Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Закон сохранения импульса, Олимпиадная физика

Закон сохранения импульса – задачи ЗФТШ. Часть 1

Когда твои ученики учатся в ЗФТШ – считай, ты тоже там учишься. Что, кстати, очень полезно, ибо задачи олимпиадные, сложненькие.

Задача 1. Материальная точка массой m=2 кг движется в однородном силовом поле. В некоторый момент времени ее скорость \upsilon_0=1 м/с. В результате действия неизменной по величине и направлению силы \vec{F} вектор импульса материальной точки за время \tau=0,4 с повернулся на угол \alpha=\frac{\pi}{2} и стал равен по величине начальному. Найдите величину F силы, действующей в однородном поле на материальную точку.

Решение. Так как вектор импульса повернулся на 90^{\circ}, то изменение импульса  – вектор, равный разности конечного и начального – равен

    \[\Delta p=\sqrt{2}m\upsilon=2\sqrt{2}\]

Так как импульс силы

    \[F\Delta t=\Delta p\]

То

    \[F=\frac{\Delta p }{\Delta t}=\frac{2\sqrt{2}}{0,4}=5\sqrt{2}\]

Ответ: F=5\sqrt{2} Н.

 

Задача 2. Снаряд массой m=10 кг, выпущенный со скоростью \upsilon=400 м/с под углом \alpha=30^{\circ} к горизонту, через T=10 c разрывается на осколки. Через какое время \tau после разрыва снаряда суммарный импульс \vec{P} осколков будет направлен горизонтально, если известно, что все осколки еще находятся в полете? Найдите модуль \mid\vec{P}(T+\tau)\mid импульса в этот момент времени. Силы сопротивления воздуха, действующие на снаряд и осколки, не учитывайте.

Решение. Выясним, в какой точке траектории находился снаряд через 10 с. Его вертикальная составляющая скорости равна

    \[\upsilon_{vert}=\upsilon \sin\alpha=400\cdot \frac{1}{2}=200\]

Она станет равной нулю в наивысшей точке подьема:

    \[\upsilon(t)= \upsilon \sin\alpha-gt\]

    \[0=200-10t\]

    \[t=20\]

Итак, снаряд к наивысшей точке должен был лететь 20 с. И там, в этой точке, вектор его импульса стал бы горизонтальным – потому что у снаряда осталась бы только горизонтальная составляющая скорости. Таким образом, даже несмотря на то, что снаряд разорвался, суммарный импульс его осколков станет горизонтальным через 20 с после выстрела, или через 10 с после разрыва. В этот момент времени скорость снаряда была бы равна \upsilon_{gor}=\upsilon \cos\alpha=400\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=200\sqrt{3}. А импульс был бы равен 2000\sqrt{3} – таким и будет суммарный импульс всех его осколков.

Ответ: 10 с, 2000\sqrt{3} кг\cdot м/с.

Задача 3. Два свинцовых шарика одинаковой массы, летящие со скоростями \upsilon_1=60 м/с и \upsilon_2=80 м/с, слипаются в результате абсолютно неупругого удара. Скорости шариков перед слипанием взаимно перпендикулярны.

  • С какой по величине скоростью \upsilon_3 движутся слипшиеся шарики?
  • На сколько \Delta t^{\circ} C повысится температура шариков? Удельная теплоемкость свинца c=130 Дж/(кг*град С). Температуры шариков перед слипанием одинаковы.

Решение. Суммарный импульс шариков равен

    \[p=\sqrt{(m\upsilon_1)^2+(m\upsilon_2)^2}=m\sqrt{\upsilon_1^2+\upsilon_2^2}=m\sqrt{60^2+80^2}=100m\]

Так как шарики слиплись, их общая масса 2m, а значит, скорость равна 50 м/c.

Теперь выясним вопрос с температурой. Запишем закон сохранения энергии

    \[\frac{m\upsilon_1^2}{2}+\frac{m\upsilon_2^2}{2}=\frac{2m\upsilon_3^2}{2}+Q\]

    \[Q=\frac{m}{2}\left(\upsilon_1^2+\upsilon_2^2-2\upsilon_3^2\right)=\frac{m}{2}\left(60^2+80^2-2\cdot 50^2\right)=2500m\]

С другой стороны,

    \[Q=2cm\Delta t\]

    \[\Delta t=\frac{Q}{2cm}=\frac{2500m}{2m\cdot 130}=9,61^{\circ}\]

Здесь 130 Дж/кг\cdot град – теплоемкость свинца.

Ответ: \upsilon_3=50 м/с, \Delta t=9,6^{\circ}.

 

Задача 4. Движущаяся по гладкой горизонтальной поверхности шайба налетает на покоящуюся шайбу. После абсолютно упругого центрального удара шайбы движутся со скоростями, отличающимися по абсолютной величине в n=3 раза. Найдите отношение k=\frac{M}{m} масс покоившейся и налетевшей шайб.

Решение. Записываем закон сохранения импульса:

    \[\upsilon m=um+3uM\]

    \[u=\frac{\upsilon m }{m+3M}\]

И закон сохранения энергии (удар – упругий):

    \[\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{mu^2}{2}+\frac{M\cdot 9u^2}{2}\]

Из закона сохранения импульса имеем:

    \[m(\upsilon-u)=3uM\]

А из ЗСЭ получаем

    \[\upsilon^2-u^2=\frac{M}{m}\cdot 9u^2\]

Разделим теперь второе на первое:

    \[\frac{\upsilon+u}{m}=\frac{M}{m}\cdot\frac{9u^2}{3uM }\]

    \[\upsilon+u=3u\]

    \[\upsilon=2u\]

    \[u=\frac{2u m }{m+3M}\]

Откуда

    \[2m=m+3M\]

    \[m=3M\]

Ответ: \frac{M}{m}=3.

Задача 5. Шайба, скользящая по гладкой горизонтальной поверхности, сталкивается с такой же по массе покоящейся шайбой. В результате абсолютно упругого соударения вектор скорости налетающей шайбы повернулся на угол \alpha_1=\frac{\pi}{3}. Под каким углом  \alpha_2 к направлению движения налетающей шайбы будет двигаться вторая шайба?

Решение. Так как в сумме два вектора обеих шайб после удара должны давать первоначальный импульс налетающей шайбы, то можно сделать вывод, что импульс второй шайбы будет направлен под углом 30^{\circ} к направлению движения налетающей шайбы – так, чтобы три вектора  образовали прямоугольный треугольник.

К задаче 5

Ответ: 30^{\circ}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *