Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Закон сохранения импульса, Олимпиадная физика

Закон сохранения импульса – задачи ЗФТШ. Часть 3

[latexpage]

Когда твои ученики учатся в ЗФТШ – считай, ты тоже там учишься. Что, кстати, очень полезно, ибо задачи олимпиадные, сложненькие.

Задача 11. Соломинка массы $M$ и длины $L$ лежит на гладкой горизонтальной поверхности. На концах соломинки сидят два жука, массы которых одинаковы и равны $m$. Одновременно жуки поползли навстречу друг другу со скоростями $\upsilon_1$ и $\upsilon_2$ ($\upsilon_1 > \upsilon_2$) относительно соломинки. С какой скоростью $\upsilon$ движется при этом соломинка. Найдите перемещение $S_x$ соломинки к тому моменту, когда жуки встретятся.

Решение. Сумма импульсов всех составляющих этой системы равна нулю. При этом скорость первого жука относительно земли равна $\upsilon_1+\upsilon$, второго жука относительно земли – $\upsilon-\upsilon_2$. Закон сохранения импульса:

$$M\upsilon +m(\upsilon_1+\upsilon)+m(\upsilon-\upsilon_2)=0$$

$M$ – масса соломинки, $m$ – жука.

$$M\upsilon +m\upsilon_1+m\upsilon+ m\upsilon-m\upsilon_2=0$$

$$\upsilon(M+2m)+m(\upsilon_1-\upsilon_2)=0$$

$$\upsilon=\frac{ m(\upsilon_2-\upsilon_1)}{M+2m}$$

Время, за которое жуки доползут друг до друга и встретятся, равно

$$t=\frac{L}{\upsilon_1+\upsilon_2}$$

А расстояние, которое пройдет за это время соломинка,

$$S_x=\upsilon t=\frac{ m(\upsilon_2-\upsilon_1)}{M+2m}\cdot \frac{L}{\upsilon_1+\upsilon_2}$$

Ответ: $\upsilon=\frac{ m(\upsilon_2-\upsilon_1)}{M+2m}$, $S_x=\frac{ m(\upsilon_2-\upsilon_1)}{M+2m}\cdot \frac{L}{\upsilon_1+\upsilon_2}$

 

Задача 12. Вагон массой $m_1=60$ тонн, движущийся по прямолинейному горизонтальному пути, догоняет другой движущийся вагон, массой $m_1=40$ и сцепляется с ним. В процессе сближения расстояние между вагонами сокращалось со скоростью $\upsilon=0,5$ м/с. Найдите убыль $\mid\Delta K\mid$ кинетической энергии вагонов в результате абсолютно неупругого столкновения.

Решение. Данная нам скорость – это скорость сближения вагонов.

$$\upsilon_2-\upsilon_1=0,5$$

Закон сохранения импульса:

$$m_2\upsilon_2+ m_1\upsilon_1=(m_1+m_2)\upsilon_x$$

Заменим сразу же

$$\upsilon_2=0,5+\upsilon_1$$

$$m_2(0,5+\upsilon_1)+ m_1\upsilon_1=(m_1+m_2)\upsilon_x$$

$$\upsilon_x=\frac{ m_2(0,5+\upsilon_1)+ m_1\upsilon_1}{ m_1+m_2}=\frac{ 60(0,5+\upsilon_1)+ 40\upsilon_1}{ 100}=\upsilon_1+0,3$$

Теперь составим уравнение, которое позволит найти искомую разность:

$$\frac{m_2(\upsilon_1+0,5)^2}{2}+\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}-\frac{(m_1+m_2)(\upsilon_1+0,3)^2}{2}=$$

$$=30(\upsilon_1+0,5)^2+20\upsilon^2-50(\upsilon_1+0,3)^2=30(\upsilon_1^2+\upsilon_1+0,25)+20\upsilon_1^2-50(\upsilon_1^2+0,6\upsilon_1+0,09)=30\cdot0,25-50\cdot0,09=3$$

Так как масса была в тоннах, ответ получен в кДж.

Ответ: 3000 Дж.

Задача 13. На железнодорожной тележке массой $M=200$ кг жестко закреплен вертикальный щит, повернутый на угол $\alpha=30^{\circ}$ от перпендикулярного рельсам направления.

К задаче 3

В щит бросают мешок с песком массой $m=50$ кг, горизонтальная составляющая начальной скорости которого равна $\upsilon_0 =1,5$ м/с и направлена вдоль рельсов. Найдите скорость $\upsilon$ тележки после того, как мешок, ударившись о щит, сполз по нему вниз и упал на тележку. Трением мешка о щит и сопротивлением движению тележки можно пренебречь. До удара тележка была неподвижна.

Решение. Пусть мешок сполз по щиту и лег на тележку. Тогда по закону сохранения импульса

$$m\upsilon_0=(m+M)\upsilon$$

$$\upsilon=\frac{ m\upsilon_0}{ m+M }$$

А если мешок стал скользить по тележке и сполз в итоге с нее?

Тогда скорость $\upsilon_0$ может быть разложена на составляющие, одна из которых направлена вдоль щита – с такой скоростью $\upsilon_1$ мешок движется по тележке.

Скорости в задаче 13

Скорость мешка относительно рельсов

$$\vec{\upsilon_2}=\vec{\upsilon}+\vec{\upsilon_1}$$

Закон сохранения импульса:

$$ m\upsilon_0=m\upsilon_2+M\upsilon$$

$$ m\upsilon_0=m\upsilon+m\upsilon_1\sin \alpha+M\upsilon$$

На плоскость щита:

$$m\upsilon_0\sin \alpha=m\upsilon\sin\alpha +m\upsilon_1$$

Тогда

$$\upsilon_1=\upsilon_0\sin \alpha-\upsilon\sin\alpha$$

Подставим это в ЗСИ:

$$ m\upsilon_0=m\upsilon+m\sin \alpha(\upsilon_0\sin \alpha-\upsilon\sin\alpha)+M\upsilon$$

$$ m\upsilon_0=m\upsilon+ m\upsilon_0\sin^2 \alpha-m\upsilon\sin^2 \alpha+M\upsilon$$

$$ m\upsilon_0(1-\sin^2 \alpha)= m\upsilon(1-\sin^2 \alpha)+M\upsilon$$

$$ m\upsilon_0\cos^2 \alpha= m\upsilon\cos^2 \alpha+M\upsilon$$

$$\upsilon=\frac{ m\upsilon_0\cos^2 \alpha }{ m\cos^2 \alpha+M }$$

Ответ: либо $\upsilon=\frac{ m\upsilon_0}{ m+M }$, если мешок замер у основания щита, либо $\upsilon=\frac{ m\upsilon_0\cos^2 \alpha }{ m\cos^2 \alpha+M }$, если мешок скользит по тележке после того, как спустился по щиту.

 

Задача 14. Шайба движется по гладкому горизонтальному столу и налетает на такую же неподвижную шайбу. После удара шайбы разлетаются симметрично относительно направления скорости налетающей шайбы. Угол между направлениями движения шайб равен $\alpha= \frac{\pi}{3}$. Какая часть кинетической энергии налетающей шайбы перешла в теплоту?

Решение. Закон сохранения импульса в проекции на ось, по которой двигалась шайба первоначально:

$$m\upsilon_0=2m\upsilon\cos\frac{\alpha}{2}$$

$$\upsilon=\frac{\upsilon_0}{2\cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{\upsilon_0}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\upsilon_0}{\sqrt{3}}$$

Теперь составим уравнение по ЗСЭ:

$$Q=\frac{m\upsilon_0^2}{2}-\frac{2m\upsilon^2}{2}=\frac{m\upsilon_0^2}{2}-\frac{m\upsilon_0^2}{3}=\frac{m\upsilon_0^2}{6}$$

Ответ: $Q=\frac{m\upsilon_0^2}{6}$.

 

Задача 15. Шайба массой $m_1 = 0,1$ кг скользит по гладкому горизонтальному столу со скоростью $\upsilon_1 =2$ м/с. Навстречу ей движется шайба массой $m_2 = 0,2$ кг со скоростью $\upsilon_2 =1$ м/с. Центы шайб движутся по параллельным прямым. Происходит абсолютно упругий нецентральный удар. Во сколько раз изменится кинетическая энергия каждой шайбы в результате соударения? Шайбы гладкие.

К задаче 15

Решение. Шайбы столкнутся, причем при этом линия, соединяющая их центры, перпендикулярна касательной в точке столкновения. Введем систему координат, как показано на рисунке. Шайбы, столкнувшись, каждая приобретают составляющие скорости по обеим осям. Пусть первоначально шайбы имели составляющие скорости по оси $x$ $\upsilon_{1x}$ и $\upsilon_{2x}$, а после столкновения эти составляющие изменились соответственно на $\upsilon_{3x}$ и $\upsilon_{4x}$ (ну и по оси $y$ аналогично). Тогда закон сохранения импульса в проекциях на ось $x$

$$m_1\upsilon_{1x}- m_2\upsilon_{2x}= -m_1\upsilon_{3x}- m_2\upsilon_{4x}$$

Но

$$m_1\upsilon_{1x}- m_2\upsilon_{2x}=0$$

$$\upsilon_{2x}=\frac{m_1}{m_2}\upsilon_{1x}$$

Это легко посчитать. Поэтому

$$m_1\upsilon_{3x}=- m_2\upsilon_{4x}$$

$$\upsilon_{3x}=-\frac{m_2}{m_1}\upsilon_{4x}$$

Теперь по оси $y$, которая перпендикулярна оси столкновения, поэтому каждая шайба сохраняет модуль своей скорости по этой оси:

$$m_1\upsilon_{1y}= m_1\upsilon_{3y}$$

$$m_2\upsilon_{2y}= m_2\upsilon_{4y}$$

$$\upsilon_{1y}=\upsilon_{3y}$$

$$\upsilon_{2y}= \upsilon_{4y}$$

Теперь, зная кое-что про скорости, можно записать закон сохранения энергии (я его сразу на 2 умножу)

$$m_1\upsilon_1^2+ m_2\upsilon_2^2= m_1\upsilon_3^2+ m_2\upsilon_4^2$$

Перепишем в составляющих на оси:

$$m_1(\upsilon_{1x}^2+ \upsilon_{1y}^2)+m_2(\upsilon_{2x}^2+ \upsilon_{2y}^2)= m_1(\upsilon_{3x}^2+ \upsilon_{3y}^2)+ m_2(\upsilon_{4x}^2+ \upsilon_{4y}^2)$$

Сокращаем равные слагаемые в правой и левой частях:

$$m_1\upsilon_{1x}^2+ m_2\upsilon_{2x}^2= m_1\upsilon_{3x}^2+  m_2\upsilon_{4x}^2$$

Группируем:

$$m_1(\upsilon_{1x}^2- \upsilon_{3x}^2)= m_2(\upsilon_{4x}^2-  \upsilon_{2x}^2)$$

Перепишем закон сохранения импульса:

$$m_1(\upsilon_{1x}+\upsilon_{3x})= m_2(\upsilon_{2x}-\upsilon_{4x})$$

Деление ЗСЭ на ЗСИ даст

$$\upsilon_{1x}-\upsilon_{3x}=-(\upsilon_{2x}+\upsilon_{4x})$$

Подставим это:

$$\upsilon_{2x}=\frac{m_1}{m_2}\upsilon_{1x}$$

$$\upsilon_{1x}-\upsilon_{3x}=-\upsilon_{4x}-\frac{m_1}{m_2}\upsilon_{1x}$$

$$\upsilon_{1x}-\frac{m_2}{m_1}\upsilon_{4x}=-\upsilon_{4x}-\frac{m_1}{m_2}\upsilon_{1x}$$

$$\upsilon_{1x}-\frac{m_2}{m_1}\frac{m_1}{m_2}\upsilon_{3x}=-\frac{m_1}{m_2}\upsilon_{3x}-\frac{m_1}{m_2}\upsilon_{1x}$$

$$\upsilon_{1x}-\upsilon_{3x}=-\frac{m_1}{m_2}(\upsilon_{1x}-\upsilon_{3x})$$

Получается, что $\upsilon_{1x}=\upsilon_{3x}$, а раз никакие составляющие скоростей не меняются, то это значит, что кинетическая энергия шайб осталась прежней.

 

Задача 6. Вниз по шероховатой наклонной плоскости равномерно движется брусок. В тот момент, когда скорость бруска равна $\upsilon_1 =1$ м/с, на брусок падает движущийся по вертикали со скоростью $\upsilon_2 =4$ м/с пластилиновый шарик и прилипает к нему, а брусок останавливается.

  • С какой высоты $h$ упал шарик?
  • Найдите величину $a$ ускорения, с которым двигался брусок перед соударением.

Движение шарика до соударения – свободное падение с нулевой начальной скоростью. Массы бруска и шарика одинаковы. Ускорение свободного падения $g=10$ м/с$^2$. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Быстрые процессы торможения бруска и деформации пластилина заканчиваются одновременно. В этих процессах действие сил тяжести считайте пренебрежимо малым.

К задаче 16

Решение. Так как

$$\upsilon_2^2=2gh$$

$$h=\frac{\upsilon_2^2}{2g}=\frac{16}{20}=0,8$$

Шарик упал с высоты 0,8 м. А вот второй вопрос сложнее.

Введем оси координат: $x$ совпадает с наклонной плоскостью, $y$ –  перпендикулярна плоскости. По оси $y$ уравнение по второму закону Ньютона

$$N=mg\cos \alpha$$

По определению, сила трения

$$F_{tr}=\mu N=\mu mg\cos \alpha$$

По оси $x$

$$ma_x=mg\sin\alpha-F_{tr}= mg\sin\alpha-\mu mg\cos \alpha$$

$$a_x= g\sin\alpha-\mu g\cos \alpha$$

$$ a_x<0$$

$$a=-a_x=\mu g\cos \alpha- g\sin\alpha$$

Изменение импульса, деленное на время, за которое оно произошло, равна сумме внешних сил. Здесь внешними будут сила реакции опоры и сила трения – силой тяжести пренебрежем согласно условию задачи.

Изменение импульса по оси $y$

$$\Delta p_y=p_{y_k}-p_{y_0}=0-(-m\upsilon_2\cos \alpha)$$

$$\Delta p_y= m\upsilon_2\cos \alpha~~~~~~~~~~~(1)$$

Но

$$\Delta p_y=Т\Delta t$$

Изменение импульса по оси $x$

$$\Delta p_x=p_{x_k}-p_{x_0}=0-(-m\upsilon_1+m\upsilon_2\sin \alpha)$$

$$\Delta p_x= -F_{tr}\Delta t=-\mu N\Delta t$$

Получаем, подставляя (1)

$$-m(\upsilon_1+\upsilon_2\sin \alpha)=- \mu m\upsilon_2\cos \alpha$$

$$\upsilon_1+\upsilon_2\sin \alpha= \mu \upsilon_2\cos \alpha$$

Перепишем через ускорения:

$$a_1+a_2\sin \alpha= \mu a_2\cos \alpha$$

$$a_1=a_2(\mu \cos \alpha-\sin \alpha)$$

$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}=\mu \cos \alpha-\sin \alpha=\frac{a_x}{g}$$

$$a_x=g\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}=10\cdot\frac{1}{4}=2,5$$

Ответ: 2,5 м/с$^2$.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *