Заряженные сферы 2

[latexpage]

Это вторая статья короткого цикла. В ней я собрала задачи из задачника Гольдфарба на заряженные сферы. Эта тема обычно трудно дается ученикам, поэтому по просьбе коллеги публикую эту серию.

Задача 1. Металлический шар радиусом $R_1$, заряженный до потенциала $\varphi$, окружают сферической проводящей оболочкой  радиусом $R_2$. Как изменится потенциал шара после того, как он будет на короткое время соединен проводником с оболочкой?

Решение. На внутреннем шаре заряд распределится по поверхности. Вследствие электростатической индукции на внутренней поверхности оболочки индуцируется заряд $-q$. Поэтому на внешней поверхности оболочки тоже возникнет заряд $q$ – «парный» заряду на ее внутренней поверхности. Потенциал поверхности шара равен $\varphi$, заряд шара

$$q=\frac{\varphi R_1}{k}$$

Когда шар и оболочку соединят, весь заряд перетечет на оболочку. Это произойдет потому, что поверхность оболочки больше поверхности шара, а элементарные одноименные заряды отталкиваются и стремятся отдалиться друг от друга максимально. Потенциал оболочки станет равен

$$\varphi_{ob}=\frac{qk}{R_2}=\frac{k}{R_2}\cdot\frac{\varphi R_1}{k}=\frac{\varphi R_1}{R_2}$$

Потенциал внутри оболочки везде одинаков и равен потенциалу ее поверхности, следовательно, потенциал шара изменился с $\varphi$ до $\frac{\varphi R_1}{R_2}$, а значит, на величину

$$\Delta \varphi =\varphi_{ob}-\varphi=\varphi \left(\frac{ R_1}{R_2}-1\right)$$

Ответ: $\Delta \varphi =\varphi \left(\frac{ R_1}{R_2}-1\right)$

Задача 2. Металлический шар радиусом $R_1$, заряженный до потенциала $\varphi$, окружают сферической проводящей оболочкой  радиусом $R_2$. Чему станет равен потенциал шара, если заземлить внешнюю оболочку?

Решение. Аналогично предыдущей задаче, на внутреннем шаре заряд распределится по поверхности. Вследствие электростатической индукции на внутренней поверхности оболочки индуцируется заряд $-q$. Поэтому на внешней поверхности оболочки тоже возникнет заряд $q$ – «парный» заряду на ее внутренней поверхности. Потенциал поверхности шара равен $\varphi$, заряд шара

$$q=\frac{\varphi R_1}{k}$$

Потенциал оболочки, когда ею окружат шар

$$\varphi_{ob}=\frac{qk}{R_2}=\varphi\frac{R_1}{R_2}$$

Когда оболочку заземлят, ее полный потенциал станет равен нулю. Это не означает равенства нулю заряда на ее поверхности! Потенциал оболочки изменится, таким образом, на величину $\Delta \varphi=0-\varphi\frac{R_1}{R_2}=-\varphi\frac{R_1}{R_2}$.

Потенциал шара должен также измениться на такую же величину и станет равен

$$\varphi’=\varphi +\left(-\frac{\varphi R_1}{R_2}\right)$$

$$\varphi’=\varphi \left(1-\frac{ R_1}{R_2}\right)$$

Ответ:  $\varphi’=\varphi \left(1-\frac{ R_1}{R_2}\right)$