Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Закон сохранения импульса

Закон сохранения импульса: снаряды, частицы, космонавты…

Задачи “пришли” с ученицей. Задачи как из задачника Савченко, так и подборок МГТУ. Сильные, интересные задачи, рекомендую.

Задача 1. Протон с начальной скоростью \upsilon летит прямо на первоначально покоящееся ядро гелия. Какова скорость частиц при наибольшем их сближении? Масса ядра гелия равна учетверенной массе протона.

Протон заряжен положительно, ядро гелия – тоже. Они начнут взаимно отталкиваться и первоначально неподвижное ядро гелия станет набирать скорость, удаляясь от протона. Когда их скорости сравняются, они станут взаимно неподвижны и именно в этот момент расстояние между ними станет минимальным. Тогда

    \[m_p\upsilon=m_p\upsilon_1+m\upsilon_2\]

    \[\upsilon_1=\upsilon_2\]

    \[m_p\upsilon=m_p\upsilon_1+4m_p\upsilon_1\]

Откуда

    \[\upsilon=5\upsilon_1\]

    \[\upsilon_1=\frac{\upsilon }{5}\]

Ответ: 0,2\upsilon.

Задача 2. Снаряд разрывается в наивысшей точке траектории на расстоянии L по горизонтали от пушки на два одинаковых осколка. Один из них вернулся по той же траектории назад к орудию. Где упал второй осколок?

Записываем закон сохранения импульса:

    \[(m_1+m_2)\upsilon=-m_1\upsilon_1+m_2\upsilon_2\]

Так как первый осколок вернулся в точку старта, то его скорость равна скорости снаряда в момент разрыва по модулю.

    \[(m_1+m_2)\upsilon=-m_1\upsilon+m_2\upsilon_2\]

    \[m_2\upsilon_2=(2m_1+m_2)\upsilon\]

    \[\upsilon_2=3\upsilon\]

С утроенной скоростью осколок улетит втрое дальше – на 3L от места разрыва, а от места выстрела – на 4L.

Ответ: 4L.

Задача 3. При \beta-распаде первоначально покоящегося нейтрона образуются протон, электрон и нейтрино. Импульсы протона и электрона p_1 и p_2, угол между ними \alpha. Определите импульс нейтрино.

Векторная сумма импульсов образовавшихся частиц равна импульсу нейтрона, то есть нулю:

    \[\vec{p_1}+\vec{p_2}+\vec{p_{\nu}}=0\]

Поэтому импульс нейтрино можно найти по теореме косинусов:

    \[p_{\nu}=\sqrt{p_1^2+p_2^2-2p_1p_2\cos(180-\alpha)}\]

Задача 4. Радиоактивное ядро распалось на три осколка m_1, m_2 и m_3, имеющих скорость \upsilon_1, \upsilon_2 и \upsilon_3 соответственно. Какова была скорость ядра до распада?

Импульс ядра можно найти по теореме Пифагора:

    \[p_1^2+p_2^2+p_3^2=p_0^2\]

    \[p_0=\sqrt{ p_1^2+p_2^2+p_3^2}\]

    \[(m_1+m_2+m_3)\upsilon_0=\sqrt{ m_1^2 \upsilon_1^2+m_2^2\upsilon_2^2+m_3^2\upsilon_3^2}\]

    \[\upsilon_0=\frac{\sqrt{ m_1^2 \upsilon_1^2+m_2^2\upsilon_2^2+m_3^2\upsilon_3^2}}{ m_1+m_2+m_3}\]

Задача 5. Космонавт массы m_1 приближается к космическому кораблю массы m_2 с помощью легкого троса. Первоначально космонавт и корабль неподвижны, а расстояние между ними l. Какие расстояния пройдут корабль и космонавт до встречи?

По закону сохранения импульса

    \[M\upsilon_k=m\upsilon\]

    \[\frac{\upsilon_k }{\upsilon}=\frac{m}{M}\]

Вместе корабль и космонавт покрыли расстояние l:

    \[l=(\upsilon_k+\upsilon)t\]

    \[l=(\frac{m}{M}\upsilon+\upsilon)t\]

Тогда

    \[\upsilon t =\frac{Ml}{M+m}\]

Следовательно,

    \[\upsilon_k t =\frac{ml}{M+m}\]

Ответ: корабль преодолеет расстояние \frac{ml}{M+m}, космонавт \frac{Ml}{M+m}.

Задача 6. На гладкой горизонтальной плоскости стоит брусок массой M. К бруску привязана нить длиной L, на конце которой закреплен шарик массой m. В начальный момент нить была отклонена на некоторый угол и отпущена без начальной скорости. Найдите скорость бруска в момент, когда нить проходит через вертикальное положение, зная, что ее угловая скорость в этот момент равна \omega.

Определим координату центра тяжести системы:

    \[x=\frac{1}{M}\sum m_kx_k\]

    \[x=\frac{1}{M}(m\cdot 0+ML)=\frac{ML}{m+M}\]

Вокруг центра тяжести в момент вертикального положения нити брусок и шарик двигаются по радиусам: шарик – r=\frac{ML}{m+M}, брусок –

    \[R=L-r=L-\frac{ML}{m+M}=\frac{mL}{m+M}\]

Таким образом, скорость бруска в этот момент равна

    \[\upsilon=R\omega=\frac{mL\omega}{m+M}\]

Ответ: \upsilon=\frac{mL\omega}{m+M}.

Задача 7. Снаряд, который летел в горизонтальном направлении со скоростью \upsilon, разорвался на два осколка массами m_1 и m_2. Скорость осколка m_1 равна \upsilon_1 и направлена вертикально вверх. Определить модуль и направление скорости второго осколка массой m_2.

Сумма импульсов кусков равна импульсу снаряда до разрыва. Тогда можно применить теорему Пифагора:

    \[(m_1+m_2)^2\upsilon^2+m_1^2\upsilon_1^2=m_2^2\upsilon_2^2\]

Откуда

    \[\upsilon_2=\frac{\sqrt{(m_1+m_2)^2\upsilon^2+m_1^2\upsilon_1^2}}{m_2}\]

Направление проще всего вычислить через тангенс:

    \[\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{ m_1\upsilon_1}{(m_1+m_2)\upsilon}\]

Комментариев - 4

  • Адам
    |

    По-моему в первой задаче не прописаны все буквы v

    Ответить
  • Анна
    |

    Очепятка, спасибо, исправила.

    Ответить
  • Адам
    |

    Задача №2:
    Так как первый осколок вернулся в точку старта, то его скорость равна скорости снаряда в момент разрыва по модулю, но первый осколок имеет массу равную 0.5 от массы снаряда=> скорость первого осколка равна 0.5 от скорости снаряда. Тогда получатся другие значения. Верно?

    Ответить
    • Анна
      |

      Нет, неправильно. Рассуждения по поводу скорости осколка не связаны в данном случае с его массой. Импульс – да, будет меньше вдвое. Но по поводу скорости я думала со стороны кинематики – раз долетел туда же, значит, горизонтальная составляющая такая же.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *