Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Кинематические связи, Олимпиадная физика

Закон палочки и мгновенный центр вращения – 1

Решим несколько задач на «закон палочки», а также на мгновенный центр скоростей.

Задача 1. Тонкая палочка AB длиной L движется в плоскости чертежа так, что в данный момент скорость ее конца A равна \upsilon и направлена под углом \alpha к палочке, а скорость точки B – под углом \beta. Найти точку на палочке, скорость которой направлена вдоль палочки и определить скорость этой точки.

К задаче 1

Решение.

По «закону палочки» проекция скорости точки A и проекция скорости точки B на саму палочку одинаковы. Зная это, восстанавливаем вектор скорости точки B:

    \[\upsilon\cos \alpha=\upsilon_B\cos \beta\]

    \[\upsilon_B=\frac{\upsilon\cos \alpha }{\cos \beta }\]

Рисунок 2 к задаче 1

Сначала рисуем красный вектор проекции \upsilon\cos \alpha, затем переносим его в точку B, далее можно построить синий вектор \upsilon\sin \alpha, зеленый вектор скорости точки B \upsilon_B направить по указанному направлению, и продлить до пересечения с синим вектором \upsilon_B\sin \beta.

Теперь, чтобы найти мгновенный центр скоростей, достаточно соединить концы векторов \upsilon\sin \alpha и  \upsilon_B\sin \beta.

Рисунок 3 к задаче 1

Получаем точку C – точку пересечения фиолетового отрезка и палочки. У этой точки есть только составляющая скорости, направленная вдоль палочки – красный вектор.

Второй способ определить положение точки C – построить перпендикуляры к обоим векторам скоростей точек A и B и пересечь их. Из полученной точки пересечения построить перпендикуляр к палочке – получится точка C.

Рисунок 4 к задаче 1

Определим положение этой точки. Пусть AC=x, CB=L-x, тогда из подобия треугольников

    \[\frac{\upsilon\sin \alpha }{\upsilon_B\sin \beta }=\frac{x}{L-x}\]

    \[\upsilon\sin \alpha (L-x)= \upsilon_B\sin \beta\cdot x\]

    \[\upsilon_B\sin \beta\cdot x+\upsilon\sin \alpha\cdot x=\upsilon\sin \alpha \cdot L\]

    \[x=\frac{\upsilon\sin \alpha \cdot L }{\upsilon_B\sin \beta +\upsilon\sin \alpha }\]

Ответ: скорость точки C равна \upsilon_C=\upsilon\cos \alpha, ее положение на палочке (от  точки A) x=\frac{\upsilon\sin \alpha \cdot L }{\upsilon_B\sin \beta +\upsilon\sin \alpha } (скорость точки B получили вначале).

Задача 2. По гладкой горизонтальной поверхности скользит пластинка, на которой отмечены три точки  – A, B и C, лежащие в вершинах прямоугольного треугольника с углом 30^{\circ} при вершине B. Гипотенуза треугольника равна L. В некоторый момент времени скорость точки A равна по модулю \upsilon_0 и направлена под углом 30^{\circ} к катету BC. Известно также, что скорость точки B направлена вдоль линии a_1a_2, параллельной катету AC. Определите:

– модуль и направление скорости точки B;

– модуль и направление скорости точки C;

– положение точки O, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Изобразите на чертеже векторы скоростей точек B и C, а также положение т очки O.

К задаче 2

Решение.

Сначала определим проекцию скорости точки A на гипотенузу – \upsilon_{A\parallel}.

    \[\upsilon_{A\parallel}=\upsilon_A \cos 60^{\circ}=\frac{\upsilon_0}{2}\]

Рисунок 2 к задаче 2

Так как пластинка жесткая, то проекция скорости точки B на это направление точно такая же. Но сама скорость точки B направлена под углом 60^{\circ} к направлению AB, а это значит, что

    \[\upsilon_B\cos 60^{\circ}=\frac{\upsilon_0}{2}\]

И

    \[\upsilon_B=\upsilon_0\]

Теперь, как и в предыдущей задаче, построим перпендикуляры к скоростям точек A и B и пересечем их.

Рисунок 3 к задаче 2

Пусть эти два зеленых перпендикуляра пересекутся в точке O. Эта точка – мгновенный центр вращения. Это как раз та точка, скорость которой равна нулю. Так как треугольник AOB равнобедренный, то

    \[OB=\frac{\frac{L}{2}}{\cos 30^{\circ}}=\frac{L}{\sqrt{3}}\]

    \[OC=L\cos 30^{\circ}}-\frac{L}{\sqrt{3}}=\frac{ L\sqrt{3}}{6}\]

Так как

    \[\upsilon_B=\upsilon_0=\omega\cdot OB\]

То

    \[\upsilon_C=\omega\cdot OC=\frac{\upsilon_0}{ OB }\cdot OC=\frac{\upsilon_0}{2}\]

Ответ: \upsilon_B=\upsilon_0, \upsilon_C=\frac{\upsilon_0}{2}, OC=\frac{ L\sqrt{3}}{6}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *