Закон сохранения импульса: снаряды, частицы, космонавты...

Закон сохранения импульса: снаряды, частицы, космонавты…

Задачи “пришли” с ученицей. Задачи как из задачника Савченко, так и подборок МГТУ. Сильные, интересные задачи, рекомендую.

Задача 1. Протон с начальной скоростью $\upsilon$ летит прямо на первоначально покоящееся ядро гелия. Какова скорость частиц при наибольшем их сближении? Масса ядра гелия равна учетверенной массе протона.

Протон заряжен положительно, ядро гелия – тоже. Они начнут взаимно отталкиваться и первоначально неподвижное ядро гелия станет набирать скорость, удаляясь от протона. Когда их скорости сравняются, они станут взаимно неподвижны и именно в этот момент расстояние между ними станет минимальным. Тогда

$m_p\upsilon=m_p\upsilon_1+m\upsilon_2$

$\upsilon_1=\upsilon_2$

$m_p\upsilon=m_p\upsilon_1+4m_p\upsilon_1$

Откуда

$\upsilon=5\upsilon_1$

$\upsilon_1=\frac{\upsilon }{5}$

Ответ: $0,2\upsilon$ .

Задача 2. Снаряд разрывается в наивысшей точке траектории на расстоянии $L$ по горизонтали от пушки на два одинаковых осколка. Один из них вернулся по той же траектории назад к орудию. Где упал второй осколок?

Записываем закон сохранения импульса:

$(m_1+m_2)\upsilon=-m_1\upsilon_1+m_2\upsilon_2$

Так как первый осколок вернулся в точку старта, то его скорость равна скорости снаряда в момент разрыва по модулю.

$(m_1+m_2)\upsilon=-m_1\upsilon+m_2\upsilon_2$

$m_2\upsilon_2=(2m_1+m_2)\upsilon$

$\upsilon_2=3\upsilon$

С утроенной скоростью осколок улетит втрое дальше – на $3L$ от места разрыва, а от места выстрела – на $4L$ .

Ответ: $4L$ .

Задача 3. При $\beta$ -распаде первоначально покоящегося нейтрона образуются протон, электрон и нейтрино. Импульсы протона и электрона $p_1$ и $p_2$ , угол между ними $\alpha$ . Определите импульс нейтрино.

Векторная сумма импульсов образовавшихся частиц равна импульсу нейтрона, то есть нулю:

$\vec{p_1}+\vec{p_2}+\vec{p_{\nu}}=0$

Поэтому импульс нейтрино можно найти по теореме косинусов:

$p_{\nu}=\sqrt{p_1^2+p_2^2-2p_1p_2\cos(180-\alpha)}$

Задача 4. Радиоактивное ядро распалось на три осколка $m_1$ , $m_2$ и $m_3$ , имеющих скорость $\upsilon_1$ , $\upsilon_2$ и $\upsilon_3$ соответственно. Какова была скорость ядра до распада?

Импульс ядра можно найти по теореме Пифагора:

$p_1^2+p_2^2+p_3^2=p_0^2$

$p_0=\sqrt{ p_1^2+p_2^2+p_3^2}$

$(m_1+m_2+m_3)\upsilon_0=\sqrt{ m_1^2 \upsilon_1^2+m_2^2\upsilon_2^2+m_3^2\upsilon_3^2}$

$\upsilon_0=\frac{\sqrt{ m_1^2 \upsilon_1^2+m_2^2\upsilon_2^2+m_3^2\upsilon_3^2}}{ m_1+m_2+m_3}$

Задача 5. Космонавт массы $m_1$ приближается к космическому кораблю массы $m_2$ с помощью легкого троса. Первоначально космонавт и корабль неподвижны, а расстояние между ними $l$ . Какие расстояния пройдут корабль и космонавт до встречи?

По закону сохранения импульса

$M\upsilon_k=m\upsilon$

$\frac{\upsilon_k }{\upsilon}=\frac{m}{M}$

Вместе корабль и космонавт покрыли расстояние $l$ :

$l=(\upsilon_k+\upsilon)t$

$l=(\frac{m}{M}\upsilon+\upsilon)t$

Тогда

$\upsilon t =\frac{Ml}{M+m}$

Следовательно,

$\upsilon_k t =\frac{ml}{M+m}$

Ответ: корабль преодолеет расстояние $\frac{ml}{M+m}$ , космонавт $\frac{Ml}{M+m}$ .

Задача 6. На гладкой горизонтальной плоскости стоит брусок массой $M$ . К бруску привязана нить длиной $L$ , на конце которой закреплен шарик массой $m$ . В начальный момент нить была отклонена на некоторый угол и отпущена без начальной скорости. Найдите скорость бруска в момент, когда нить проходит через вертикальное положение, зная, что ее угловая скорость в этот момент равна $\omega$ .

импульс_Вероники1

Определим координату центра тяжести системы:

$x=\frac{1}{M}\sum m_kx_k$

$x=\frac{1}{M}(m\cdot 0+ML)=\frac{ML}{m+M}$

Вокруг центра тяжести в момент вертикального положения нити брусок и шарик двигаются по радиусам: шарик – $r=\frac{ML}{m+M}$ , брусок –

$R=L-r=L-\frac{ML}{m+M}=\frac{mL}{m+M}$

Таким образом, скорость бруска в этот момент равна

$\upsilon=R\omega=\frac{mL\omega}{m+M}$

Ответ: $\upsilon=\frac{mL\omega}{m+M}$ .

Задача 7. Снаряд, который летел в горизонтальном направлении со скоростью $\upsilon$ , разорвался на два осколка массами $m_1$ и $m_2$ . Скорость осколка $m_1$ равна $\upsilon_1$ и направлена вертикально вверх. Определить модуль и направление скорости второго осколка массой $m_2$ .

Сумма импульсов кусков равна импульсу снаряда до разрыва. Тогда можно применить теорему Пифагора:

$(m_1+m_2)^2\upsilon^2+m_1^2\upsilon_1^2=m_2^2\upsilon_2^2$

Откуда

$\upsilon_2=\frac{\sqrt{(m_1+m_2)^2\upsilon^2+m_1^2\upsilon_1^2}}{m_2}$

Направление проще всего вычислить через тангенс:

$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{ m_1\upsilon_1}{(m_1+m_2)\upsilon}$

Комментариев - 4

Адам

2018-12-15

По-моему в первой задаче не прописаны все буквы v

Ответить

Анна

Очепятка, спасибо, исправила.

Задача №2:
Так как первый осколок вернулся в точку старта, то его скорость равна скорости снаряда в момент разрыва по модулю, но первый осколок имеет массу равную 0.5 от массы снаряда=> скорость первого осколка равна 0.5 от скорости снаряда. Тогда получатся другие значения. Верно?

Анна
|

2018-12-17

Нет, неправильно. Рассуждения по поводу скорости осколка не связаны в данном случае с его массой. Импульс – да, будет меньше вдвое. Но по поводу скорости я думала со стороны кинематики – раз долетел туда же, значит, горизонтальная составляющая такая же.

Ответить

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Апр
				1	2	3
4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17
18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30	31

Закон сохранения импульса: снаряды, частицы, космонавты…

Для вас другие записи этой рубрики:

Комментариев - 4

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Профи.ру

Лучший хостинг в мире!

Последние записи

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Архивы