Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Закон сохранения импульса, Олимпиадная физика

Закон сохранения импульса: продолжаем готовиться к олимпиадам. 9 класс.

Здесь я собрала еще несколько задач на закон сохранения импульса.

Задача 1. С высоты h=300 см на горизонтальную поверхность сыпется песок. Массовый расход песка равен \mu=100 г/с. Найти силу давления песка на поверхность через t=3 с после касания поверхности первыми песчинками. Ответ выразить в Н, округлив до десятых. Ускорение свободного падения принять равным g=10 м/c^{2}.

Решение.

Сила, с которой песок действует на поверхность, складывается из двух составляющих – во-первых, давит неподвижно лежащий песок, который упал раньше, во-вторых, давит песок, который, падая, тормозит о данную поверхность. Первая равна по модулю силе тяжести выпавшего песка

    \[F_{st}=\mu\cdot g\cdot t\]

Вторая определяется скоростью \upsilon=\sqrt{2gh} подлетающих песчинок и массовым расходом \mu. По второму закону Ньютона

    \[F_{din}=\frac{\Delta p}{\Delta t}=\mu \cdot \upsilon=\mu \sqrt{2gh}\]

Таким образом,  сила давления песка на поверхность в  момент t=3 равна

    \[F=\mu\cdot (gt+\sqrt{gh})=3,8.\]

Ответ: 3,8 Н.

 

Задача 2. По длинному склону, образующему угол \alpha=10^\circ с горизонтом, съезжают сани, на которых установлен бак с водой. Через отверстие площадью S=0,001 м^2 в задней стенке бака вытекает струя воды со скоростью \upsilon=10 м/с относительно бака. Поверхность воды в баке установилась параллельно склону. Найти коэффициент трения \mu. Ответ округлить до десятых. Масса саней с баком равна m=100 кг. За время спуска вытекает лишь небольшая часть воды. Ускорение свободного падения принять равным g=10 м/c^{2}. Плотность воды \rho=1000 кг/м^3.

К задаче 2

Решение.

Поверхность жидкости устанавливается перпендикулярно вектору эффективного ускорения свободного падения. Этот вектор – результат сложения ускорения свободного падения с ускорением, с которым бак съезжает с горы. Так как по условию поверхность жидкости имеет постоянный угол наклона к горизонту, сани движутся с постоянным ускорением, равным g\cdot\sin\alpha.

Запишем второй закон Ньютона для саней в проекции на поверхность склона.

    \[m\cdot a=m\cdot g\cdot\sin\alpha+\mu\cdot m\cdot g\cdot\cos\alpha+F,\]

здесь F — реактивная сила со стороны вытекающей воды. Для некоторой малой массы вытекшей воды можно записать

    \[m'=\rho V=\rho S l\]

S – площадь отверстия, l – длина столбика этой элементарной массы.

Относительно бака импульс этой массы воды меняется, отсюда можно найти реактивную силу:

    \[F\Delta t=m'\upsilon\]

    \[F=\frac{m'\upsilon}{\Delta t}=\frac{\rho S l\upsilon}{\Delta t}=\rho S \upsilon^2\]

Теперь можно найти коэффициент трения

    \[\mu=\frac{\rho\cdot S\cdot\upsilon^2}{m\cdot g\cdot\cos\alpha}\approx 0,1.\]

Ответ: 0,1.

Задача 3. Под каким углом к горизонту необходимо бросить камень, чтобы модуль изменения импульса за всё время полёта был равен модулю начального импульса? Ответ выразить в градусах, округлив до целых. Считать, что начальная и конечная точка находятся на одной высоте. Сопротивлением воздуха пренебречь.

К задаче 3

Решение.

За время полёта тела, брошенного под углом к горизонту, его горизонтальная проекция скорости остается постоянной, а значит, горизонтальная проекция импульса сохраняется, а вертикальная m\upsilon_0\sin\alpha  – изменяется на противоположную. Таким образом, модуль изменения импульса за всё время полёта 2m\upsilon_0\sin\alpha. По условию, модуль изменения импульса за всё время полёта равен модулю начального импульса m\upsilon_0, следовательно, \sin\alpha=0,5, откуда получаем, что искомый угол равен \alpha=30^{\circ}.

Ответ: 30^{\circ}.

 

Задача 4. Катер с водомётным двигателем движется с постоянной скоростью, забирая забортную воду и выбрасывая назад струю со скоростью u=20 м/с относительно катера. Площадь поперечного сечения струи S=0,01м^2. Найти скорость катера \upsilon, если действующая на него сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости по формуле F=k \upsilon^2, причём k=7,5 Н\cdotc^2^2. Ответ выразить в м/с, округлив до десятых. Плотность воды \rho=1000 кг/м^3.

Решение.

В  системе отсчёта, связанной с катером, набегающая на катер вода изменяет свою скорость от \upsilon до u. За интервал времени \Delta t изменение импульса воды равно импульсу силы, действующей на неё со стороны катера. Таким образом, можно записать

    \[\Delta m\cdot(u-\upsilon)=F\cdot\Delta t= k \upsilon^2\Delta t,\]

где \Delta m — масса изменившей скорость воды, равная \Delta m=S \rho u\Delta t.

    \[S \rho u\Delta t\cdot(u-\upsilon)= k \upsilon^2\Delta t\]

    \[S \rho u\cdot u-S \rho u \upsilon= k \upsilon^2\]

Решая квадратное уравнение

    \[k \upsilon^2+S \rho u\upsilon-S \rho u^2=0,\]

получаем, что скорость катера равна

    \[\upsilon=\frac{\rho S u}{2k}\left(\sqrt{1+\frac{4k}{S\rho}}-1\right)=13,3.\]

Ответ: 13,3 м/с.

Задача 5. На гладком льду лежит цилиндрическое однородное бревно длиной L=1 м. Один из его концов стали медленно поднимать с помощью верёвки. Когда угол между бревном и поверхностью льда стал равным \alpha=60^{\circ}, вертикально натянутая верёвка оборвалась. На какое расстояние сместится при падении бревна его нижний конец? Ответ выразить в см, округлив до целых.

Решение.

Центр масс бревна при подъеме перемещался по дуге окружности, поэтому в момент обрыва веревки он сместился по горизонтали на расстояние

    \[\Delta L=\frac{L}{2}-\frac{L}{2}\cos\alpha=25\]

После обрыва веревки центр масс просто “падает” – движется по вертикали. Поэтому на такое же расстояние \Delta L, на какое переместился центр масс,  должен переместиться и конец бревна – ведь мы считаем его жестким.

Ответ: 25 см.

 

Комментариев - 2

  • Алексей
    |

    Можно пояснить как появилось выражение для реактивной силы во второй задаче? И можно сделать рисунки ко 2 и 3 задачам, а то из вашего решения не совсем всё понятно?

    Ответить
    • Анна
      |

      С картинками лучше. Согласна.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *