Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Напряженность поля, Потенциал

Заряженные сферы 2

Это вторая статья короткого цикла. В ней я собрала задачи из задачника Гольдфарба на заряженные сферы. Эта тема обычно трудно дается ученикам, поэтому по просьбе коллеги публикую эту серию.

Задача 1. Металлический шар радиусом R_1, заряженный до потенциала \varphi, окружают сферической проводящей оболочкой  радиусом R_2. Как изменится потенциал шара после того, как он будет на короткое время соединен проводником с оболочкой?

Решение. На внутреннем шаре заряд распределится по поверхности. Вследствие электростатической индукции на внутренней поверхности оболочки индуцируется заряд -q. Поэтому на внешней поверхности оболочки тоже возникнет заряд q – «парный» заряду на ее внутренней поверхности. Потенциал поверхности шара равен \varphi, заряд шара

    \[q=\frac{\varphi R_1}{k}\]

Когда шар и оболочку соединят, весь заряд перетечет на оболочку. Это произойдет потому, что поверхность оболочки больше поверхности шара, а элементарные одноименные заряды отталкиваются и стремятся отдалиться друг от друга максимально. Потенциал оболочки станет равен

    \[\varphi_{ob}=\frac{qk}{R_2}=\frac{k}{R_2}\cdot\frac{\varphi R_1}{k}=\frac{\varphi R_1}{R_2}\]

Потенциал внутри оболочки везде одинаков и равен потенциалу ее поверхности, следовательно, потенциал шара изменился с \varphi до \frac{\varphi R_1}{R_2}, а значит, на величину

    \[\Delta \varphi =\varphi_{ob}-\varphi=\varphi \left(\frac{ R_1}{R_2}-1\right)\]

Ответ: \Delta \varphi =\varphi \left(\frac{ R_1}{R_2}-1\right)

 

Задача 2. Металлический шар радиусом R_1, заряженный до потенциала \varphi, окружают сферической проводящей оболочкой  радиусом R_2. Чему станет равен потенциал шара, если заземлить внешнюю оболочку?

Решение. Аналогично предыдущей задаче, на внутреннем шаре заряд распределится по поверхности. Вследствие электростатической индукции на внутренней поверхности оболочки индуцируется заряд -q. Поэтому на внешней поверхности оболочки тоже возникнет заряд q – «парный» заряду на ее внутренней поверхности. Потенциал поверхности шара равен \varphi, заряд шара

    \[q=\frac{\varphi R_1}{k}\]

Потенциал оболочки, когда ею окружат шар

    \[\varphi_{ob}=\frac{qk}{R_2}=\varphi\frac{R_1}{R_2}\]

Когда оболочку заземлят, ее полный потенциал станет равен нулю. Это не означает равенства нулю заряда на ее поверхности! Потенциал оболочки изменится, таким образом, на величину \Delta \varphi=0-\varphi\frac{R_1}{R_2}=-\varphi\frac{R_1}{R_2}.

Потенциал шара должен также измениться на такую же величину и станет равен

    \[\varphi'=\varphi +\left(-\frac{\varphi R_1}{R_2}\right)\]

    \[\varphi'=\varphi \left(1-\frac{ R_1}{R_2}\right)\]

Ответ:  \varphi'=\varphi \left(1-\frac{ R_1}{R_2}\right)

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *