Закон сохранения импульса – задачи ЗФТШ. Часть 1

[latexpage]

Когда твои ученики учатся в ЗФТШ – считай, ты тоже там учишься. Что, кстати, очень полезно, ибо задачи олимпиадные, сложненькие.

Задача 1. Материальная точка массой $m=2$ кг движется в однородном силовом поле. В некоторый момент времени ее скорость $\upsilon_0=1$ м/с. В результате действия неизменной по величине и направлению силы $\vec{F}$ вектор импульса материальной точки за время $\tau=0,4$ с повернулся на угол $\alpha=\frac{\pi}{2}$ и стал равен по величине начальному. Найдите величину $F$ силы, действующей в однородном поле на материальную точку.

Решение. Так как вектор импульса повернулся на $90^{\circ}$, то изменение импульса  – вектор, равный разности конечного и начального – равен

$$\Delta p=\sqrt{2}m\upsilon=2\sqrt{2}$$

Так как импульс силы

$$F\Delta t=\Delta p$$

То

$$F=\frac{\Delta p }{\Delta t}=\frac{2\sqrt{2}}{0,4}=5\sqrt{2}$$

Ответ: $F=5\sqrt{2}$ Н.

Задача 2. Снаряд массой $m=10$ кг, выпущенный со скоростью $\upsilon=400$ м/с под углом $\alpha=30^{\circ}$ к горизонту, через $T=10$ c разрывается на осколки. Через какое время $\tau$ после разрыва снаряда суммарный импульс $\vec{P}$ осколков будет направлен горизонтально, если известно, что все осколки еще находятся в полете? Найдите модуль $\mid\vec{P}(T+\tau)\mid$ импульса в этот момент времени. Силы сопротивления воздуха, действующие на снаряд и осколки, не учитывайте.

Решение. Выясним, в какой точке траектории находился снаряд через 10 с. Его вертикальная составляющая скорости равна

$$\upsilon_{vert}=\upsilon \sin\alpha=400\cdot \frac{1}{2}=200$$

Она станет равной нулю в наивысшей точке подьема:

$$ \upsilon(t)= \upsilon \sin\alpha-gt$$

$$0=200-10t$$

$$t=20$$

Итак, снаряд к наивысшей точке должен был лететь 20 с. И там, в этой точке, вектор его импульса стал бы горизонтальным – потому что у снаряда осталась бы только горизонтальная составляющая скорости. Таким образом, даже несмотря на то, что снаряд разорвался, суммарный импульс его осколков станет горизонтальным через 20 с после выстрела, или через 10 с после разрыва. В этот момент времени скорость снаряда была бы равна $\upsilon_{gor}=\upsilon \cos\alpha=400\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=200\sqrt{3}$. А импульс был бы равен $2000\sqrt{3}$ – таким и будет суммарный импульс всех его осколков.

Ответ: 10 с, $2000\sqrt{3}$ кг$\cdot$ м/с.

Задача 3. Два свинцовых шарика одинаковой массы, летящие со скоростями $\upsilon_1=60$ м/с и $\upsilon_2=80$ м/с, слипаются в результате абсолютно неупругого удара. Скорости шариков перед слипанием взаимно перпендикулярны.

• С какой по величине скоростью $\upsilon_3$ движутся слипшиеся шарики?
• На сколько $\Delta t^{\circ}$ C повысится температура шариков? Удельная теплоемкость свинца $c=130$ Дж/(кг*град С). Температуры шариков перед слипанием одинаковы.

Решение. Суммарный импульс шариков равен

$$p=\sqrt{(m\upsilon_1)^2+(m\upsilon_2)^2}=m\sqrt{\upsilon_1^2+\upsilon_2^2}=m\sqrt{60^2+80^2}=100m$$

Так как шарики слиплись, их общая масса $2m$, а значит, скорость равна 50 м/c.

Теперь выясним вопрос с температурой. Запишем закон сохранения энергии

$$\frac{m\upsilon_1^2}{2}+\frac{m\upsilon_2^2}{2}=\frac{2m\upsilon_3^2}{2}+Q$$

$$Q=\frac{m}{2}\left(\upsilon_1^2+\upsilon_2^2-2\upsilon_3^2\right)=\frac{m}{2}\left(60^2+80^2-2\cdot 50^2\right)=2500m$$

С другой стороны,

$$Q=2cm\Delta t$$

$$\Delta t=\frac{Q}{2cm}=\frac{2500m}{2m\cdot 130}=9,61^{\circ}$$

Здесь 130 Дж/кг$\cdot$ град – теплоемкость свинца.

Ответ: $\upsilon_3=50$ м/с, $\Delta t=9,6^{\circ}$.

Задача 4. Движущаяся по гладкой горизонтальной поверхности шайба налетает на покоящуюся шайбу. После абсолютно упругого центрального удара шайбы движутся со скоростями, отличающимися по абсолютной величине в $n=3$ раза. Найдите отношение $k=\frac{M}{m}$ масс покоившейся и налетевшей шайб.

Решение. Записываем закон сохранения импульса:

$$\upsilon m=um+3uM$$

$$u=\frac{\upsilon m }{m+3M}$$

И закон сохранения энергии (удар – упругий):

$$\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{mu^2}{2}+\frac{M\cdot 9u^2}{2}$$

Из закона сохранения импульса имеем:

$$m(\upsilon-u)=3uM$$

А из ЗСЭ получаем

$$\upsilon^2-u^2=\frac{M}{m}\cdot 9u^2$$

Разделим теперь второе на первое:

$$\frac{\upsilon+u}{m}=\frac{M}{m}\cdot\frac{9u^2}{3uM }$$

$$\upsilon+u=3u$$

$$\upsilon=2u$$

$$u=\frac{2u m }{m+3M}$$

Откуда

$$2m=m+3M$$

$$m=3M$$

Ответ: $\frac{M}{m}=3$.

Задача 5. Шайба, скользящая по гладкой горизонтальной поверхности, сталкивается с такой же по массе покоящейся шайбой. В результате абсолютно упругого соударения вектор скорости налетающей шайбы повернулся на угол $\alpha_1=\frac{\pi}{3}$. Под каким углом  $\alpha_2$ к направлению движения налетающей шайбы будет двигаться вторая шайба?

Решение. Так как в сумме два вектора обеих шайб после удара должны давать первоначальный импульс налетающей шайбы, то можно сделать вывод, что импульс второй шайбы будет направлен под углом $30^{\circ}$ к направлению движения налетающей шайбы – так, чтобы три вектора  образовали прямоугольный треугольник.

К задаче 5

Ответ: $30^{\circ}$.