Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Закон сохранения импульса, Олимпиадная физика

Закон сохранения импульса – задачи ЗФТШ. Часть 3

Когда твои ученики учатся в ЗФТШ – считай, ты тоже там учишься. Что, кстати, очень полезно, ибо задачи олимпиадные, сложненькие.

Задача 11. Соломинка массы M и длины L лежит на гладкой горизонтальной поверхности. На концах соломинки сидят два жука, массы которых одинаковы и равны m. Одновременно жуки поползли навстречу друг другу со скоростями \upsilon_1 и \upsilon_2 (\upsilon_1 > \upsilon_2) относительно соломинки. С какой скоростью \upsilon движется при этом соломинка. Найдите перемещение S_x соломинки к тому моменту, когда жуки встретятся.

Решение. Сумма импульсов всех составляющих этой системы равна нулю. При этом скорость первого жука относительно земли равна \upsilon_1+\upsilon, второго жука относительно земли – \upsilon-\upsilon_2. Закон сохранения импульса:

    \[M\upsilon +m(\upsilon_1+\upsilon)+m(\upsilon-\upsilon_2)=0\]

M – масса соломинки, m – жука.

    \[M\upsilon +m\upsilon_1+m\upsilon+ m\upsilon-m\upsilon_2=0\]

    \[\upsilon(M+2m)+m(\upsilon_1-\upsilon_2)=0\]

    \[\upsilon=\frac{ m(\upsilon_2-\upsilon_1)}{M+2m}\]

Время, за которое жуки доползут друг до друга и встретятся, равно

    \[t=\frac{L}{\upsilon_1+\upsilon_2}\]

А расстояние, которое пройдет за это время соломинка,

    \[S_x=\upsilon t=\frac{ m(\upsilon_2-\upsilon_1)}{M+2m}\cdot \frac{L}{\upsilon_1+\upsilon_2}\]

Ответ: \upsilon=\frac{ m(\upsilon_2-\upsilon_1)}{M+2m}, S_x=\frac{ m(\upsilon_2-\upsilon_1)}{M+2m}\cdot \frac{L}{\upsilon_1+\upsilon_2}

 

Задача 12. Вагон массой m_1=60 тонн, движущийся по прямолинейному горизонтальному пути, догоняет другой движущийся вагон, массой m_1=40 и сцепляется с ним. В процессе сближения расстояние между вагонами сокращалось со скоростью \upsilon=0,5 м/с. Найдите убыль \mid\Delta K\mid кинетической энергии вагонов в результате абсолютно неупругого столкновения.

Решение. Данная нам скорость – это скорость сближения вагонов.

    \[\upsilon_2-\upsilon_1=0,5\]

Закон сохранения импульса:

    \[m_2\upsilon_2+ m_1\upsilon_1=(m_1+m_2)\upsilon_x\]

Заменим сразу же

    \[\upsilon_2=0,5+\upsilon_1\]

    \[m_2(0,5+\upsilon_1)+ m_1\upsilon_1=(m_1+m_2)\upsilon_x\]

    \[\upsilon_x=\frac{ m_2(0,5+\upsilon_1)+ m_1\upsilon_1}{ m_1+m_2}=\frac{ 60(0,5+\upsilon_1)+ 40\upsilon_1}{ 100}=\upsilon_1+0,3\]

Теперь составим уравнение, которое позволит найти искомую разность:

    \[\frac{m_2(\upsilon_1+0,5)^2}{2}+\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}-\frac{(m_1+m_2)(\upsilon_1+0,3)^2}{2}=\]

    \[=30(\upsilon_1+0,5)^2+20\upsilon^2-50(\upsilon_1+0,3)^2=30(\upsilon_1^2+\upsilon_1+0,25)+20\upsilon_1^2-50(\upsilon_1^2+0,6\upsilon_1+0,09)=30\cdot0,25-50\cdot0,09=3\]

Так как масса была в тоннах, ответ получен в кДж.

Ответ: 3000 Дж.

Задача 13. На железнодорожной тележке массой M=200 кг жестко закреплен вертикальный щит, повернутый на угол \alpha=30^{\circ} от перпендикулярного рельсам направления.

К задаче 3

В щит бросают мешок с песком массой m=50 кг, горизонтальная составляющая начальной скорости которого равна \upsilon_0 =1,5 м/с и направлена вдоль рельсов. Найдите скорость \upsilon тележки после того, как мешок, ударившись о щит, сполз по нему вниз и упал на тележку. Трением мешка о щит и сопротивлением движению тележки можно пренебречь. До удара тележка была неподвижна.

Решение. Пусть мешок сполз по щиту и лег на тележку. Тогда по закону сохранения импульса

    \[m\upsilon_0=(m+M)\upsilon\]

    \[\upsilon=\frac{ m\upsilon_0}{ m+M }\]

А если мешок стал скользить по тележке и сполз в итоге с нее?

Тогда скорость \upsilon_0 может быть разложена на составляющие, одна из которых направлена вдоль щита – с такой скоростью \upsilon_1 мешок движется по тележке.

Скорости в задаче 13

Скорость мешка относительно рельсов

    \[\vec{\upsilon_2}=\vec{\upsilon}+\vec{\upsilon_1}\]

Закон сохранения импульса:

    \[m\upsilon_0=m\upsilon_2+M\upsilon\]

    \[m\upsilon_0=m\upsilon+m\upsilon_1\sin \alpha+M\upsilon\]

На плоскость щита:

    \[m\upsilon_0\sin \alpha=m\upsilon\sin\alpha +m\upsilon_1\]

Тогда

    \[\upsilon_1=\upsilon_0\sin \alpha-\upsilon\sin\alpha\]

Подставим это в ЗСИ:

    \[m\upsilon_0=m\upsilon+m\sin \alpha(\upsilon_0\sin \alpha-\upsilon\sin\alpha)+M\upsilon\]

    \[m\upsilon_0=m\upsilon+ m\upsilon_0\sin^2 \alpha-m\upsilon\sin^2 \alpha+M\upsilon\]

    \[m\upsilon_0(1-\sin^2 \alpha)= m\upsilon(1-\sin^2 \alpha)+M\upsilon\]

    \[m\upsilon_0\cos^2 \alpha= m\upsilon\cos^2 \alpha+M\upsilon\]

    \[\upsilon=\frac{ m\upsilon_0\cos^2 \alpha }{ m\cos^2 \alpha+M }\]

Ответ: либо \upsilon=\frac{ m\upsilon_0}{ m+M }, если мешок замер у основания щита, либо \upsilon=\frac{ m\upsilon_0\cos^2 \alpha }{ m\cos^2 \alpha+M }, если мешок скользит по тележке после того, как спустился по щиту.

 

Задача 14. Шайба движется по гладкому горизонтальному столу и налетает на такую же неподвижную шайбу. После удара шайбы разлетаются симметрично относительно направления скорости налетающей шайбы. Угол между направлениями движения шайб равен \alpha= \frac{\pi}{3}. Какая часть кинетической энергии налетающей шайбы перешла в теплоту?

Решение. Закон сохранения импульса в проекции на ось, по которой двигалась шайба первоначально:

    \[m\upsilon_0=2m\upsilon\cos\frac{\alpha}{2}\]

    \[\upsilon=\frac{\upsilon_0}{2\cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{\upsilon_0}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\upsilon_0}{\sqrt{3}}\]

Теперь составим уравнение по ЗСЭ:

    \[Q=\frac{m\upsilon_0^2}{2}-\frac{2m\upsilon^2}{2}=\frac{m\upsilon_0^2}{2}-\frac{m\upsilon_0^2}{3}=\frac{m\upsilon_0^2}{6}\]

Ответ: Q=\frac{m\upsilon_0^2}{6}.

 

Задача 15. Шайба массой m_1 = 0,1 кг скользит по гладкому горизонтальному столу со скоростью \upsilon_1 =2 м/с. Навстречу ей движется шайба массой m_2 = 0,2 кг со скоростью \upsilon_2 =1 м/с. Центы шайб движутся по параллельным прямым. Происходит абсолютно упругий нецентральный удар. Во сколько раз изменится кинетическая энергия каждой шайбы в результате соударения? Шайбы гладкие.

К задаче 15

Решение. Шайбы столкнутся, причем при этом линия, соединяющая их центры, перпендикулярна касательной в точке столкновения. Введем систему координат, как показано на рисунке. Шайбы, столкнувшись, каждая приобретают составляющие скорости по обеим осям. Пусть первоначально шайбы имели составляющие скорости по оси x \upsilon_{1x} и \upsilon_{2x}, а после столкновения эти составляющие изменились соответственно на \upsilon_{3x} и \upsilon_{4x} (ну и по оси y аналогично). Тогда закон сохранения импульса в проекциях на ось x

    \[m_1\upsilon_{1x}- m_2\upsilon_{2x}= -m_1\upsilon_{3x}- m_2\upsilon_{4x}\]

Но

    \[m_1\upsilon_{1x}- m_2\upsilon_{2x}=0\]

    \[\upsilon_{2x}=\frac{m_1}{m_2}\upsilon_{1x}\]

Это легко посчитать. Поэтому

    \[m_1\upsilon_{3x}=- m_2\upsilon_{4x}\]

    \[\upsilon_{3x}=-\frac{m_2}{m_1}\upsilon_{4x}\]

Теперь по оси y, которая перпендикулярна оси столкновения, поэтому каждая шайба сохраняет модуль своей скорости по этой оси:

    \[m_1\upsilon_{1y}= m_1\upsilon_{3y}\]

    \[m_2\upsilon_{2y}= m_2\upsilon_{4y}\]

    \[\upsilon_{1y}=\upsilon_{3y}\]

    \[\upsilon_{2y}= \upsilon_{4y}\]

Теперь, зная кое-что про скорости, можно записать закон сохранения энергии (я его сразу на 2 умножу)

    \[m_1\upsilon_1^2+ m_2\upsilon_2^2= m_1\upsilon_3^2+ m_2\upsilon_4^2\]

Перепишем в составляющих на оси:

    \[m_1(\upsilon_{1x}^2+ \upsilon_{1y}^2)+m_2(\upsilon_{2x}^2+ \upsilon_{2y}^2)= m_1(\upsilon_{3x}^2+ \upsilon_{3y}^2)+ m_2(\upsilon_{4x}^2+ \upsilon_{4y}^2)\]

Сокращаем равные слагаемые в правой и левой частях:

    \[m_1\upsilon_{1x}^2+ m_2\upsilon_{2x}^2= m_1\upsilon_{3x}^2+  m_2\upsilon_{4x}^2\]

Группируем:

    \[m_1(\upsilon_{1x}^2- \upsilon_{3x}^2)= m_2(\upsilon_{4x}^2-  \upsilon_{2x}^2)\]

Перепишем закон сохранения импульса:

    \[m_1(\upsilon_{1x}+\upsilon_{3x})= m_2(\upsilon_{2x}-\upsilon_{4x})\]

Деление ЗСЭ на ЗСИ даст

    \[\upsilon_{1x}-\upsilon_{3x}=-(\upsilon_{2x}+\upsilon_{4x})\]

Подставим это:

    \[\upsilon_{2x}=\frac{m_1}{m_2}\upsilon_{1x}\]

    \[\upsilon_{1x}-\upsilon_{3x}=-\upsilon_{4x}-\frac{m_1}{m_2}\upsilon_{1x}\]

    \[\upsilon_{1x}-\frac{m_2}{m_1}\upsilon_{4x}=-\upsilon_{4x}-\frac{m_1}{m_2}\upsilon_{1x}\]

    \[\upsilon_{1x}-\frac{m_2}{m_1}\frac{m_1}{m_2}\upsilon_{3x}=-\frac{m_1}{m_2}\upsilon_{3x}-\frac{m_1}{m_2}\upsilon_{1x}\]

    \[\upsilon_{1x}-\upsilon_{3x}=-\frac{m_1}{m_2}(\upsilon_{1x}-\upsilon_{3x})\]

Получается, что \upsilon_{1x}=\upsilon_{3x}, а раз никакие составляющие скоростей не меняются, то это значит, что кинетическая энергия шайб осталась прежней.

 

Задача 6. Вниз по шероховатой наклонной плоскости равномерно движется брусок. В тот момент, когда скорость бруска равна \upsilon_1 =1 м/с, на брусок падает движущийся по вертикали со скоростью \upsilon_2 =4 м/с пластилиновый шарик и прилипает к нему, а брусок останавливается.

  • С какой высоты h упал шарик?
  • Найдите величину a ускорения, с которым двигался брусок перед соударением.

Движение шарика до соударения – свободное падение с нулевой начальной скоростью. Массы бруска и шарика одинаковы. Ускорение свободного падения g=10 м/с^2. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Быстрые процессы торможения бруска и деформации пластилина заканчиваются одновременно. В этих процессах действие сил тяжести считайте пренебрежимо малым.

К задаче 16

Решение. Так как

    \[\upsilon_2^2=2gh\]

    \[h=\frac{\upsilon_2^2}{2g}=\frac{16}{20}=0,8\]

Шарик упал с высоты 0,8 м. А вот второй вопрос сложнее.

Введем оси координат: x совпадает с наклонной плоскостью, y –  перпендикулярна плоскости. По оси y уравнение по второму закону Ньютона

    \[N=mg\cos \alpha\]

По определению, сила трения

    \[F_{tr}=\mu N=\mu mg\cos \alpha\]

По оси x

    \[ma_x=mg\sin\alpha-F_{tr}= mg\sin\alpha-\mu mg\cos \alpha\]

    \[a_x= g\sin\alpha-\mu g\cos \alpha\]

    \[a_x<0\]

    \[a=-a_x=\mu g\cos \alpha- g\sin\alpha\]

Изменение импульса, деленное на время, за которое оно произошло, равна сумме внешних сил. Здесь внешними будут сила реакции опоры и сила трения – силой тяжести пренебрежем согласно условию задачи.

Изменение импульса по оси y

    \[\Delta p_y=p_{y_k}-p_{y_0}=0-(-m\upsilon_2\cos \alpha)\]

    \[\Delta p_y= m\upsilon_2\cos \alpha~~~~~~~~~~~(1)\]

Но

    \[\Delta p_y=Т\Delta t\]

Изменение импульса по оси x

    \[\Delta p_x=p_{x_k}-p_{x_0}=0-(-m\upsilon_1+m\upsilon_2\sin \alpha)\]

    \[\Delta p_x= -F_{tr}\Delta t=-\mu N\Delta t\]

Получаем, подставляя (1)

    \[-m(\upsilon_1+\upsilon_2\sin \alpha)=- \mu m\upsilon_2\cos \alpha\]

    \[\upsilon_1+\upsilon_2\sin \alpha= \mu \upsilon_2\cos \alpha\]

Перепишем через ускорения:

    \[a_1+a_2\sin \alpha= \mu a_2\cos \alpha\]

    \[a_1=a_2(\mu \cos \alpha-\sin \alpha)\]

    \[\frac{a_1}{a_2}=\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}=\mu \cos \alpha-\sin \alpha=\frac{a_x}{g}\]

    \[a_x=g\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}=10\cdot\frac{1}{4}=2,5\]

Ответ: 2,5 м/с^2.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *