Закон сохранения импульса: продолжаем готовиться к олимпиадам. 9 класс.

[latexpage]

Здесь я собрала еще несколько задач на закон сохранения импульса.

Задача 1. С высоты $h=300$ см на горизонтальную поверхность сыпется песок. Массовый расход песка равен $\mu=100$ г/с. Найти силу давления песка на поверхность через $t=3$ с после касания поверхности первыми песчинками. Ответ выразить в Н, округлив до десятых. Ускорение свободного падения принять равным $g=10$ м/c$^{2}$.

Решение.

Сила, с которой песок действует на поверхность, складывается из двух составляющих – во-первых, давит неподвижно лежащий песок, который упал раньше, во-вторых, давит песок, который, падая, тормозит о данную поверхность. Первая равна по модулю силе тяжести выпавшего песка

$$F_{st}=\mu\cdot g\cdot t$$

Вторая определяется скоростью $\upsilon=\sqrt{2gh}$ подлетающих песчинок и массовым расходом $\mu$. По второму закону Ньютона

$$F_{din}=\frac{\Delta p}{\Delta t}=\mu \cdot \upsilon=\mu \sqrt{2gh}$$

Таким образом,  сила давления песка на поверхность в  момент $t=3$ равна

$$F=\mu\cdot (gt+\sqrt{gh})=3,8.$$

Ответ: 3,8 Н.

Задача 2. По длинному склону, образующему угол $\alpha=10^\circ$ с горизонтом, съезжают сани, на которых установлен бак с водой. Через отверстие площадью $S=0,001$ м$^2$ в задней стенке бака вытекает струя воды со скоростью $\upsilon=10$ м/с относительно бака. Поверхность воды в баке установилась параллельно склону. Найти коэффициент трения $\mu$. Ответ округлить до десятых. Масса саней с баком равна $m=100$ кг. За время спуска вытекает лишь небольшая часть воды. Ускорение свободного падения принять равным $g=10$ м/c$^{2}$. Плотность воды $\rho=1000$ кг/м$^3$.

К задаче 2

Решение.

Поверхность жидкости устанавливается перпендикулярно вектору эффективного ускорения свободного падения. Этот вектор – результат сложения ускорения свободного падения с ускорением, с которым бак съезжает с горы. Так как по условию поверхность жидкости имеет постоянный угол наклона к горизонту, сани движутся с постоянным ускорением, равным $g\cdot\sin\alpha.$

Запишем второй закон Ньютона для саней в проекции на поверхность склона.

$$m\cdot a=m\cdot g\cdot\sin\alpha+\mu\cdot m\cdot g\cdot\cos\alpha+F,$$

здесь $F$ — реактивная сила со стороны вытекающей воды. Для некоторой малой массы вытекшей воды можно записать

$$m’=\rho V=\rho S l$$

$S$ – площадь отверстия, $l$ – длина столбика этой элементарной массы.

Относительно бака импульс этой массы воды меняется, отсюда можно найти реактивную силу:

$$F\Delta t=m’\upsilon$$

$$F=\frac{m’\upsilon}{\Delta t}=\frac{\rho S l\upsilon}{\Delta t}=\rho S \upsilon^2$$

Теперь можно найти коэффициент трения

$$\mu=\frac{\rho\cdot S\cdot\upsilon^2}{m\cdot g\cdot\cos\alpha}\approx 0,1.$$

Ответ: 0,1.

Задача 3. Под каким углом к горизонту необходимо бросить камень, чтобы модуль изменения импульса за всё время полёта был равен модулю начального импульса? Ответ выразить в градусах, округлив до целых. Считать, что начальная и конечная точка находятся на одной высоте. Сопротивлением воздуха пренебречь.

К задаче 3

Решение.

За время полёта тела, брошенного под углом к горизонту, его горизонтальная проекция скорости остается постоянной, а значит, горизонтальная проекция импульса сохраняется, а вертикальная $m\upsilon_0\sin\alpha$  – изменяется на противоположную. Таким образом, модуль изменения импульса за всё время полёта $2m\upsilon_0\sin\alpha$. По условию, модуль изменения импульса за всё время полёта равен модулю начального импульса $m\upsilon_0$, следовательно, $\sin\alpha=0,5$, откуда получаем, что искомый угол равен $\alpha=30^{\circ}.$

Ответ: 30$^{\circ}.$

Задача 4. Катер с водомётным двигателем движется с постоянной скоростью, забирая забортную воду и выбрасывая назад струю со скоростью $u=20$ м/с относительно катера. Площадь поперечного сечения струи $S=0,01$м$^2$. Найти скорость катера $\upsilon$, если действующая на него сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости по формуле $F=k \upsilon^2$, причём $k=7,5$ Н$\cdot$c$^2$/м$^2$. Ответ выразить в м/с, округлив до десятых. Плотность воды $\rho=1000$ кг/м$^3.$

Решение.

В  системе отсчёта, связанной с катером, набегающая на катер вода изменяет свою скорость от $\upsilon$ до $u$. За интервал времени $\Delta t$ изменение импульса воды равно импульсу силы, действующей на неё со стороны катера. Таким образом, можно записать

$$\Delta m\cdot(u-\upsilon)=F\cdot\Delta t= k \upsilon^2\Delta t,$$

где $\Delta m$ — масса изменившей скорость воды, равная $\Delta m=S \rho u\Delta t$.

$$S \rho u\Delta t\cdot(u-\upsilon)= k \upsilon^2\Delta t$$

$$S \rho u\cdot u-S \rho u \upsilon= k \upsilon^2$$

Решая квадратное уравнение

$$k \upsilon^2+S \rho u\upsilon-S \rho u^2=0,$$

получаем, что скорость катера равна

$$\upsilon=\frac{\rho S u}{2k}\left(\sqrt{1+\frac{4k}{S\rho}}-1\right)=13,3.$$

Ответ: 13,3 м/с.

Задача 5. На гладком льду лежит цилиндрическое однородное бревно длиной $L=1$ м. Один из его концов стали медленно поднимать с помощью верёвки. Когда угол между бревном и поверхностью льда стал равным $\alpha=60^{\circ}$, вертикально натянутая верёвка оборвалась. На какое расстояние сместится при падении бревна его нижний конец? Ответ выразить в см, округлив до целых.

Решение.

Центр масс бревна при подъеме перемещался по дуге окружности, поэтому в момент обрыва веревки он сместился по горизонтали на расстояние

$$\Delta L=\frac{L}{2}-\frac{L}{2}\cos\alpha=25$$

После обрыва веревки центр масс просто “падает” – движется по вертикали. Поэтому на такое же расстояние $\Delta L$, на какое переместился центр масс,  должен переместиться и конец бревна – ведь мы считаем его жестким.

Ответ: 25 см.