Законы сохранения – 1

[latexpage]

Снова представляю решения задач, которые мы разбирали на групповых занятиях летом с ребятами, желающими участвовать в олимпиадах. Здесь – серия задач на законы сохранения.

Задача 1. Обруч массой $m$ катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности. Скорость центра обруча равна $\upsilon$. Докажите, что кинетическая энергия обруча равна $m\upsilon^2$. Считайте, что вся масса обруча сосредоточена в его ободе.

Решение. Разобьем обруч на малые кусочки $\Delta m$. Эти кусочки участвуют во вращательном и поступательном движении. Так как проскальзывания нет, то скорость вращательного движения (линейная скорость) равна скорости обруча $\upsilon$. Таким образом, если бы обруч просто вращался, то каждый малый кусочек имел бы энергию $\frac{\Delta m\upsilon^2}{2}$. Если бы обруч скользил со скоростью $\upsilon$, каждый кусочек имел бы энергию $\frac{\Delta m\upsilon^2}{2}$. А так как каждая малая масса принимает участие в обоих движениях, то полная кинетическая энергия кусочка равна $\Delta m \upsilon^2$. А весь обруч имеет кинетическую энергию $m \upsilon^2$.

Задача 2. На гладком горизонтальном столе стоит коробка высоты $D$ и ширины $2D$. Внутри коробки в левом нижнем углу закреплена небольшая игрушечная пушка, стреляющая зарядом массы $m$, который мгновенно прилипает к любой цели, в которую попадает. На сколько сместится коробка по столу в результате одного выстрела? Масса коробки с пушкой $M$. Дуло пушки направлено под углом $\alpha$ к горизонту, скорость вылета снаряда относительно пушки равна $\upsilon$. Ускорение свободного падения $g$. Трением между коробкой и столом и сопротивлением воздуха пренебречь. Коробка не переворачивается.

К задаче 2

Решение.

При выстреле по закону сохранения импульса коробка начнет ехать влево. Движение будет равномерным – никаких сил по горизонтальной оси нет. Снаряд по горизонтальной оси тоже летит равномерно. Поэтому при ударе о коробку он передаст ей тот же самый импульс, и коробка остановится. Коробка двигается только пока летит снаряд – пусть это время $t$.

$$S=ut$$

$u$ – скорость коробки.

Запишем закон сохранения импульса (ось $x$ – вправо):

$$0=-Mu+m(\upsilon\cos\alpha-u)$$

Откуда

$$u=\frac{ m\upsilon\cos\alpha}{M+m}$$

Угол, под которым произведен выстрел, не дан, поэтому он может полететь по-разному. Снаряд может попасть в противоположную стенку, может не долететь де нее, и упасть на дно, а может врезаться в потолок. От того, как полетит снаряд, зависит время полета.

Пусть он попал на дно. Тогда дальность полета меньше $2D$, а максимальная высота меньше $D$:

$$L<2D$$

$$H_{max}<D$$

$$L=\frac{\upsilon_0^2\sin 2\alpha}{g}$$

$$ H_{max}=\frac{\upsilon_0^2\sin^2 \alpha}{2g}$$

В этом случае $t_1$ полета равно $T$,

$$T=\frac{2\upsilon_0\sin \alpha}{g}$$

Теперь, если снаряд попал в противоположную стенку, он пролетел (равномерно!) расстояние $2D$ по горизонтали, поэтому время его полета в этом случае $t_2$ равно

$$t_2=\frac{2D}{\upsilon \cos \alpha}$$

Так будет  в случае, если

$$L\leqslant 2D$$

$$H_{max}<D$$

Теперь рассмотрим третий случай: снаряд попал в потолок. Это значит, что

$$D=\upsilon \sin \alpha t_3 -\frac{gt_3^2}{2}$$

$$\frac{gt_3^2}{2}-\upsilon \sin \alpha t_3-D=0$$

Получили квадратное уравнение.

$$t_3=\frac{\upsilon \sin \alpha \pm \sqrt{\upsilon^2\sin^2\alpha-2gD}}{g}$$

Берем меньший корень – больший соответствует моменту, когда снаряд снова побывает на высоте $D$ (если бы коробка не была бы закрыта сверху). Поэтому

$$t_3=\frac{\upsilon \sin \alpha – \sqrt{\upsilon^2\sin^2\alpha-2gD}}{g}$$

Так будет  в случае, если

$$L < 2D$$

$$H_{max}>D$$

В четвертом случае

$$L \geqslant  2D$$

$$H_{max}\geqslant D$$

При этом шарик врежется точно, только непонятно, куда: в потолок или противоположную стенку. Время $t_4$ при этом – это меньшее из двух времен, $t_2$ и $t_3$.

Ответ: $S=\frac{ m\upsilon\cos\alpha}{M+m}\cdot t$, где $t$ – это $t_1, t_2, t_3$ или $t_4$ – это меньшее из $t_2$ и $t_3$. Условия, при которых выбираем случай, указаны выше.

Задача 3. Имеются три шара с массами $m, \mu$ и $2m$. Шар массой $2m$ движется, остальные шары покоятся. Происходят центральные упругие столкновения шаров. При каком значении массы $\mu$ шар массой $m$ будет иметь после столкновения с шаром $\mu$ максимальную скорость?

К задаче 3

Решение.

Записываем закон сохранения импульса для удара шаров $2m$ и $\mu$.

$$2m\upsilon_0=\mu \upsilon_1-2m\upsilon_2$$

Где $\upsilon_2$ – скорость налетающего шара после соударения, $\upsilon_1$ – скорость шара массой $\mu$.

Также запишем закон сохранения энергии:

$$\frac{2m\upsilon_0^2}{2}=\frac{\mu \upsilon_1^2}{2}+\frac{2m\upsilon_2^2}{2}$$

Упростим:

$$2m\upsilon_0^2=\mu \upsilon_1^2+2m\upsilon_2^2$$

Применяем давно известный нам прием: переносим все с одной и той же массой в одну строну. Закон сохранения импульса будет выглядеть:

$$2m(\upsilon_0+\upsilon_2)= \mu \upsilon_1$$

$$2m(\upsilon_0^2-\upsilon_2^2)= \mu \upsilon_1^2$$

И теперь разделим второе уравнение на первое:

$$\upsilon_0-\upsilon_2=\upsilon_1$$

$$\upsilon_2=\upsilon_0-\upsilon_1$$

Подставим $\upsilon_2$ в закон сохранения импульса:

$$2m\upsilon_0=\mu \upsilon_1-2m(\upsilon_0-\upsilon_1)$$

$$4m\upsilon_0=\mu \upsilon_1+2m\upsilon_1$$

$$\upsilon_1=\frac{4m\upsilon_0}{\mu+2m}$$

Тело $\mu$, имея скорость $\upsilon_1$, налетает на неподвижное тело $m$. Для них закон сохранения импульса:

$$\mu \upsilon_1=m\upsilon-\mu \upsilon_3$$

И закон сохранения энергии:

$$\frac{\mu\upsilon_1^2}{2}=\frac{m \upsilon^2}{2}+\frac{\mu\upsilon_3^2}{2}$$

$$\mu\upsilon_1^2=m \upsilon^2+\mu\upsilon_3^2$$

И тот же самый прием с массами:

$$\mu (\upsilon_1+\upsilon_3)=m\upsilon$$

$$\mu(\upsilon_1^2-\upsilon_3^2)=m \upsilon^2$$

Делим второе на первое:

$$\upsilon_1-\upsilon_3=\upsilon$$

$$\upsilon_3=\upsilon_1-\upsilon$$

Подставляем в ЗСИ:

$$\mu \upsilon_1=m\upsilon-\mu (\upsilon_1-\upsilon)$$

$$2\mu \upsilon_1=\upsilon (m+\mu)$$

$$2\mu \cdot \frac{4m\upsilon_0}{\mu+2m}=\upsilon (m+\mu)$$

$$8\mu m \upsilon_0=\upsilon(m+\mu)(m+2\mu)$$

$$8\mu m \upsilon_0=\upsilon(m^2+2m\mu+\mu m+2\mu^2)$$

$$8\mu m \upsilon_0=\upsilon(m^2+3m\mu+2\mu^2)$$

$$\upsilon=\frac{8\mu m \upsilon_0}{ m^2+3m\mu+2\mu^2}$$

Чтобы найти максимум, возьмем производную:

$$\upsilon(\mu)’=\frac{8m \upsilon_0(m^2+3m\mu+2\mu^2)- 8\mu m \upsilon_0(4\mu+3m)}{( m^2+3m\mu+2\mu^2)^2}=0$$

$$8m \upsilon_0(m^2+3m\mu+2\mu^2)- 8\mu m \upsilon_0(4\mu+3m)=0$$

$$8m^3\upsilon_0+24m^2\mu \upsilon_0+16 m \mu^2\upsilon_0-32\mu^2 m \upsilon_0-24 m^2\mu \upsilon_0=0$$

$$8m^3=16\mu^2 m$$

$$m^2=2\mu^2$$

$$m=\sqrt{2}\mu$$

Ответ: $m=\sqrt{2}\mu$.