Закон палочки и мгновенный центр вращения – 1

[latexpage]

Решим несколько задач на «закон палочки», а также на мгновенный центр скоростей.

Задача 1. Тонкая палочка $AB$ длиной $L$ движется в плоскости чертежа так, что в данный момент скорость ее конца $A$ равна $\upsilon$ и направлена под углом $\alpha$ к палочке, а скорость точки $B$ – под углом $\beta$. Найти точку на палочке, скорость которой направлена вдоль палочки и определить скорость этой точки.

К задаче 1

Решение.

По «закону палочки» проекция скорости точки $A$ и проекция скорости точки $B$ на саму палочку одинаковы. Зная это, восстанавливаем вектор скорости точки $B$:

$$\upsilon\cos \alpha=\upsilon_B\cos \beta$$

$$\upsilon_B=\frac{\upsilon\cos \alpha }{\cos \beta }$$

Рисунок 2 к задаче 1

Сначала рисуем красный вектор проекции $\upsilon\cos \alpha$, затем переносим его в точку $B$, далее можно построить синий вектор $\upsilon\sin \alpha$, зеленый вектор скорости точки $B$ $\upsilon_B$ направить по указанному направлению, и продлить до пересечения с синим вектором $\upsilon_B\sin \beta$.

Теперь, чтобы найти мгновенный центр скоростей, достаточно соединить концы векторов $\upsilon\sin \alpha$ и  $\upsilon_B\sin \beta$.

Рисунок 3 к задаче 1

Получаем точку $C$ – точку пересечения фиолетового отрезка и палочки. У этой точки есть только составляющая скорости, направленная вдоль палочки – красный вектор.

Второй способ определить положение точки $C$ – построить перпендикуляры к обоим векторам скоростей точек $A$ и $B$ и пересечь их. Из полученной точки пересечения построить перпендикуляр к палочке – получится точка $C$.

Рисунок 4 к задаче 1

Определим положение этой точки. Пусть $AC=x$, $CB=L-x$, тогда из подобия треугольников

$$\frac{\upsilon\sin \alpha }{\upsilon_B\sin \beta }=\frac{x}{L-x}$$

$$\upsilon\sin \alpha (L-x)= \upsilon_B\sin \beta\cdot x$$

$$\upsilon_B\sin \beta\cdot x+\upsilon\sin \alpha\cdot x=\upsilon\sin \alpha \cdot L$$

$$x=\frac{\upsilon\sin \alpha \cdot L }{\upsilon_B\sin \beta +\upsilon\sin \alpha }$$

Ответ: скорость точки $C$ равна $\upsilon_C=\upsilon\cos \alpha$, ее положение на палочке (от  точки $A$) $x=\frac{\upsilon\sin \alpha \cdot L }{\upsilon_B\sin \beta +\upsilon\sin \alpha }$ (скорость точки $B$ получили вначале).

Задача 2. По гладкой горизонтальной поверхности скользит пластинка, на которой отмечены три точки  – $A, B$ и $C$, лежащие в вершинах прямоугольного треугольника с углом $30^{\circ}$ при вершине $B$. Гипотенуза треугольника равна $L$. В некоторый момент времени скорость точки $A$ равна по модулю $\upsilon_0$ и направлена под углом $30^{\circ}$ к катету $BC$. Известно также, что скорость точки $B$ направлена вдоль линии $a_1a_2$, параллельной катету $AC$. Определите:

– модуль и направление скорости точки $B$;

– модуль и направление скорости точки $C$;

– положение точки $O$, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Изобразите на чертеже векторы скоростей точек $B$ и $C$, а также положение т очки $O$.

К задаче 2

Решение.

Сначала определим проекцию скорости точки $A$ на гипотенузу – $\upsilon_{A\parallel}$.

$$\upsilon_{A\parallel}=\upsilon_A \cos 60^{\circ}=\frac{\upsilon_0}{2}$$

Рисунок 2 к задаче 2

Так как пластинка жесткая, то проекция скорости точки $B$ на это направление точно такая же. Но сама скорость точки $B$ направлена под углом $60^{\circ}$ к направлению $AB$, а это значит, что

$$\upsilon_B\cos 60^{\circ}=\frac{\upsilon_0}{2}$$

И

$$\upsilon_B=\upsilon_0$$

Теперь, как и в предыдущей задаче, построим перпендикуляры к скоростям точек $A$ и $B$ и пересечем их.

Рисунок 3 к задаче 2

Пусть эти два зеленых перпендикуляра пересекутся в точке $O$. Эта точка – мгновенный центр вращения. Это как раз та точка, скорость которой равна нулю. Так как треугольник $AOB$ равнобедренный, то

$$OB=\frac{\frac{L}{2}}{\cos 30^{\circ}}=\frac{L}{\sqrt{3}}$$

$$OC=L\cos 30^{\circ}}-\frac{L}{\sqrt{3}}=\frac{ L\sqrt{3}}{6}$$

Так как

$$\upsilon_B=\upsilon_0=\omega\cdot OB$$

То

$$\upsilon_C=\omega\cdot OC=\frac{\upsilon_0}{ OB }\cdot OC=\frac{\upsilon_0}{2}$$

Ответ: $\upsilon_B=\upsilon_0$, $\upsilon_C=\frac{\upsilon_0}{2}$, $OC=\frac{ L\sqrt{3}}{6}$.