Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Закон сохранения импульса, Законы сохранения энергии, Олимпиадная физика

Законы сохранения – 6

[latexpage]

Снова представляю решения задач, которые мы разбирали на групповых занятиях летом с ребятами, желающими участвовать в олимпиадах. Задача о двух шайбах.

Задача 11. На горизонтальной шероховатой поверхности покоятся две одинаковые маленькие шайбы. По одной из них наносят удар клюшкой, после чего она налетает на вторую шайбу. На рисунке представлены участки траекторий шайб до и после их частично упругого столкновения.

1) Определите, какая из трёх траекторий – «a», «b» или «c» – может быть траекторией налетающей шайбы. Ответ обоснуйте.

2) Для каждого из возможных случаев дальнейшего развития событий определите:

А) отношение расстояний, которые проходят шайбы до остановки после столкновения;

Б) долю кинетической энергии налетающей шайбы, которая переходит в тепло в результате столкновения.

Боковые поверхности шайб гладкие.

К задаче 11

Решение.

По закону сохранения импульса (картинка для общего случая)

$$\vec{p_0}=\vec{p_1}+\vec{p_2}$$

Возводим в квадрат:

$$p_0^2=p_1^2+p_2^2+2p_1p_2\cos\alpha$$

$\alpha$ – угол разлета.

Если, как сказано в условии, удар частично упругий, значит, часть энергии потеряна (выделилась в виде тепла), поэтому конечная сумма энергий меньше начальной. Запишем энергии через импульсы шайб:

$$\frac{ p_0^2}{2m}>\frac{ p_1^2}{2m}+\frac{ p_2^2}{2m}$$

Или

$$ p_0^2> p_1^2+ p_2^2$$

Подставляем $p_0^2$:

$$ p_1^2+p_2^2+2p_1p_2\cos\alpha> p_1^2+ p_2^2$$

$$ 2p_1p_2\cos\alpha> 0$$

$$\cos\alpha> 0$$

Угол разлета, следовательно, острый. Значит, траектория налетающей шайбы – это «b».

Введем оси, одна из которых совпадает с направлением движения налетающей шайбы.

Ввели оси для удобства

Тогда на ось $x$:

$$p_1\cos 45^{\circ}=p_2\cos 75^{\circ}~~~~~~~~~~~~~(1)$$

На ось $y$:

$$p_1\sin 45^{\circ}+p_2\sin 75^{\circ}=p_0$$

Кинетическая энергия переходит в работу против силы трения. Поэтому пройденное шайбой расстояние после удара пропорционально ее кинетической энергии. А отношение пройденных расстояний – отношению кинетических энергий шайб, которое, в свою очередь, равно  отношению квадратов импульсов:

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{A_1}{A_2}=\frac{E_1}{E_2}=\frac{p_1^2}{p_2^2}$$

Отношение импульсов получим из (1)

$$\frac{p_1}{p_2}=\frac{\cos 75^{\circ}}{\cos 45^{\circ}}$$

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\cos^2 75^{\circ}}{\cos^2 45^{\circ}}=0,133$$

По закону сохранения энергии

$$Q=E_0-E_1-E_2=\frac{ p_0^2}{2m}-\frac{ p_1^2}{2m}-\frac{ p_2^2}{2m}=\frac{p_1p_2\cos \alpha}{m}$$

$$\frac{Q}{E_0}=\frac{2p_1p_2\cos \alpha}{p_0^2}$$

Составим треугольник скоростей:

Треугольник скоростей

Для него по теореме синусов

$$\frac{\upsilon_1}{\sin 45^{\circ}}=\frac{\upsilon_0}{\sin 120^{\circ}}$$

Или, что то же самое,

$$\frac{p_1}{\sin 45^{\circ}}=\frac{p_0}{\sin 120^{\circ}}$$

$$p_1=\frac{p_0\sin 45^{\circ}}{\sin 120^{\circ}}$$

И еще раз составим теорему синусов:

$$\frac{\upsilon_2}{\sin 15^{\circ}}=\frac{\upsilon_0}{\sin 120^{\circ}}$$

Или, что то же самое,

$$\frac{p_2}{\sin 15^{\circ}}=\frac{p_0}{\sin 120^{\circ}}$$

$$p_2=\frac{p_0\sin 15^{\circ}}{\sin 120^{\circ}}$$

Таким образом,

$$\frac{Q}{E_0}=2\cos \alpha \frac{p_1p_2 }{p_0^2}=2\cos 60^{\circ}\cdot \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 120^{\circ}}\cdot \frac{\sin 15^{\circ}}{\sin 120^{\circ}}=0,24$$

Ответ: $\frac{S_1}{S_2}=0,133$, $\frac{Q}{E_0}=0,24$.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *