Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Напряженность поля, Потенциал

Заряженные сферы 1

Это первая статья короткого цикла. В ней я собрала задачи из задачника Гольдфарба на заряженные сферы. Эта тема обычно трудно дается ученикам, поэтому по просьбе коллеги публикую эту серию.

Задача 1. Внутри полой тонкостенной сферы радиусом R находится сфера радиусом r. Сфере радиусом R сообщают заряд Q, а сфере радиусом r – заряд q. Определить потенциалы поверхностей сфер.

Решение. На внутренней сфере заряд распределится по поверхности. Вследствие электростатической индукции на внутренней поверхности большой сферы индуцируется заряд -q. Поэтому на внешней поверхности большой сферы к заряду Q добавится еще и заряд q – «парный» заряду на ее внутренней поверхности. В итоге потенциал поверхности большой сферы равен

    \[\varphi_{Bol}=\frac{(Q+q)k}{R}\]

А потенциал малой (он сложится из ее собственного потенциала и потенциала большой сферы)

    \[\varphi_{mal}=\frac{qk}{r}+\frac{Qk}{R}\]

    \[\varphi_{mal}=k\left(\frac{q}{r}+\frac{Q}{R}\right)\]

Задача 2. Металлический шар радиусом R_1=2 см несет не себе заряд q_1=1,33\cdot10^{-8} Кл. Шар окружен концентрической металлической оболочкой радиусом R_2=5 см, заряд которой равен q_2=-2\cdot10^{-8} Кл. Определить напряженность и потенциал поля на расстояниях l_1=1 см, l_2=4 см и l_3=6 см от центра шара.

Решение. Сначала рассмотрим первое расстояние. Данная точка расположена внутри шара. Поэтому напряженность поля равна нулю в ней, а потенциал равен потенциалу, равному сумме потенциалов на поверхности шара и потенциала оболочки. Потенциал оболочки везде внутри нее одинаков и равен потенциалу на ее поверхности.

    \[E_1=0\]

Потенциал шара:

    \[\varphi_{sh}=\frac{q_1k}{R_1}=\frac{1,33\cdot10^{-8}\cdot9\cdot10^9}{0,02}=5985\]

Потенциал оболочки:

    \[\varphi_{ob}=\frac{q_2k}{R_2}=\frac{-2\cdot10^{-8}\cdot9\cdot10^9}{0,05}=-3600\]

    \[\varphi_1=\varphi_{sh}-\varphi_{ob}=5985-3600=2385\]

Теперь рассмотрим расстояние 2. Данная точка расположена между шаром и оболочкой.

Напряженность поля в данной точке равна

    \[E_2=\frac{kq_1}{l_2^2}=\frac{ 9\cdot10^9\cdot1,33\cdot10^{-8}}{0,04^2}=7,48\cdot10^4\]

Она создается зарядом шара и определяется расстоянием от данной точки до его центра. Потенциал в данной точке меньше, чем на поверхности шара, и является суммой потенциалов шара и оболочки. Потенциал шара:

    \[\varphi_{sh2}=\frac{q_1k}{l_2}=\frac{1,33\cdot10^{-8}\cdot9\cdot10^9}{0,04}=2992,5\]

Потенциал оболочки:

    \[\varphi_{ob}=\frac{q_2k}{R_2}=\frac{-2\cdot10^{-8}\cdot9\cdot10^9}{0,05}=-3600\]

    \[\varphi_2=\varphi_{sh2}-\varphi_{ob}=2992,5-3600=-607,5\]

Точка 3 находится вне оболочки, снаружи. На оболочке, как и в предыдущей задаче, индуцируется заряд, равный заряду шара, на внутренней стороне, а на внешней стороне – заряд, равный сумме q_1+q_2. Напряженность в точке 3 определяется этим суммарным зарядом и расстоянием от центра шара:

    \[E_3=\frac{k(q_1+q_2)}{l_3^2}=\frac{ 9\cdot10^9\cdot(1,33-2)\cdot10^{-8}}{0,06^2}=-1,675\cdot10^4\]

Потенциал в данной точке меньше, чем на поверхности шара, и является суммой потенциалов шара и оболочки. Потенциал шара:

    \[\varphi_{sh3}=\frac{q_1k}{l_3}=\frac{1,33\cdot10^{-8}\cdot9\cdot10^9}{0,06}=1995\]

Потенциал оболочки:

    \[\varphi_{ob3}=\frac{q_2k}{l_3}=\frac{-2\cdot10^{-8}\cdot9\cdot10^9}{0,06}=-3000\]

    \[\varphi_3=\varphi_{sh3}-\varphi_{ob3}=1995-3000=-1005\]

Ответ: E_1=0; E_2=7,48\cdot10^4, E_3=-1,675\cdot10^4 В/м, \varphi_1=2385 В, \varphi_2=-607,5 В, \varphi_3=-1005 В.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *