Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Закон сохранения импульса, Олимпиадная физика

Закон сохранения импульса. Подготовка к олимпиадам. 9 класс

В статье собраны хорошие задачи на закон сохранения импульса. Решаем вместе!

Задача 1. Петька возвращался из деревни на телеге со скоростью U=5 м/с. Масса телеги вместе с Петькой M=200 кг. Телегу нагнал вражеский снаряд, летящий горизонтально, пробил её насквозь и полетел дальше. С какой скоростью \upsilon повезла телега испуганного Петьку, если снаряд уменьшил свою скорость от \upsilon_1=500 м/с до \upsilon_2=400 м/с и на нём белогвардейцами было написано — «масса m=1 пуд»? Ответ выразить в м/с, округлив до целых. Считать, что 1 пуд = 16,38 кг.

Решение.

Система «снаряд+телега» замкнута по горизонтали (на неё не действуют горизонтальные силы), поэтому мы можем записать закон сохранения импульса для системы «снаряд+телега» в проекции на горизонтальную ось

    \[M\cdot U+m\cdot \upsilon_1=M\cdot \upsilon+m\cdot \upsilon_2,\]

откуда искомая скорость

    \[\upsilon=U+\frac{m\cdot(\upsilon_1-\upsilon_2)}{M}=13.\]

Ответ: 13 м/с.

 

Задача 2. Кузнечик сидит на одном из концов соломинки длиной L=50 см, покоящейся на гладком полу. С какой минимальной относительно пола скоростью \upsilon_0 он должен прыгнуть, чтобы при приземлении попасть точно на второй конец соломинки? Масса кузнечика в \alpha=4 раза меньше массы соломинки. Размерами кузнечика и трением между соломинкой и полом пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным g=10 м/c^{2}. Ответ выразить в м/с, округлив до целых.

Решение.

Во время отталкивания кузнечика соломинка тоже приходит в движение навстречу, поэтому в земной системе отсчета дальность прыжка S должна быть меньше длины соломинки. Но при фиксированной начальной скорости, кузнечик должен прыгать под углом 45^\circ к горизонту. Тогда

    \[S=\frac{\upsilon_0^2}{g}.\]

По закону сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось для системы «соломинка+кузнечик», можно написать

    \[0=\frac{1}{\alpha}\cdot m\cdot \upsilon_0\cdot \cos(45^\circ)-m\cdot u\]

где m – масса соломинки, u – её скорость.

За время полёта t=\frac{2\upsilon_0\cdot\sin(45^\circ)}{g} соломинка пройдёт расстояние u\cdot t, следовательно,

    \[L=S+u\cdot t=\frac{\upsilon_0^2}{g}+\frac{1}{\alpha}\cdot \upsilon_0\cdot \cos(45^\circ)\cdot \frac{2\upsilon_0\cdot\sin(45^\circ)}{g}=\frac{\upsilon_0^2}{g}\cdot \left(1+\frac{1}{\alpha}\right),\]

откуда минимальная скорость кузнечика относительно пола

    \[\upsilon_0=\sqrt\frac{Lg}{1+\frac{1}{\alpha}}=2\]

Ответ: 2 м/с.

Задача 3. Ракета с площадью поперечного сечения S=100~см^2, двигаясь в космическом пространстве со скоростью u=1000 м/с, попадает в неподвижное облако космической пыли со средней плотностью \rho=2 мкг/см^3. Какую силу тяги должны развивать двигатели ракеты, чтобы её скорость осталась прежней? Столкновения пылинок с ракетой считать неупругими, изменением массы ракеты пренебречь. Ответ выразить в Н, округлив до целых.

Решение.

За некоторое время t ракета сталкивается с массой пыли, находящейся в объёме цилиндра S\cdot u\cdot t. Следовательно масса пыли, которая прилипает к ракете и начинает движение с её скоростью равна m=\rho \cdot S\cdot u\cdot t. Изменение импульса этой массы \Delta p=\rho \cdot S\cdot u^2\cdot t равно импульсу силы тяги F\cdot t, откуда F=\rho\cdot s\cdot u^2=20.

Ответ: 20 Н.

 

Задача 4. Какова средняя сила давления F на плечо при стрельбе из автомата, если масса пули m=10 г, а скорость пули при вылете из канала ствола \upsilon=300 м/с? Автомат делает N=600 выстрелов за время t=1 мин. Ответ выразить в Н, округлив до целых.

Решение.

Изменение импульса всех пуль, выпущенных за минуту, равно m\cdot \upsilon\cdot N и равно импульсу силы реакции F\cdot t. Отсюда находится сама сила F=\frac{m\cdot \upsilon\cdot N}{t}=30 Н.

Ответ: 30 Н.

Задача 5. Какую скорость может сообщить футболист мячу при ударе, если максимальная сила, с которой он может действовать на мяч, равна F_{max}=3,5 кН, а время удара t_0=8\cdot 10^3 с? Считать, что сила во время удара нарастает и спадает по линейному закону. Масса мяча m=1 кг. Ответ дать в м/с, округлив до целых.

Решение.

Воспользуемся тем, что импульс силы равен изменению импульса тела. В случае переменной силы её импульс можно посчитать как площадь под графиком зависимости силы от времени.

К задаче 5

Из графика видно, что он равен \frac{F_{max}\cdot t_0}{2}. Изменение импульса тела, так как оно вначале покоилось, просто равно конечному импульсу m\cdot \upsilon. Приравнивая уравнения, получаем скорость мяча \upsilon=\frac{ F_{max}\cdot t_0}{2m}=14 м/с.

Ответ: 14 м/с.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *