Закон сохранения импульса. Подготовка к олимпиадам. 9 класс

[latexpage]

В статье собраны хорошие задачи на закон сохранения импульса. Решаем вместе!

Задача 1. Петька возвращался из деревни на телеге со скоростью $U=5$ м/с. Масса телеги вместе с Петькой $M=200$ кг. Телегу нагнал вражеский снаряд, летящий горизонтально, пробил её насквозь и полетел дальше. С какой скоростью $\upsilon$ повезла телега испуганного Петьку, если снаряд уменьшил свою скорость от $\upsilon_1=500$ м/с до $\upsilon_2=400$ м/с и на нём белогвардейцами было написано — «масса $m=1$ пуд»? Ответ выразить в м/с, округлив до целых. Считать, что 1 пуд = 16,38 кг.

Решение.

Система «снаряд+телега» замкнута по горизонтали (на неё не действуют горизонтальные силы), поэтому мы можем записать закон сохранения импульса для системы «снаряд+телега» в проекции на горизонтальную ось

$$M\cdot U+m\cdot \upsilon_1=M\cdot \upsilon+m\cdot \upsilon_2,$$

откуда искомая скорость

$$\upsilon=U+\frac{m\cdot(\upsilon_1-\upsilon_2)}{M}=13.$$

Ответ: 13 м/с.

Задача 2. Кузнечик сидит на одном из концов соломинки длиной $L=50$ см, покоящейся на гладком полу. С какой минимальной относительно пола скоростью $\upsilon_0$ он должен прыгнуть, чтобы при приземлении попасть точно на второй конец соломинки? Масса кузнечика в $\alpha=4$ раза меньше массы соломинки. Размерами кузнечика и трением между соломинкой и полом пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным $g=10$ м/c$^{2}$. Ответ выразить в м/с, округлив до целых.

Решение.

Во время отталкивания кузнечика соломинка тоже приходит в движение навстречу, поэтому в земной системе отсчета дальность прыжка $S$ должна быть меньше длины соломинки. Но при фиксированной начальной скорости, кузнечик должен прыгать под углом $45^\circ$ к горизонту. Тогда

$$S=\frac{\upsilon_0^2}{g}.$$

По закону сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось для системы «соломинка+кузнечик», можно написать

$$0=\frac{1}{\alpha}\cdot m\cdot \upsilon_0\cdot \cos(45^\circ)-m\cdot u$$

где $m$ – масса соломинки, $u$ – её скорость.

За время полёта $t=\frac{2\upsilon_0\cdot\sin(45^\circ)}{g}$ соломинка пройдёт расстояние $u\cdot t$, следовательно,

$$L=S+u\cdot t=\frac{\upsilon_0^2}{g}+\frac{1}{\alpha}\cdot \upsilon_0\cdot \cos(45^\circ)\cdot \frac{2\upsilon_0\cdot\sin(45^\circ)}{g}=\frac{\upsilon_0^2}{g}\cdot \left(1+\frac{1}{\alpha}\right),$$

откуда минимальная скорость кузнечика относительно пола

$$\upsilon_0=\sqrt\frac{Lg}{1+\frac{1}{\alpha}}=2$$

Ответ: 2 м/с.

Задача 3. Ракета с площадью поперечного сечения $S=100~$см$^2$, двигаясь в космическом пространстве со скоростью $u=1000$ м/с, попадает в неподвижное облако космической пыли со средней плотностью $\rho=2$ мкг/см$^3$. Какую силу тяги должны развивать двигатели ракеты, чтобы её скорость осталась прежней? Столкновения пылинок с ракетой считать неупругими, изменением массы ракеты пренебречь. Ответ выразить в Н, округлив до целых.

Решение.

За некоторое время $t$ ракета сталкивается с массой пыли, находящейся в объёме цилиндра $S\cdot u\cdot t$. Следовательно масса пыли, которая прилипает к ракете и начинает движение с её скоростью равна $m=\rho \cdot S\cdot u\cdot t$. Изменение импульса этой массы $\Delta p=\rho \cdot S\cdot u^2\cdot t$ равно импульсу силы тяги $F\cdot t$, откуда $F=\rho\cdot s\cdot u^2=20.$

Ответ: 20 Н.

Задача 4. Какова средняя сила давления $F$ на плечо при стрельбе из автомата, если масса пули $m=10$ г, а скорость пули при вылете из канала ствола $\upsilon=300$ м/с? Автомат делает $N=600$ выстрелов за время $t=1$ мин. Ответ выразить в Н, округлив до целых.

Решение.

Изменение импульса всех пуль, выпущенных за минуту, равно $m\cdot \upsilon\cdot N$ и равно импульсу силы реакции $F\cdot t$. Отсюда находится сама сила $F=\frac{m\cdot \upsilon\cdot N}{t}=30$ Н.

Ответ: 30 Н.

Задача 5. Какую скорость может сообщить футболист мячу при ударе, если максимальная сила, с которой он может действовать на мяч, равна $F_{max}=3,5$ кН, а время удара $t_0=8\cdot 10^3$ с? Считать, что сила во время удара нарастает и спадает по линейному закону. Масса мяча $m=1$ кг. Ответ дать в м/с, округлив до целых.

Решение.

Воспользуемся тем, что импульс силы равен изменению импульса тела. В случае переменной силы её импульс можно посчитать как площадь под графиком зависимости силы от времени.

К задаче 5

Из графика видно, что он равен $\frac{F_{max}\cdot t_0}{2}$. Изменение импульса тела, так как оно вначале покоилось, просто равно конечному импульсу $m\cdot \upsilon$. Приравнивая уравнения, получаем скорость мяча $\upsilon=\frac{ F_{max}\cdot t_0}{2m}=14$ м/с.

Ответ: 14 м/с.