Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Закон Кулона

Закон Кулона: задачи с нитями

В этой статье – так случайно само собой вышло – собрались задачи, в которых заряженные шарики подвешивают на нитях. Так что в задачах  на тела действует не только  Кулонова сила, но и силы тяжести, силы упругости и силы натяжения нитей.

Задача 1. Два одинаковых шарика массой m=0,09 г каждый, заряжены одинаковыми зарядами, соединены нитью и подвешены к потолку. Какой заряд должен иметь каждый шарик, чтобы натяжение нитей было одинаковым? Расстояние между центрами шариков R=0,3 м. Чему равно натяжение каждой нити?

Изобразим оба шарика и нарисуем вектора всех сил, приложенных к обоим шарикам. Так как шарики заряжены одноименно, они будут отталкиваться друг от друга. Таким образом, кулоновская сила будет «подталкивать» верхний шарик, и наоборот, «жать книзу» нижний.

К задаче 1

Тогда для верхнего шарика второй закон Ньютона запишем в виде:

    \[mg+T_2=T_1+F\]

Для нижнего шарика:

    \[T_2=F+mg\]

Из условия T_1=T_2 и первого уравнения вытекает, что

    \[F=mg\]

    \[k\frac{q_1q_2}{R^2}=mg\]

    \[q^2=\frac{mgR^2}{k}\]

    \[q=R\sqrt{4 \pi \varepsilon_0 mg}\]

    \[q=2R\sqrt{\pi \varepsilon_0 mg}=0,3\sqrt{\frac{10\cdot0,09\cdot10^{-3}}{9\cdot 10^9}}=0,95\cdot10^{-7}\]

Определим натяжение нитей:

    \[T_2=F+mg=2mg=1,8\cdot 10^{-3}\]

Ответ: q=9,5\cdot10^{-8} Кл, T_2=1,8\cdot 10^{-3} Н

 

Задача 2. Шарик массой m=4 г, несущий заряд q_1=278 нКл, подвешен на нити. При приближении к нему заряда q_2 противоположного знака  нить отклонилась на угол \alpha=45^{\circ} от вертикального направления. Найти модуль заряда q_2, если расстояние r=6 см.

Изобразим рисунок и запишем второй закон Ньютона в векторной форме для шарика:

К задаче 2

    \[\vec{F}+\vec{mg}=\vec{T}\]

Теперь введем систему координат, где ось ординат направлена вверх, а ось абсцисс – вправо, и запишем последнее уравнение в проекциях по осям:

    \[mg=T \cos{\alpha}\]

    \[F=T \sin{\alpha}\]

Тогда

    \[T=\frac{mg}{\cos{\alpha}}\]

    \[F=\frac{mg}{\cos{\alpha}}sin{\alpha}=mg \operatorname{tg}{\alpha}\]

С другой стороны, F=k\frac{q_1q_2}{r^2}, тогда

    \[k\frac{q_1q_2}{r^2}= mg \operatorname{tg}{\alpha}\]

    \[q_2=\frac{ mg \operatorname{tg}{\alpha}r^2}{k q_1}\]

    \[q_2=\frac{ 4\cdot10^{-3}\cdot 10(0,06)^2}{9\cdot10^9\cdot278\cdot10^{-9}}=5,7 \cdot10^{-8}\]

Ответ: q_2=5,7 \cdot10^{-8}, или 57 нКл.

Задача 3. На шелковых нитях, образующих угол  \alpha=60^{\circ},  подвешен заряженный шарик массой m=10^{-3} кг. Снизу к нему подносят другой такой же шарик с таким же зарядом, в результате чего натяжение нити уменьшается в n=2 раза. Расстояние между центрами шариков r=1 см.  Определить заряд каждого шарика и натяжение нити в этом случае.

К задаче 3

Запишем уравнение по второму закону Ньютона для шарика на нитях:

    \[\vec{T_1}+\vec{T_2}+\vec{mg}=0\]

Или, поскольку нити одинаковые и равной длины T_1=T_2=T,

    \[2\vec{T}+\vec{mg}=0\]

Теперь введем систему координат  с осью ординат, направленной вертикально вверх, и запишем это уравнение в проекциях на нее:

    \[2T\cos{\frac{\alpha}{2}}-mg=0\]

Или

    \[T =\frac{mg}{2\cos{\frac{\alpha}{2}}}\]

Теперь запишем то же уравнение после того, как поднесли второй шарик:

    \[\vec{T_3}+\vec{T_4}+\vec{mg}+\vec{F}=0\]

    \[T_3=T_4\]

Но теперь по условию натяжение нити уменьшилось в два раза – T_3=T_4=\frac{T}{2}:

    \[\frac{2T\cos{\frac{\alpha}{2}}}{2}+F-mg=0\]

Выразим кулоновскую силу отсюда:

    \[T\cos{\frac{\alpha}{2}}+F-mg=0\]

    \[F = mg- T\cos{\frac{\alpha}{2}}\]

Подставим ранее полученную силу натяжения нити:

    \[F =mg- \cos{\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{mg}{2\cos{\frac{\alpha}{2}}}=\frac{mg}{2}\]

С другой стороны, кулонова сила равна

    \[F=\frac{kq^2}{r^2}\]

Откуда, приравнивая, получаем:

    \[\frac{kq^2}{r^2}=\frac{mg}{2}\]

    \[q^2=\frac{mgr^2}{2k}\]

    \[q=r\sqrt{\frac{mg}{2k}}=0,01\sqrt{\frac{10^{-3}\cdot10}{18\cdot10^9}}=0,745\cdot10^{-8}\]

Или q=7,45\cdot10^{-9} Кл, или 7,45 нКл.

Определим силу натяжения нити до внесения второго шарика:

    \[T =\frac{mg}{2\cos{\frac{\alpha}{2}}}=\frac{10^{-3}\cdot10}{2\cos{30^{\circ}}}=\frac{10^{-2}}{\sqrt{3}}=5,7\cdot10^{-3}\]

После внесения второго шарика сила натяжения нити будет равна \frac{T}{2}=2,8\cdot10^{-3} Н.

Ответ: 2,8 мН

 

Задача 4. Шарики А и В, массой m=0,1 кг каждый,  имеют одинаковые по модулю и  противоположные по знаку заряды q=10 мкКл. Шарик А  подвешен на непроводящей пружине  жесткостью k=9,8 Н/м над шариком В.  В начальном положении сила кулоновского взаимодействия между шариками равна 4mg. Верхний конец пружины медленно поднимают. На сколько надо переместить точку О, чтобы натяжение шелковой нити BC стало равным 0?

К задаче 4

Проанализируем ситуацию. Итак, понятно, что шарики притягиваются. Тогда  вначале пружина обязательно растянута, и растянута сообразно кулоновской силе и силе тяжести, воздействующих на нее. Поэтому, когда мы начнем поднимать верхний конец, и верхний шарик поползет вверх, сила кулоновского взаимодействия ослабнет и растяжение пружины будет меньшим, хотя и ненулевым. То есть мы поднимем конец пружины (точку О) на одно расстояние, а расстояние между шариками изменится на большую величину.

Итак, сначала F_1=4mg. Тогда сила упругости, действующая на пружину, равна

    \[F_{upr1}=F_1+mg=4mg+mg=5mg\]

Сама кулоновская сила равна

    \[F_1=\frac{kq^2}{{r_1}^2}\]

Откуда расстояние между шариками вначале:

    \[r_1^2=\frac{kq^2}{F_1}=\frac{kq^2}{4mg}\]

    \[r_1=\sqrt{\frac{kq^2}{4mg}}\]

    \[r_1=\frac{q}{2}\sqrt{\frac{k}{mg}}\]

Из условия, что натяжение нити стало равным нулю, заключаем, что в воздухе второй шарик удерживается исключительно благодаря кулоновской силе, то есть F_2=mg. Иными  словами, она стала в 4 раза меньше. А это значит, что расстояние между шариками удвоилось:

    \[r_2=2r_1\]

Это удвоение произошло, во-первых, благодаря меньшему теперь растяжению пружины, а во-вторых, за счет подъема точки О.

Сила упругости, которая теперь растягивает пружину, равна:

    \[F_{upr2}=F_2+mg=mg+mg=2mg\]

Первоначальное растяжение пружины равно:

    \[\Delta x_1=\frac{F_{upr1}}{k_{pr}}=\frac{5mg}{ k_{pr}}\]

Конечное растяжение пружины равно:

    \[\Delta x_2=\frac{F_{upr2}}{k_{pr}}=\frac{2mg}{ k_{pr}}\]

Первоначальное положение точки О относительно нижнего шарика – это начальное расстояние между шариками плюс растяжение пружины:

    \[L_1=r_1+\Delta x_1\]

Окончательное положение точки О – аналогично:

    \[L_2=r_2+\Delta x_2\]

Чтобы узнать разницу, надо вычесть:

    \[L_2-L_1= r_2+\Delta x_2- r_1-\Delta x_1\]

    \[\Delta L= r_2- r_1+\Delta x_2-\Delta x_1\]

Подставим то, что знаем:

    \[\Delta L= 2r_1- r_1+\frac{2mg}{ k_{pr}}-\frac{5mg}{ k_{pr}}=r_1-\frac{3mg}{ k_{pr}}\]

    \[\Delta L= \frac{q}{2}\sqrt{\frac{k}{mg}}-\frac{3mg}{ k_{pr}}\]

    \[\Delta L= \frac{10^{-5}}{2}\sqrt{\frac{9\cdot10^9}{0,1\cdot9,8}}-\frac{3\cdot0,1\cdot9,8}{9,8}=0,179\]

Ответ: \Delta L=0,179 м, или 18 см.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *