Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Закон сохранения импульса, Законы сохранения энергии, Олимпиадная физика

Законы сохранения. 10 класс.

В статье содержатся несколько задач на законы сохранения энергии. Эти задачи ориентированы на подготовку к олимпиадам и рассчитаны на ребят 10 класса.

Задача 1. Шарик на натянутой тонкой нерастяжимой, легкой нити первоначально находится в горизонтальном положении. Длина нити маятника L=64 см. На расстоянии L/2 под точкой подвеса поместили горизонтальную плиту. На какую высоту поднимется шарик после упругого удара о плиту? Ответ дать в см, округлив до целых. Считать, что g=10 м/c^{2}.

К задаче 1.

Решение.

Запишем закон сохранения энергии для шарика от момента начала движения до момента сразу перед ударом. Получим, что

    \[m g L=m g\cdot \frac{L}{2}+\frac{m\cdot \upsilon^{2}}{2}\]

откуда скорость шарика перед ударом равна \upsilon=\sqrt{gL}. Вектор скорости на рисунке показан синим.

При ударе маятника о плиту горизонтальная составляющая скорости не изменится, а вертикальная, сохранив свою величину, изменит направление на противоположное. При этом ниточка ослабнет и на шарик не будет больше действовать горизонтальных сил, то есть его горизонтальная скорость будет сохраняться при последующем движении.

В треугольнике ABC острый угол \angle BAC=30^{\circ}, тогда  \angle BCA=\alpha=60^{\circ}. Его \cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}, и он же — угол между плитой и скоростью шарика до и после удара. Тогда вертикальная проекция скорости шарика после удара равна

    \[\upsilon_{vert}=\upsilon\cos\alpha=\frac{\sqrt{3gL}}{2}\]

.

Запишем закон сохранения энергии для шарика от момента сразу после удара до момента, когда он достигнет наивысшей точки.

    \[\frac{m\cdot \upsilon^{2}}{2}=\frac{m\cdot \upsilon_{gor}^{2}}{2}+m\cdot g\cdot h\]

.

откуда высота h, на которую поднимется маятник, равна

    \[h=\frac{\upsilon_{vert}^{2}}{2g}=\frac{3}{8}L=24\]

Ответ: 24 см.

 

Задача 2. Из пружинного пистолета выстрелили вертикально вниз в мишень, находящуюся на расстоянии h=2 м от него. Совершив работу A=0,12 Дж, пуля застряла в мишени. Какова масса пули, если пружина была сжата перед выстрелом на \Delta x=2 см, а её жесткость k=100 Н/м? Ответ дать в г, округлив до целых. Ускорение свободного падения g=10 м/c^{2}.

Решение.

Из закона сохранения механической энергии для пули, записанного от момента выстрела до момента вылета пули из ствола:

    \[\frac{k\cdot \Delta x^{2}}{2}=\frac{m\cdot \upsilon_0^2}{2}\]

Потенциальная энергия сжатой пружины перешла в кинетическую энергию пули.

Записав этот закон также от момента сразу после вылета из ствола до момента прямо перед попаданием в мишень, получим, что

    \[\frac{m\cdot \upsilon_0^2}{2}+m g h=\frac{m\cdot \upsilon_1^2}{2},\]

где \upsilon_0 и \upsilon_1 — скорости летящей пули соответственно на высоте h и непосредственно перед мишенью.

Кинетическая энергия пули перед попаданием в мишень равна сумме первоначальной кинетической плюс потенциальной энергии, так как пуля находилась выше мишени на 2 м.

Вся энергия подлетевшей к мишени пули потрачена на механическую работу, так что A=\frac{m\cdot \upsilon_1^2}{2}.

Решая полученную систему уравнений, находим массу пули:

    \[m=\frac{2A-k\cdot \Delta x^{2}}{2g\cdot h}=\frac{2\cdot0,12-100\cdot 0,02^{2}}{20\cdot 2}=0,005\]

Ответ: 5 г.

Задача 3. На горизонтальной поверхности стола протягивают с постоянной скоростью \upsilon=2 м/с тонкую ленту шириной d=50 см. На ленту въезжает скользящая по столу монета, имея скорость \frac{4\upsilon}{3}, направленную перпендикулярно к краю ленты. Монета скользит по ленте и покидает ее со скоростью \upsilon (относительно стола) под неравным нулю углом к краю ленты. Найти коэффициент трения между монетой и лентой.

Ответ округлить до сотых. Считать, что g=10 м/c^{2}.

К задаче 3

 

Решение.

Перейдем в систему отсчета, связанную с лентой, и найдем величину скорости монеты относительно ленты в начале движения. По теореме Пифагора

    \[\upsilon_0=\sqrt{\upsilon^2+\left(\frac{4}{3}\upsilon\right)^2}=\frac{5}{3}\upsilon.\]

К задаче 3. В системе отсчета “лента”

В системе отсчета, связанной с лентой, монета движется по прямой и проходит путь, равный l=\frac{d}{\cos\alpha}.

Так как между монетой и лентой присутствует трение, то монета будет двигаться равнозамедленно с ускорением a=\mu\cdot g Конечную скорость монеты в этой системе отсчета найдем по закону сохранения энергии для монеты или по формуле “без времени”:

    \[l=\frac{\upsilon_{k}^2-\upsilon_0^2}{-2a},\]

откуда с учетом l и a, получаем что

    \[\upsilon_{k}^2= \upsilon_0^2-\frac{2\mu\cdot g\cdot d}{\cos\alpha}=\frac{25}{9}\upsilon^2-\frac{5}{2}\mu\cdot g\cdot d},\]

где \sin\alpha=\frac{3}{5} и \cos\alpha=\frac{4}{5}

К задаче 3. Разложение скорости на проекции.

В системе отсчета, связанной с землей, скорость, с которой монета съезжает с ленты, равна

    \[\upsilon^2=(\upsilon-\upsilon_{k_x})^2+\upsilon_{k_y}^2,\]

где \upsilon_{k_x}=\upsilon_{k}\cdot\sin\alpha=\frac{3}{5}\upsilon_{k} и \upsilon_{k_y}}=\upsilon_{k}\cdot\cos\alpha=\frac{4}{5}\upsilon_{k}.

Решая систему уравнений

    \[\upsilon^2=(\upsilon-\frac{3}{5}\upsilon_{k})^2+\left(\frac{4}{5}\upsilon_{k}\right)^2\]

    \[\upsilon^2=\upsilon^2-\frac{6}{5}\upsilon\upsilon_{k}+\frac{9}{25}\upsilon_k^2+\frac{16}{25}\upsilon_{k}^2\]

    \[\frac{6}{5}\upsilon\upsilon_{k}=\upsilon_k^2\]

Получим, что \upsilon_{k}=\frac{6}{5}\upsilon, и окончательно

    \[\frac{5}{2}\mu\cdot g\cdot d}=\frac{25}{9}\upsilon^2-\upsilon_k^2\]

    \[\mu=\frac{602\upsilon^2}{1125g\cdot d}=\frac{602\cdot 2^2}{1125\cdot 10\cdot0,5}\approx 0,43\]

Ответ: 0,43

Задача 4. В преддверии летнего сезона пожаров двое пожарных в одной из деревень решили заполнить одинаковые ёмкости для воды, расположенные на вышках высотой H. Емкости — это открытые сверху кубические баки объёмом V, стоящие на вышках. Один из пожарных стал заполнять бак при помощи насоса водой из большого водоёма, находящегося на уровне земли, из брандспойта, попадая струёй воды, направленной снизу вверх, прямо в верхнюю, открытую часть бака. Другой пожарный проложил от насоса до верхней части бака трубу и подавал в неё воду с той же скоростью, что и первый пожарный. Оба заполнили баки за одинаковое время. Во сколько раз минимальные затраты энергии на заполнение баков во втором случае больше, чем в первом? Потерями энергии в насосах и из-за трения в трубах и о воздух пренебречь. Ответ округлить до целых.

Решение.

Поскольку потерь энергии нет, механическая энергия при подъеме струи воды наверх сохраняется. Запишем закон сохранения энергии для всего объема поднятой воды в первом случае, когда струя воды с плотностью \rho для попадания в бак должна подняться с уровня земли на высоту, как минимум равную H+\sqrt{3}{V}. Для этого воде нужно сообщить кинетическую энергию

    \[E_k=\frac{\rho\cdot V\cdot U^2}{2}\]

(здесь U — скорость воды на выходе из брандспойта). Вся она перейдет в потенциальную, равную

    \[E_1=E_p=\rho\cdot V\cdot g\cdot (H+\sqrt{3}{\upsilon}).\]

Во втором случае вода обладает одинаковой кинетической энергией и на входе в брандспойт, и на выходе из него (времена заполнения баков и скорости воды на выходе из брандспойта и на входе в трубу одинаковы). Пренебрегая трением, мы можем записать с учётом первого соотношения минимальные затраты энергии. Они равны

    \[E_2=\rho\cdot V\cdot g\cdot (H+\sqrt[3]{\upsilon})+\frac{ \rho\cdot V\cdot U^2}{2}=2E_1\]

Таким образом, во втором случае минимальные затраты энергии в два раза больше.

 

Задача 5. Ящик массой m=100 кг начинают тянуть с помощью пружины, имеющей жесткость k=10 кН/м, наклоненной под углом \alpha=80^{\circ} к горизонту. Коэффициент трения между ящиком и полом \mu=0,5. Какую наименьшую работу нужно совершить внешней силой, приложенной к концу пружины, чтобы передвинуть ящик на расстояние S=1 м по прямой? Ответ выразить в Дж, округлив до целых. Считать, что ускорение свободного падения g=10 м/c^{2}, и изначально пружина не деформирована, а при движении ящик движется равномерно.

К задаче 5

Решение.

Работа внешней силы складывается из двух. Сначала надо растянуть пружину до момента начала движения ящика, затем переместить ящик на расстояниеS. По третьему закону Ньютона внешняя сила, действующая на пружину, равна по величине силе, с которой пружинка действует на ящик, то есть силе упругости пружины.

Найдем растяжение пружины \Delta x_0 в момент начала движения ящика. Для этого напишем второй закон Ньютона для ящика в проекции на горизонтальную и вертикальную оси и учтём, что в момент начала движения действующая на него сила трения — это сила трения скольжения.

    \[\begin{Bmatrix} {y: N-m\cdot g+k\cdot \Delta x_0\cdot \sin\alpha=0}\\{x: -\mu\cdot N+ k\cdot \Delta x_0\cdot \cos\alpha=0} \end{matrix}\]

Выражая N из второго уравнения системы и подставляя его в первое, получаем

    \[\Delta x_0=\frac{\mu  m g}{k (\mu \sin\alpha+\cos\alpha)}\]

Работа внешней силы равна

    \[A=\frac{k (\Delta x_0)^2}{2}+ k \Delta x_0 S\cos\alpha\]

Подставляя найденные нами величины, имеем

    \[A=\frac{(\mu m g)^2}{2k (\mu\sin\alpha+\cos\alpha)^2}+\frac{\mu m g S\cdot \cos\alpha}{\mu\sin\alpha+\cos\alpha }\approx158\]

Ответ: 158 Дж.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *