Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение по окружности, Кинематика, Олимпиадная физика

Закон палочки и мгновенный центр вращения – 3

В основном задачи на мгновенный центр вращения. Решаются однотипно.

Задача 5. Треугольник АВС движется в пространстве таким образом, что в данный момент времени скорость точки A направлена вдоль стороны AB и \upsilon_A = 3,0 м/с, скорость точки B направлена вдоль стороны BC и \upsilon_B = 5,0 м/с. Угол ABC – тупой, AB = 4,0 м, BC = 3,3 м. Определить скорость точки C.

К задаче 5

Решение. Определим мгновенный центр вращения. Для этого построим перпендикуляры к скоростям точек и пересечем их (на рисунке показаны красным).

    \[\upsilon_B=OB\cdot \omega=5\]

    \[\upsilon_A=OA\cdot \omega=3\]

Значит,

    \[\frac{OB}{OA}=\frac{5}{3}=\frac{5x}{3x}\]

Так как треугольник OAB прямоугольный, да еще и египетский, заключаем, что AB=4x=4, то есть OB=5x=5, OA=3x=3. Делаем вывод, что

    \[\omega=\frac{\upsilon_A}{OA}=\frac{3}{3}=1\]

Треугольник OBC тоже прямоугольный, найдем его гипотенузу:

    \[OC^2=OB^2+BC^2\]

    \[OC=\sqrt{5^2+3,3^2}=\sqrt{36}=6\]

Откуда

    \[\upsilon_C=OC\cdot \omega=6\cdot 1=6\]

Ответ: 6 м/с.

 

Задача 6. Равносторонний треугольник ABC движется так, что в некоторый момент скорость вершины B равна \upsilon_B и направлена вдоль стороны AB, а скорость вершины C направлена вдоль стороны CB. Найти величину скорости вершины A в этот момент времени.

К задаче 6

Решение.

Как и в предыдущей задаче, определим мгновенный центр вращения, построив перпендикуляры к скоростям и пересекая их. Получим точку O – мгновенный центр вращения. Треугольник COB – прямоугольный с углами 30^{\circ}, 60^{\circ}. То есть угол ABO равен 150^{\circ}, и, зная это, можно найти длину отрезка AO. Пусть сторона равностороннего треугольника ABC равна a. Так как тангенс угла в 30^{\circ} равен \frac{1}{\sqrt{3}}, то в треугольнике COB катет OC=\frac{a}{\sqrt{3}}.

По теореме Пифагора

    \[OB=\sqrt{BC^2+OC^2}=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{3}}=\frac{2a}{\sqrt{3}}\]

Угловая скорость

    \[\omega=\frac{\upsilon_B}{OB}=\frac{\upsilon_C}{OC}\]

    \[\upsilon_C=\frac{\upsilon_B\cdot OC }{OB}=\frac{\upsilon_B}{2}\]

Теперь рассчитаем треугольник ABO по теореме косинусов:

    \[AO^2=AB^2+OB^2-2AB\cdot OB\cos 150^{\circ}\]

    \[AO^2=a^2+\frac{a^2}{3}-2a\cdot\frac{a}{\sqrt{3}}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\]

    \[AO^2=\frac{4a^2}{3}+\frac{2a^2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{7a^2}{2}\]

И, наконец, находим скорость точки A:

    \[\upsilon_A=\omega \cdot OA=\frac{\upsilon_B}{OB}\cdot OA=\frac{\upsilon_B\cdot \sqrt{3}}{2a}\cdot \frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{3}}=\frac{\upsilon_B\sqrt{7}}{2}\]

Ответ: \upsilon_A=\frac{\upsilon_B\sqrt{7}}{2}.

 

Задача 7. Палочку пытаются двигать так, чтобы один ее конец, точка A, двигался по горизонтальной стороне угла \alpha = 60^{\circ} с постоянной скоростью, а второй конец, точка B, все время оставался на наклонной стороне угла (см. рисунок). В течение какого времени такое движение может быть реализовано, если известно, что через 5 с после начала движения скорость точки B была равна нулю? Движение точки A начинается из вершины угла.

К задаче 7

К задаче 7 – подробное описание положения палочки

Решение.

Сначала палочка совпадает с верхней стороной угла (рисунок 1). Поэтому, когда конец A начнут двигать, конец B поедет вверх. И будет двигаться вверх до тех пор, пока палочка не займет вертикальное положение (рисунок 2). Вот до этого момента пройдет 5 с. Затем конец A продолжает движение в ту же сторону, а точка B поедет вниз. Пусть длина палочки l. Значит,

    \[\operatorname{tg}\alpha=\frac{l}{\upsilon_a t_1}\]

Когда прервется движение, которое указано в задаче? Когда палочка окажется расположенной перпендикулярно к верхней стороне угла (рисунок 3). После этого момента точка B уже оторвется от верхней стороны угла.

По третьему рисунку запишем:

    \[\sin \alpha=\frac{l}{\upsilon_A t_2}\]

Тогда, если разделить две формулы, получим:

    \[\frac{\operatorname{tg}\alpha }{\sin \alpha }=\frac{t_2}{t_1}\]

    \[\frac{t_2}{t_1}=2\]

    \[t_2=2t_1=10\]

Ответ: 10 с.

 

Задача 8. По горизонтальному столу скользит плоский лист фанеры, на котором нарисована система координат. В данный момент скорость точки A с координатами (1;3) направлена вдоль оси x и равна 1 м/с. Скорость точки B с координатами (2;1) составляет в тот же момент угол 45^{\circ} с осью x. Где находятся точки листа, скорости которых по величине не превосходят 1 см/с?

К задаче 8

Решение.

Опять же, строим перпендикуляры к указанным скоростям и находим мгновенный центр вращения. Получаем точку O с координатами (1; 2).

Мгновенный центр вращения

Так как точка A имеет скорость, равную 1 м/с, то точки, имеющие такую же и меньшие скорости находятся ближе к точке O – а именно, внутри круга радиусом OA.

Ответ: такие точки расположены внутри и на границе круга с центром  в точке O и радиусом OA.

 

Задача 9. На рисунке изображена схема кривошипно-шатунного механизма паровой машины с качающимся цилиндром. Кривошип OA длиной r вращается с угловой скоростью \omega вокруг точки O. В точке A кривошип шарнирно соединен со стержнем AC, продетым сквозь муфту, закрепленную на шарнире B так что муфта может свободно вращаться вокруг точки B. OB =a, AC >a+r.

  1. Чему равен угол \alpha в тот момент, когда угловая скорость муфты минимальна?
  2. Определите максимальную угловую скорость муфты.

К задаче 9

Два положения, при которых угловая скорость муфты минимальна и максимальна

Решение. Скорость \upsilon, с которой вращается кривошип ОА, постоянна по модулю и направлена всегда перпендикулярно стержню. Скорость точки A состоит из скорости вращения шатуна AC и его линейной скорости. Если кривошип расположен горизонтально, и шатун тоже – скорость точки A не имеет продольной (вдоль шатуна) составляющей, а имеет только составляющую \upsilon – вращательную.

    \[\upsilon=\omega r\]

Угловая скорость муфты минимальна, когда скорость точки A направлена вдоль стержня.

    \[\sin \alpha=\frac{r}{a}\]

Угловая скорость равна

    \[\omega_m=\frac{\upsilon_{AB}}{AB}\]

Понятно, что частное максимально, если AB \rightarrow max, а \upsilon_{AB}\rightarrow min, эта ситуация – на втором рисунке, где

    \[AB=a-r\]

    \[\omega_{max}=\frac{\upsilon}{a-r}=\frac{\omega r}{a-r}\]

Ответ: \alpha =\arcsin\left(\frac{r}{a}\right), \omega_{max}=\frac{\omega r}{a-r}.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *