Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Закон сохранения импульса, Законы сохранения энергии, Олимпиадная физика

Законы сохранения – 3

[latexpage]

Снова представляю решения задач, которые мы разбирали на групповых занятиях летом с ребятами, желающими участвовать в олимпиадах. В данной статье единственная, но сложная задача про акробата.

Задача 6. По льду ледового цирка со скоростью $u$ едет диск массой $2m$, на котором располагается акробат А массой $m$. Выбрав момент, акробат перепрыгивает на другой диск, жестко скрепленный с третьим диском легким стержнем длиной $L$. Массы второго и третьего диска совпадают и равны $m$. В результате прыжка первый диск поехал со скоростью $u_1$ под углом $\alpha$ относительно начального направления, а акробат остался стоять на втором диске. Через некоторое время стержень, соединяющий диски, оказался параллелен своему первоначальному положению. Какое перемещение совершит акробат за это время? Трением дисков о лед, а также размерами акробата и дисков пренебречь.

Решение. Если после прыжка диск, с которого спрыгнул акробат, имеет скорость $u_1$, и она направлена под углом $\alpha$ к вертикали, то ее можно разложить на проекции:

$$ u_{1x}= u_1\cos \alpha$$

$$ u_{1y}= u_1\sin \alpha$$

Тогда по вертикальной оси $y$ закон сохранения импульса будет иметь вид:

$$3mu=-2m u_1\cos \alpha+2m\upsilon_y$$

Последнее слагаемое: скорость диска, на котором сейчас, после прыжка, находится акробат ($\upsilon_y$), на массу диска с акробатом – $2m$.

Отсюда

$$\upsilon_y=\frac{3mu+2m u_1\cos \alpha }{2m}=\frac{3u+2 u_1\cos \alpha }{2}$$

Закон сохранения импульса по оси $x$ – горизонтальной:

$$0=3m\upsilon_x-2m u_1\sin \alpha$$

Первое слагаемое: после прыжка акробата вся конструкция (два скрепленных диска и акробат с ними) весит $3m$ и приобретает некоторую скорость по оси $x$ – $\upsilon_x$. Скорость приобретают одновременно оба диска, так как стержень жесткий.

$$\upsilon_x=\frac{2m u_1\sin \alpha }{3m }=\frac{2 u_1\sin \alpha }{3 }$$

Обратите внимание: вся конструкция по оси $x$ имеет одну и ту же скорость, равную $\upsilon_x$, но правый и левый диски этой конструкции будут иметь разную скорость по оси $y$! Это так, потому что стержень вначале расположен по оси $x$ и, значит, мгновенно передает скорость по этой оси от одного диска к другому, между которыми он закреплен, но он не пердаст скорость по оси $y$. То, что мы нашли – $\upsilon_y$ – это скорость левого диска конструкции. Поскольку на левом ее конце сосредоточена масса $2m$, а на правом – $m$, то центр масс будет располагаться ближе к акробату, на расстоянии $\frac{l}{3}$ от левого диска, и на расстоянии $\frac{2l}{3}$ от правого (по правилу моментов относительно центра масс). Тогда скорость центра масс меньше $\upsilon_y$ и составляет $\frac{2\upsilon_y}{3}$.

Таким образом, относительно центра масс вся конструкция участвует в круговом движении (вращается), причем левый диск имеет скорость $\frac{\upsilon_y}{3}$, а правый – $\frac{2\upsilon_y}{3}$.

Так как стержень с дисками вращается, то он может принимать положение, параллельное первоначальному, многажды: он может повернуться на $180^{\circ}$, $360^{\circ}$, $540^{\circ}$, $720^{\circ}$ и т.д. – то есть совершить пол-оборота, оборот, полтора оборота и т.д.

Определим угловую скорость:

$$\omega=\frac{\frac{\upsilon_y}{3}}{\frac{\upsilon_y}{3}}=\frac{\upsilon_y}{l}$$

$$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi l}{\upsilon_y }$$

Это период – время одного оборота. Если диск совершил полоборота, то на это ушло полпериода, а если полтора – то полтора и т.д. То есть время, когда диск занимает горизонтальное положение через некторое количество полуоборотов, можно записать как

$$t=\frac{\pi l}{\upsilon_y }\cdot m$$

$m$ – нечетное.

В общем виде можно записать время так:

$$t=\frac{\pi l(1+2n)}{ \upsilon_y }=\frac{2\pi l(1+2n)}{ 3u+2 u_1\cos \alpha }$$

За это время акробат займет положение, при котором он находится справа, а пустой диск – слева (за счет вращательного движения). То есть акробат сместится по оси $x$ на расстояние $\frac{2l}{3}$. Не забудем, что вся конструкция имеет скорость $\upsilon_x$ по этой оси – поэтому за счет поступательного движения акробат сместится также на $\upsilon_x t$ по горизонтальной оси.

А по оси $y$ он смещается со скоростью центра масс и пройдет расстояние $\frac{2\upsilon_y}{3}\cdot t$

Полное перемещение акробата

$$S=\sqrt{s_x^2+s_y^2}=\sqrt{\left(\frac{2l}{3}+\upsilon_x t\right)^2+\frac{4\upsilon_y^2}{9}\cdot t^2 }=\sqrt{\left(\frac{2l}{3}+\frac{2 u_1\sin \alpha }{3 } \cdot\frac{2\pi l(1+2n)}{ 3u+2 u_1\cos \alpha } \right)^2+\frac{4}{9}\cdot \frac{(3u+2 u_1\cos \alpha)^2 }{4}\cdot \frac{4\pi^2 l^2(1+2n)^2}{ (3u+2 u_1\cos \alpha)^2 }}$$

$$S=\sqrt{\left(\frac{2l}{3}+\frac{2 u_1\sin \alpha }{3 } \cdot\frac{2\pi l(1+2n)}{ 3u+2 u_1\cos \alpha } \right)^2+\frac{4\pi^2 l^2(1+2n)^2}{9}}$$

Страшно подумать, что будет при целом числе оборотов: время будет равно

$$t_1=\frac{2\pi n l}{ \upsilon_y }=\frac{4\pi n l}{ 3u+2 u_1\cos \alpha }$$

Отличие в том, что в этом случае нет смещения акробата за счет вращения: он занимает после целого числа оборотов прежнее положение – на диске слева. Тогда

$$S_1=\sqrt{s_x^2+s_y^2}=\sqrt{\upsilon_x^2 t_1^2+\frac{4\upsilon_y^2}{9}\cdot t_1^2 }=\sqrt{\left(\frac{2 u_1\sin \alpha }{3 } \cdot\frac{2\pi n l}{ 3u+2 u_1\cos \alpha } \right)^2+\frac{4}{9}\cdot \frac{(3u+2 u_1\cos \alpha)^2 }{4}\cdot \frac{16\pi^2 n^2 l^2}{(3u+2 u_1\cos \alpha)^2 }}$$

$$S_1=\sqrt{\left(\frac{2 u_1\sin \alpha }{3 } \cdot\frac{2\pi n l}{ 3u+2 u_1\cos \alpha } \right)^2+\frac{16\pi^2 n^2 l^2}{9 }}$$

Ответ: $S=\sqrt{\left(\frac{2l}{3}+\frac{2 u_1\sin \alpha }{3 } \cdot\frac{2\pi l(1+2n)}{ 3u+2 u_1\cos \alpha } \right)^2+\frac{4\pi^2 l^2(1+2n)^2}{9}}$

$S_1=\sqrt{\left(\frac{2 u_1\sin \alpha }{3 } \cdot\frac{2\pi n l}{ 3u+2 u_1\cos \alpha } \right)^2+\frac{16\pi^2 n^2 l^2}{9 }}$

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *