Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Закон сохранения импульса, Олимпиадная физика

Закон сохранения импульса

Закон сохранения импульса можно применять только тогда, когда система, для которой он записан, замкнута, то есть на нее не действуют внешние силы или равнодействующая их равна нулю.

Закон сохранения механической энергии можно записать для системы, на которую не действуют внешние неконсервативные силы и в которой не выделяется тепло.

Задача 1. Два шарика висят на нитях, соприкасаясь друг с другом. Правый шарик, масса которого m_1=0,4 кг, отклоняют на угол 90^\circ и отпускают без начальной скорости. Какой должна быть масса левого шарика, чтобы в результате абсолютно неупругого удара половина кинетической энергии правого шарика перешла в тепло? Ответ выразить в кг, округлив до десятых.

Решение.

Пусть скорость налетающего шарика в нижней точке \upsilon_1, тогда закон сохранения импульса для системы из двух шариков  принимает вид:

    \[m_1\cdot\upsilon_1=(m_1+m_2)\cdot\upsilon.\]

Воспользуемся законом сохранения энергии для той же системы, получим:

    \[\frac{m_1\cdot\upsilon_1^2}{2}=\frac{(m_1+m_2)\cdot\upsilon^2}{2}+Q,\]

где по условию задачи

    \[Q=\frac{ m_1\cdot\upsilon_1^2}{4}.\]

Тогда ЗСЭ можно переписать в виде

    \[\frac{m_1\cdot\upsilon_1^2}{2}=\frac{(m_1+m_2)\cdot\upsilon^2}{2}+\frac{m_1\cdot\upsilon_1^2}{4}.\]

После упрощений получаем

    \[m_2=m_1=0,4.\]

Ответ: 0,4 кг.

 

Задача 2. Легкий стержень длиной 2L=3,2 м с закрепленными на его концах грузами m_1=1 кг и m_2=3 кг может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня. Стержень приводят в горизонтальное положение и отпускают. Найдите скорость грузов в тот момент, когда стержень проходит вертикальное положение. Ответ выразить в м/с, округлив до целых.

К задаче 2

 

Решение.

В качестве нулевого уровня потенциальной энергии выберем положение нижнего груза.

Запишем закон сохранения механической энергии для системы от начального до конечного положения:

    \[m_1\cdot g\cdot L+m_2\cdot g\cdot L=\frac{m_1\cdot\upsilon^2}{2}+\frac{m_2\cdot\upsilon^2}{2}+m_1\cdot g\cdot 2L.\]

Тогда скорость грузов равна

    \[\upsilon=\sqrt{2g\cdot L\frac{m_2-m_1}{m_2+m_1}}=4.\]

Ответ: 4 м/с.

 

Задача 3. Снаряд, выпущенный со скоростью \upsilon=80 м/с из пушки, находящейся на поверхности земли, разорвался на два одинаковых осколка. Один из них полетел вертикально вверх, а второй горизонтально, оба со скоростями \frac{\upsilon}{2}. На какой высоте произошел взрыв? Ответ выразить в м, округлив до целых.

Решение.

Запишем закон сохранения импульса для снаряда. Система не является замкнутой, но время взрыва мало, поэтому ЗСИ применим. Не надо забывать, что импульс — векторная величина. Конечный импульс системы складывается из импульсов двух осколков, причем их скорости перпендикулярны. С учетом теоремы Пифагора

    \[2M\cdot u=\sqrt{M^2\left(\frac{\upsilon}{2}\right)^2+M^2\left(\frac{\upsilon}{2}\right)^2},\]

откуда скорость снаряда до взрыва

    \[u=\frac{\upsilon}{2\sqrt{2}}.\]

Высоту, на которой произошёл взрыв, можно найти из закона сохранения энергии для снаряда:

    \[\frac{M\cdot \upsilon^2}{2}=M\cdot g\cdot h+\frac{M\cdot u^2}{2},\]

откуда окончательно

    \[h=\frac{7\upsilon^2}{16g}=280.\]

Ответ: 280 м.

Задача 4. По наклонной плоскости с углом наклона \alpha=30^\circ навстречу друг другу без трения катятся по рельсам две небольшие тележки с массами M_1=20 кг и M_2=10 кг. Между ними происходит абсолютно неупругое соударение, и они сцепляются. Скорости тележек непосредственно перед ударом составляют: для первой тележки (движущейся вверх) \upsilon_1=8 м/с, для второй тележки \upsilon_2=1 м/с. На какое расстояние переместится общий центр масс двух тележек после удара до остановки? Трением пренебречь. Ответ выразить в см, округлив до десятых.

Решение.

Для системы из двух тележек можно записать закон сохранения импульса при соударении, так как время соударения мало, хоть система и не является замкнутой. Закон сохранения импульса для системы из двух тележек в проекции на направление скорости первой до соударения:

    \[M_1\cdot\upsilon_1-M_2\cdot\upsilon_2=(M_1+M_2)\cdot\upsilon_0\]

где \upsilon_0 — проекция скорости тележек после удара на то же самое направление.

    \[\upsilon_0=\frac{M_1\cdot\upsilon_1-M_2\cdot\upsilon_2}{M_1+M_2}\]

С помощью закона сохранения механической энергии или “формулы без времени” можно получить, что расстояние, на которое переместится общий центр масс двух тележек после удара до остановки

    \[S=\frac{\upsilon_0^2}{2g\cdot\sin\alpha}=250.\]

Ответ: 250 см.

 

Задача 5. Пять одинаковых по размеру шайб, центры которых лежат на одной прямой, находятся на небольшом расстоянии друг от друга. Масса каждой следующей шайбы в два раза меньше массы предыдущей. В первую (самую массивную) шайбу попадает еще одна шайба, масса которой в два раза больше, чем у первой, со скоростью, направленной вдоль прямой, соединяющей шайбы, и равной по величине \upsilon_0=10 м/с. Определите скорость последней шайбы, считая соударения абсолютно упругими. Ответ выразить в м/с, округлив до целых.

Решение.

Для первого столкновения выполняются законы сохранения энергии и импульса:

    \[2m\cdot\upsilon^2=2m\cdot u^2+m\cdot\upsilon_1^2\]

    \[2m\cdot\upsilon=2m\cdot u+m\cdot\upsilon_1\]

где \upsilon – скорость налетающей шайбы, u — скорость той же шайбы после столкновения, \upsilon_1 — скорость второй шайбы после столкновения. Решение системы уравнений дает: \upsilon_1=\frac{4}{3}\cdot\upsilon. Всего таких столкновений пять. Следовательно, \upsilon_k=\left(\frac{4}{3}\right)^5\cdot\upsilon=42.

Ответ: 42 м/с.

Задача 6. Пуля массой m=20 г, летящая со скоростью \upsilon=100 м/с, попадает в мишень, подвешенную на длинной нити, и застревает в ней. Мишень при этом поднимается на высоту h=0,2 м. Какова масса мишени? Ответ выразить в г, округлив до целых. Считать, что ускорение свободного падения g=10 м/с^2.

К задаче 6

Решение.

Необходимо  применить и закон сохранения импульса,  и закон сохранения энергии.

Закон сохранения импульса можно применять только тогда, когда система, для которой он записан, замкнута, то есть на нее не действуют внешние силы или они уравновешены, скомпенсированы. В данном случае система «пуля+мишень» не является замкнутой, так как есть внешняя сила тяжести, действующая на пулю, которая ничем не скомпенсирована. Однако мы можем записать закон сохранения импульса для очень маленького промежутка времени — например, для промежутка, за который пуля попадает в мишень. Запишем его в проекции на горизонтальную ось.

    \[m\cdot\upsilon=(M+m)\cdot\upsilon_1.\]

Закон сохранения механической энергии можно записать для системы, на которую не действуют внешние неконсервативные силы и в которой не выделяется тепло. Для нашей системы «пуля+мишень» это справедливо только от момента сразу после попадания пули в мишень, например, до момента, когда мишень достигает наивысшей точки. Запишем закон сохранения энергии.

    \[\frac{(M+m)\cdot\upsilon_1^2}{2}=(M+m)\cdot g\cdot h.\]

Решая систему из двух уравнений, получим, что масса мишени равна

    \[M=m\cdot\left( \frac{\upsilon}{\sqrt{2g\cdot h}}-1\right)=980.\]

Ответ: 980 г.

 

Задача 7. Шарик, движущийся со скоростью \upsilon по гладкой горизонтальной поверхности, налетает на лежащий неподвижно на той же поверхности кубик. После неупругого удара шарик остановился, а кубик стал двигаться поступательно со скоростью \frac{\upsilon}{4}. Какая часть первоначальной кинетической энергии шарика перешла в теплоту? Ответ округлить до сотых.

Решение.

По закону сохранения импульса, записанного для системы “шарик+кубик” от момента до удара до момента после удара в проекции на направление движения

    \[m\cdot\upsilon=M\cdot\frac{\upsilon}{4},\]

откуда M=4m. Количество теплоты, выделившееся при столкновении, можно найти из закона сохранения энергии для системы “шарик+кубик” от момента до удара до момента после удара

    \[Q=\frac{m\cdot\upsilon^2}{2}-\frac{M\cdot\left(\frac{\upsilon}{4}\right)^2}{2}.\]

    \[Q=\frac{m\cdot\upsilon^2}{3},$ или $\frac{Q}{E}=0,75.\]

Ответ: 0,75.

 

Задача 8. Брусок массой m_1=500 г соскальзывает по наклонной плоскости высотой h=0,8 м, выезжает на горизонтальную поверхность и сталкивается с лежащим на ней неподвижным бруском массой m_2=300 г. Считая удар центральным и абсолютно упругим, определите кинетическую энергию второго бруска после столкновения. Трением при движении пренебречь. Ответ дать в Дж, округлив до сотых. Считать ускорение свободного падения g=10 м/с^2.

Решение.

Закон сохранения импульса для системы из двух брусков:

    \[m_1\cdot\upsilon= m_1\cdot\upsilon_1+m_2\cdot\upsilon_2\]

и затем закон сохранения энергии для первого бруска от момента начала движения до момента сразу перед столкновением:

    \[m_1\cdot g\cdot h=\frac{m_1\cdot\upsilon}{2}\]

и для двух брусков от момента сразу перед столкновением до момента сразу после столкновения:

    \[\frac{m_1\cdot\upsilon^2}{2}=\frac{m_1\cdot\upsilon_1^2}{2}+\frac{m_2\cdot\upsilon_2^2}{2}.\]

Решая систему уравнений, получим ответ:

    \[E_2=\frac{4g\cdot h\cdot m_1^2\cdot m_2}{(m_1+m_2)^2}=3,75.\]

Ответ: 3,75 Дж.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *