Заряженные сферы 1

[latexpage]

Это первая статья короткого цикла. В ней я собрала задачи из задачника Гольдфарба на заряженные сферы. Эта тема обычно трудно дается ученикам, поэтому по просьбе коллеги публикую эту серию.

Задача 1. Внутри полой тонкостенной сферы радиусом $R$ находится сфера радиусом $r$. Сфере радиусом $R$ сообщают заряд $Q$, а сфере радиусом $r$ – заряд $q$. Определить потенциалы поверхностей сфер.

Решение. На внутренней сфере заряд распределится по поверхности. Вследствие электростатической индукции на внутренней поверхности большой сферы индуцируется заряд $-q$. Поэтому на внешней поверхности большой сферы к заряду $Q$ добавится еще и заряд $q$ – «парный» заряду на ее внутренней поверхности. В итоге потенциал поверхности большой сферы равен

$$\varphi_{Bol}=\frac{(Q+q)k}{R}$$

А потенциал малой (он сложится из ее собственного потенциала и потенциала большой сферы)

$$\varphi_{mal}=\frac{qk}{r}+\frac{Qk}{R}$$

$$\varphi_{mal}=k\left(\frac{q}{r}+\frac{Q}{R}\right)$$

Задача 2. Металлический шар радиусом $R_1=2$ см несет не себе заряд $q_1=1,33\cdot10^{-8}$ Кл. Шар окружен концентрической металлической оболочкой радиусом $R_2=5$ см, заряд которой равен $q_2=-2\cdot10^{-8}$ Кл. Определить напряженность и потенциал поля на расстояниях $l_1=1$ см, $l_2=4$ см и $l_3=6$ см от центра шара.

Решение. Сначала рассмотрим первое расстояние. Данная точка расположена внутри шара. Поэтому напряженность поля равна нулю в ней, а потенциал равен потенциалу, равному сумме потенциалов на поверхности шара и потенциала оболочки. Потенциал оболочки везде внутри нее одинаков и равен потенциалу на ее поверхности.

$$E_1=0$$

Потенциал шара:

$$\varphi_{sh}=\frac{q_1k}{R_1}=\frac{1,33\cdot10^{-8}\cdot9\cdot10^9}{0,02}=5985$$

Потенциал оболочки:

$$\varphi_{ob}=\frac{q_2k}{R_2}=\frac{-2\cdot10^{-8}\cdot9\cdot10^9}{0,05}=-3600$$

$$\varphi_1=\varphi_{sh}-\varphi_{ob}=5985-3600=2385$$

Теперь рассмотрим расстояние 2. Данная точка расположена между шаром и оболочкой.

Напряженность поля в данной точке равна

$$E_2=\frac{kq_1}{l_2^2}=\frac{ 9\cdot10^9\cdot1,33\cdot10^{-8}}{0,04^2}=7,48\cdot10^4$$

Она создается зарядом шара и определяется расстоянием от данной точки до его центра. Потенциал в данной точке меньше, чем на поверхности шара, и является суммой потенциалов шара и оболочки. Потенциал шара:

$$\varphi_{sh2}=\frac{q_1k}{l_2}=\frac{1,33\cdot10^{-8}\cdot9\cdot10^9}{0,04}=2992,5$$

Потенциал оболочки:

$$\varphi_{ob}=\frac{q_2k}{R_2}=\frac{-2\cdot10^{-8}\cdot9\cdot10^9}{0,05}=-3600$$

$$\varphi_2=\varphi_{sh2}-\varphi_{ob}=2992,5-3600=-607,5$$

Точка 3 находится вне оболочки, снаружи. На оболочке, как и в предыдущей задаче, индуцируется заряд, равный заряду шара, на внутренней стороне, а на внешней стороне – заряд, равный сумме $q_1+q_2$. Напряженность в точке 3 определяется этим суммарным зарядом и расстоянием от центра шара:

$$E_3=\frac{k(q_1+q_2)}{l_3^2}=\frac{ 9\cdot10^9\cdot(1,33-2)\cdot10^{-8}}{0,06^2}=-1,675\cdot10^4$$

Потенциал в данной точке меньше, чем на поверхности шара, и является суммой потенциалов шара и оболочки. Потенциал шара:

$$\varphi_{sh3}=\frac{q_1k}{l_3}=\frac{1,33\cdot10^{-8}\cdot9\cdot10^9}{0,06}=1995$$

Потенциал оболочки:

$$\varphi_{ob3}=\frac{q_2k}{l_3}=\frac{-2\cdot10^{-8}\cdot9\cdot10^9}{0,06}=-3000$$

$$\varphi_3=\varphi_{sh3}-\varphi_{ob3}=1995-3000=-1005$$

Ответ: $E_1=0; E_2=7,48\cdot10^4, E_3=-1,675\cdot10^4$ В/м, $\varphi_1=2385$ В, $\varphi_2=-607,5$ В, $\varphi_3=-1005$ В.