Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Закон сохранения импульса, Законы сохранения энергии

Законы сохранения: готовимся к олимпиадам. 9 класс

Представляю вам “крепкие” задачки, комбинированные – на законы сохранения импульса и энергии одновременно.

Задача 1. На гладком столе стоит куб массой m, около которого находится лёгкая штанга длиной L=20 см с небольшим шариком массой \frac{m}{4} на конце. Лёгким толчком штангу выводят из положения неустойчивого равновесия, и она начинает падать в сторону куба. Пренебрегая трением, определите максимальную скорость куба. Ответ выразить в м/с, округлив до десятых.

Указание: Считать, что скорость куба достигает максимума, когда угол между стержнем и горизонтом 30^{\circ}.

К задаче 1

Решение.

По закону сохранения энергии в момент отрыва куба от шарика получается, что

    \[\frac{m\upsilon^2}{2}+\frac{mu^2}{8}=\frac{mgl}{4}(1-\sin\alpha),\]

где \alpha – угол между стержнем и горизонтом. Из кинематической связи следует, что в момент отрыва проекции скоростей тел на горизонтальную ось должны быть равны, и тогда \upsilon=u\sin\alpha. Тогда скорость выражается по формуле

    \[\upsilon=\sqrt{\frac{2gL(1-\sin\alpha)\cdot \sin^2\alpha }{1+4\sin^2\alpha}}.\]

Кто умеет брать производную, тот сам найдёт при каком угле скорость достигает максимума. Остальные могут воспользоваться указанием. При \sin\alpha=\frac{1}{2} искомая скорость равна

    \[\upsilon=0,5.\]

Ответ: 0,5 м/с.

 

Задача 2. Снаряд массой 2m=8 кг, летящий со скоростью \upsilon_0=400 м/с, разрывается на две равные части, одна из которых летит в направлении движения снаряда, а другая — в противоположную сторону, в момент разрыва суммарная кинетическая энергия осколков увеличилась на величину \Delta E. Скорость осколка, летящего по направлению движения снаряда, равна \upsilon_1=900 м/с. Найдите \Delta E. Ответ выразите в кДж, округлив до целых.

Решение.

Закон сохранения импульса для системы в проекции на ось, направленную вдоль скорости:

    \[2m\cdot \upsilon_0=m\cdot \upsilon_1-m\cdot \upsilon_2,\]

закон сохранения механической энергии:

    \[m\cdot \upsilon_0^2+\Delta E=\frac{m\cdot \upsilon_1^2}{2}+\frac{m\cdot \upsilon_2^2}{2},\]

где \upsilon_2 — модуль скорости осколка, летящего назад. Решая систему, получим ответ

    \[\Delta E=m\cdot (\upsilon_1-\upsilon_2)^2=1000.\]

Ответ: 1000 кДж.

 

Задача 3. Начальная скорость снаряда, выпущенного из пушки вертикально вверх, равна \upsilon=10 м/с. В точке максимального подъёма снаряд разорвался на два одинаковых осколка. Первый осколок снаряда полетел вертикально вверх и поднялся до высоты H=20 м. С какой скоростью упал второй осколок снаряда на Землю? Ответ выразить в м/с, округлив до целых. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным g=10 м/c^{2}.

Решение.

Из закона сохранения энергии mgh=\frac{m\cdot \upsilon_0^2}{2}, высота подъема снаряда h=\frac{\upsilon_0^2}{2g}. Скорость первого осколка после разрыва снаряда найдём из закона сохранения энергии. Получим, что

    \[m_1gH=m_1gh+\frac{m_1\cdot \upsilon_1^2}{2},\]

    \[\upsilon_1=\sqrt{2gH-\upsilon_0^2}.\]

Начальная скорость второго осколка после разрыва снаряда может быть найдена из закона сохранения импульса. Получается, что

    \[m_1\cdot \upsilon_1= m_2\cdot \upsilon_2,\]

    \[\upsilon_2=\upsilon_1,\]

    \[\upsilon_2=\sqrt{2gH-\upsilon_0^2}.\]

Получаем окончательно, что скорость второго осколка при падении на землю из закона сохранения энергии равна

    \[\frac{m\cdot \upsilon_3^2}{2}=mgh+\frac{m\cdot \upsilon_2^2}{2},\]

    \[\upsilon_3=\sqrt{2gH}=20.\]

Ответ: 20 м/с.

Задача 4. Какова минимальная кинетическая энергия, которую необходимо сообщить мячу массой m=1 кг, чтобы он перелетел через забор высотой h=4 м, коснувшись его в верхней точке своей траектории? Ответ выразить в Дж, округлив до целых. Мяч бросают с уровня h_0=0,8 м над Землёй, с расстояния S=6,4 м от забора. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным g=10 м/c^{2}.

Решение.

Разложим скорость мяча на вертикальную (\upsilon_{_B})  и горизонтальную (\upsilon_{_{\Gamma OP}}) составляющие. По теореме Пифагора \upsilon^2=\upsilon_{_{\Gamma OP}}^2+\upsilon_{_B}^2   Так как свободно брошенное тело движется с ускорением \vec g которое направлено вертикально вниз, то горизонтальная составляющая скорости мяча не изменяется с течением времени.

Когда мяч достигнет наивысшей точки траектории, его вертикальная составляющая скорости будет равна нулю. Из закона сохранения энергии, записанного для мяча от момента броска до момента достижения наивысшей точки, получается, что

    \[\upsilon_{_B}=\sqrt{2g\cdot (h-h_0)}.\]

Тогда можно найти время подъёма мяча, записав для него уравнения кинематики (движение мяча по вертикальной оси равноускоренное, и удобно применить формулу зависимости от времени проекции скорости на вертикальную ось \upsilon_{_B}(t)= \upsilon_{_B}-gt)  и решив их. Получится, что

    \[t_{_\Pi}=\frac{\upsilon_{_B}}{g}=\sqrt{\frac{2(h-h_0)}{g}}.\]

Теперь выразим горизонтальную составляющую начальной скорости. Движение по горизонтальной оси равномерное, поэтому

    \[\upsilon_{_{\Gamma OP}}=S\cdot \sqrt{\frac{g}{2(h-h_0)}}.\]

Окончательно получается, что кинетическая энергия, сообщаемая мячу

    \[K=\frac{m(\upsilon_{_B}^2+\upsilon_{_{\Gamma OP}}^2)}{2}=\frac{mg\left(4(h-h_0)^2+S^2\right)}{4(h-h_0)}=64.\]

Ответ: 64 Дж.

Задача 5. Пуля массой m=20 г, летящая со скоростью \upsilon=100 м/с, попадает в мишень, подвешенную на длинной нити, и застревает в ней. Мишень при этом поднимается на высоту h=0,2 м. Какова масса мишени? Ответ выразить в г, округлив до целых. Считать, что ускорение свободного падения g=10 м/c^{2}.

К задаче 5

Решение.

Необходимо грамотно применить законы сохранения импульса и энергии.

Закон сохранения импульса можно применять только тогда, когда система, для которой он записан, замкнута, то есть на нее не действуют внешние силы или их действия скомпенсированы. В данном случае система «пуля + мишень» не является замкнутой, так как есть внешняя сила тяжести, действующая на пулю, которая ничем не скомпенсирована. Однако, мы можем записать закон сохранения энергии для очень маленького промежутка времени — например, для промежутка, за который пуля попадает в мишень. Запишем его в проекции на горизонтальную ось. Получим, что

    \[m\cdot \upsilon=(M+m)\cdot \upsilon_1.\]

Закон сохранения механической энергии можно записать для системы, на которую не действуют внешние не консервативные силы и в которой не выделяется тепло. Для нашей системы «пуля + мишень» это справедливо только от момента сразу после попадания пули в мишень до всех последующих моментов времени, то есть, например, до момента, когда мишень достигает наивысшей точки. Запишем закон сохранения энергии. Получается, что

    \[\frac{(M+m)\cdot \upsilon_1^2}{2}=(M+m)gh.\]

Решая систему из двух уравнений, получим, что масса мишени равна

    \[M=m\cdot \left(\frac{\upsilon}{\sqrt{2gh}}-1\right)=980.\]

Ответ: 980 г.

 

Задача 6. Брусок массой m_1=500 г соскальзывает по наклонной плоскости высотой h=0,8 м, выезжает на горизонтальную поверхность и сталкивается с лежащим на ней неподвижным бруском массой m_2=300г. Считая удар центральным и абсолютно упругим, определите кинетическую энергию второго бруска после столкновения. Трением при движении пренебречь. Ответ дать в Дж, округлив до сотых. Считать ускорение свободного падения g=10 м/c^{2}.

Решение.

Закон сохранения импульса для системы из двух брусков:

    \[m_1\cdot \upsilon=m_1\cdot \upsilon_1-m_2\cdot \upsilon_2,\]

и затем закон сохранения энергии для первого бруска от момента начала движения до момента сразу перед столкновением:

    \[m_1\cdot g\cdot h=\frac{m_1\cdot \upsilon^2}{2},\]

и для двух брусков от момента сразу перед столкновением до момента сразу после столкновения:

    \[\frac{m_1\cdot \upsilon^2}{2}=\frac{m_1\cdot \upsilon_1^2}{2}+\frac{m_2\cdot \upsilon_2^2}{2}.\]

Решая систему уравнений, получим ответ:

    \[E_2=\frac{4gh\cdot m_1^2\cdot m_2}{(m_1+m_2)^2}=3,75.\]

Ответ: 3,75 Дж.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *