Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Постоянный ток

Законы постоянного тока – задачи


Кто забыл законы Ома и Кирхгофа – тому сюда.

1. Вольтметр, включенный в сеть последовательно с сопротивлением [pmath]R_1[/pmath], показал напряжение  [pmath]U_1=198[/pmath]  В, а при включении последовательно с сопротивлением [pmath]R_2[/pmath] показал  [pmath]U_2= 180[/pmath] В. Определите сопротивление  [pmath]R_1[/pmath] и напряжение в сети, если сопротивление вольтметра 900 Ом.

Задача 1

Задача 1 – вторая схема

 

Так как входное напряжение [pmath]U[/pmath] на зажимах в обоих схемах одинаковое, то на этом факте мы и построим решение задачи. Запишем закон Ома для первого случая:

[pmath]I_1(R_1+R_V)=U[/pmath]

и для второго:

[pmath]I_2(2R_1+R_V)=U[/pmath]

Кроме того, можно записать закон Ома и для внутреннего сопротивления вольтметра, так как токи в обоих случаях разные, то: [pmath]I_1*R_V=U_1[/pmath]

[pmath]I_2*R_V=U_2[/pmath]. Из последних двух уравнений найдутся токи:  [pmath]I_1=U_1/R_V=198/900=0,22[/pmath] А,  [pmath]I_2=U_2/R_V=180/900=0,2[/pmath] А.

Теперь исключим входное напряжение из первого и второго уравнения, приравняв:

[pmath]I_1(R_1+R_V)=I_2(2R_1+R_V)[/pmath] – в этом уравнении уже не два, а одно неизвестное, это сопротивление резистора. Определим его, подставив все известные величины:

[pmath]0,22(R_1+900)=0,2(2R_1+900)[/pmath]

или

[pmath]900*0,22-900*0,2=R_1(2*0,2-0,22)[/pmath]

[pmath]R_1=18/{0,18}=100[/pmath] Ом.

И, зная сопротивление, найдем входное напряжение:

[pmath]U=I_1(R_1+R_V)=0,22*(100+900)=220[/pmath] В.

Ответ: 100 Ом, 220 В.

2. В цепи на рисунке амперметр показывает силу тока 1,5 А. Сила тока через сопротивление [pmath]R_1[/pmath] равна 0,5 А. Определите сопротивление [pmath]R_1[/pmath], если [pmath]R_2=2[/pmath], а [pmath]R_3=6[/pmath] Ом. Найдите силы токов, протекающих через эти ветви.

Задача 2

Эту задачу легко решить, если помнить, что на всех ветвях, включенных параллельно, одинаковое напряжение. На этом факте, который можно записать математически так: [pmath]I_1R_1=I_2R_2=I_3R_3[/pmath], мы и построим решение. Однако еще нам понадобится вспомнить первый закон (правило) Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю ([pmath]I_1+I_2+I_3=1,5[/pmath]. Запишем отношения токов в ветвях:

[pmath]I_2/I_1=R_1/R_2[/pmath]

[pmath]I_3/I_1=R_1/R_3[/pmath], или

[pmath]I_2/I_1=R_1/2[/pmath]

[pmath]I_3/I_1=R_1/6[/pmath].

Используем второе уравнение:

[pmath]I_1+{I_1R_1}/2+{R_1I_1}/6=1,5[/pmath]

[pmath]I_1(1+R_1/2+R_1/6)=1,5[/pmath]

[pmath]1+R_1/2+R_1/6=3[/pmath]

Тогда:

[pmath]R_1(8/12)=2[/pmath], откуда [pmath]R_1=3[/pmath]. Найдем теперь токи во всех ветвях из первого соотношения: [pmath]I_1R_1=I_2R_2[/pmath], [pmath]0,5*3=2I_2[/pmath], [pmath]I_2=0,75[/pmath] А

[pmath]I_2R_2=I_3R_3[/pmath], [pmath]2*0,75=6I_3[/pmath], [pmath]I_3=0,25[/pmath] А.

Ответ: 3 Ом, 0,75 А, 0,25 А.

3. Два цилиндрических проводника одинаковой длины и одинакового сечения, один из меди, а другой из железа, соединены параллельно. Определить отношение мощностей токов  для этих проводников. Удельные сопротивления меди и железа равны соответственно 17 и 98 нОм*м.

Из предыдущей задачи можем записать: [pmath]I_2/I_1=R_1/R_2[/pmath]. Так как и длина, и поперечное сечение проводников одинаковые, то [pmath]R_1/R_2={rho_1}/{rho_2}[/pmath]. Мощность тока равна: [pmath]P=I^2R[/pmath]. Запишем отношение мощностей тока:  [pmath]P_1/P_2={{I_1}^2*R_1}/{{{I_2}^2*R_2}}={{{rho_2}^2}/{{rho_1}^2}}*{{rho_1}/{rho_2}}={rho_2}/{rho_1}=98*10^{-9}/{17*10^{-9}}=5,76[/pmath]

Ответ:  [pmath]P_1/P_2=5,76[/pmath]

4. На рисунке [pmath]R_1=R_2=R_3=100[/pmath] Ом. Вольтметр показывает 200 В, а его сопротивление 800 Ом. Определите ЭДС батареи, пренебрегая ее сопротивлением.

Задача 4

По закону Ома найдем ток через сопротивление вольтметра:  [pmath]I_V*{R_V}=U_V[/pmath], [pmath]I_V=U_V/R_V=200/800=0,25[/pmath] А. Сопротивление ветви [pmath]R_2-R_3[/pmath] (последовательное соединение) равно 200 Ом – это в четыре раза меньше, чем сопротивление вольтметра. Тогда ток в этой ветви в четыре раза больше: [pmath]I_2=4*0,25=1[/pmath] А. По первому закону Кирхгофа сумма этих токов равна току в ветви [pmath]R_1-E[/pmath]: [pmath]I_1=I_V+I_2=0,25+1=1,25[/pmath] А.

Найдем сопротивление всей схемы – оно понадобится нам, чтобы найти ЭДС источника. Сопротивление вольтметра подключено параллельно ветви [pmath]R_2-R_3[/pmath], поэтому их общее сопротивление найдется как произведение сопротивлений ветвей на их сумму:

[pmath]{(R_2+R_3)*R_V}/{R_2+R_3+R_V}={200*800}/1000=160[/pmath] Ом.

Тогда по второму закону Кирхгофа [pmath]E=I(R_1+160)[/pmath], откуда  [pmath]E=1,25(100+160)=325[/pmath] В.

5.  Как, имея весы и тестер, определись длину и площадь поперечного сечения мотка медной проволоки без изоляции?

Взвесим проволоку. По массе проволоки, зная плотность меди [pmath]rho[/pmath] (можно посмотреть здесь), найдем объем:  [pmath]V=m*{rho}[/pmath]. С другой стороны, объем проволоки – это ее длина, умноженная на площадь сечения:  [pmath]V=l*S[/pmath].

Измерим сопротивление проволоки с помощью тестера (правда, ее придется для этой цели размотать и распрямить, чтобы не было контакта между кольцами). Сопротивление проволоки равно  [pmath]R={rho}*{l/S}[/pmath].  Таким образом, нам оказались известны как произведение длины на поперечное сечение проволоки, так и их частное. Остается решить систему уравнений:

[pmath]delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{l/S=R/{rho}} {V=lS} }}{ }[/pmath]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *