Закон сохранения импульса: снаряды, частицы, космонавты…

Задачи “пришли” с ученицей. Задачи как из задачника Савченко, так и подборок МГТУ. Сильные, интересные задачи, рекомендую.

Задача 1. Протон с начальной скоростью летит прямо на первоначально покоящееся ядро гелия. Какова скорость частиц при наибольшем их сближении? Масса ядра гелия равна учетверенной массе протона.

Протон заряжен положительно, ядро гелия – тоже. Они начнут взаимно отталкиваться и первоначально неподвижное ядро гелия станет набирать скорость, удаляясь от протона. Когда их скорости сравняются, они станут взаимно неподвижны и именно в этот момент расстояние между ними станет минимальным. Тогда

Откуда

Ответ: .

Задача 2. Снаряд разрывается в наивысшей точке траектории на расстоянии по горизонтали от пушки на два одинаковых осколка. Один из них вернулся по той же траектории назад к орудию. Где упал второй осколок?

Записываем закон сохранения импульса:

Так как первый осколок вернулся в точку старта, то его скорость равна скорости снаряда в момент разрыва по модулю.

С утроенной скоростью осколок улетит втрое дальше – на от места разрыва, а от места выстрела – на .

Ответ: .

Задача 3. При -распаде первоначально покоящегося нейтрона образуются протон, электрон и нейтрино. Импульсы протона и электрона и , угол между ними . Определите импульс нейтрино.

Векторная сумма импульсов образовавшихся частиц равна импульсу нейтрона, то есть нулю:

Поэтому импульс нейтрино можно найти по теореме косинусов:

Задача 4. Радиоактивное ядро распалось на три осколка , и , имеющих скорость , и соответственно. Какова была скорость ядра до распада?

Импульс ядра можно найти по теореме Пифагора:

Задача 5. Космонавт массы приближается к космическому кораблю массы с помощью легкого троса. Первоначально космонавт и корабль неподвижны, а расстояние между ними . Какие расстояния пройдут корабль и космонавт до встречи?

По закону сохранения импульса

Вместе корабль и космонавт покрыли расстояние :

Тогда

Следовательно,

Ответ: корабль преодолеет расстояние , космонавт .

Задача 6. На гладкой горизонтальной плоскости стоит брусок массой . К бруску привязана нить длиной , на конце которой закреплен шарик массой . В начальный момент нить была отклонена на некоторый угол и отпущена без начальной скорости. Найдите скорость бруска в момент, когда нить проходит через вертикальное положение, зная, что ее угловая скорость в этот момент равна .

Определим координату центра тяжести системы:

Вокруг центра тяжести в момент вертикального положения нити брусок и шарик двигаются по радиусам: шарик – , брусок –

Таким образом, скорость бруска в этот момент равна

Ответ: .

Задача 7. Снаряд, который летел в горизонтальном направлении со скоростью , разорвался на два осколка массами и . Скорость осколка равна и направлена вертикально вверх. Определить модуль и направление скорости второго осколка массой .

Сумма импульсов кусков равна импульсу снаряда до разрыва. Тогда можно применить теорему Пифагора:

Откуда

Направление проще всего вычислить через тангенс: