \[\Delta q=q_1'-q_1=\frac{3qr_1}{3r_1+2r_2}-\frac{qr_1}{r_1+r_2}=\frac{3qr_1(r_1+r_2)-qr_1(3r_1+2r_2)}{( 3r_1+2r_2)( r_1+r_2)}=\frac{qr_1r_2}{( 3r_1+2r_2)( r_1+r_2)}\]

Ответ: \Delta q =\frac{qr_1r_2}{( 3r_1+2r_2)( r_1+r_2)}

 

Задача 2. Внутрь тонкостенной металлической сферы радиусом R=20 см концентрически помещен  металлический шар радиусом r=10 см. Шар через отверстие в сфере соединен с землей с помощью очень тонкого длинного проводника. На внешнюю сферу помещают заряд Q=10^{-8} Кл. Определить потенциал \varphi этой сферы.

Решение. На внутреннем шаре вследствие индукции наведется заряд противоположного знака, равный -q. На внешней сфере на внутренней поверхности находится заряд q, на внешней Q-q. Потенциал шара будет складываться из потенциала шара в связи с тем, что он имеет заряд, и потенциала оболочки, так как шар внутри нее:

    \[\varphi_{ch}=\frac{kQ}{R}-\frac{kq}{r}\]

Потенциал заземленного шара равен нулю:

    \[\frac{kQ}{R}=\frac{kq}{r}\]

Следовательно,

    \[q=\frac{Qr}{R}\]

Таким образом, потенциал сферы

    \[\varphi_{sf}=\frac{k(Q-q)}{R}=\frac{Qk}{R}\left(1-\frac{r}{R}\right)= \frac{10^{-8}\cdot9\cdot10^9}{0,2}\left(1-\frac{0,1}{0,2}\right)=225\]

Ответ:  225 В.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *