Закон Кулона: задачи с нитями

В этой статье – так случайно само собой вышло – собрались задачи, в которых заряженные шарики подвешивают на нитях. Так что в задачах  на тела действует не только  Кулонова сила, но и силы тяжести, силы упругости и силы натяжения нитей.

[latexpage]

Задача 1. Два одинаковых шарика массой $m=0,09$ г каждый, заряжены одинаковыми зарядами, соединены нитью и подвешены к потолку. Какой заряд должен иметь каждый шарик, чтобы натяжение нитей было одинаковым? Расстояние между центрами шариков $R=0,3$ м. Чему равно натяжение каждой нити?

Изобразим оба шарика и нарисуем вектора всех сил, приложенных к обоим шарикам. Так как шарики заряжены одноименно, они будут отталкиваться друг от друга. Таким образом, кулоновская сила будет «подталкивать» верхний шарик, и наоборот, «жать книзу» нижний.

Тогда для верхнего шарика второй закон Ньютона запишем в виде:

$$mg+T_2=T_1+F$$

Для нижнего шарика:

$$T_2=F+mg$$

Из условия $T_1=T_2$ и первого уравнения вытекает, что

$$F=mg$$

$$k\frac{q_1q_2}{R^2}=mg$$

$$q^2=\frac{mgR^2}{k}$$

$$q=R\sqrt{4 \pi \varepsilon_0 mg}$$

$$q=2R\sqrt{\pi \varepsilon_0 mg}=0,3\sqrt{\frac{10\cdot0,09\cdot10^{-3}}{9\cdot 10^9}}=0,95\cdot10^{-7}$$

Определим натяжение нитей:

$$T_2=F+mg=2mg=1,8\cdot 10^{-3}$$

Ответ: $q=9,5\cdot10^{-8}$ Кл, $T_2=1,8\cdot 10^{-3}$ Н

 

Задача 2. Шарик массой $m=4$ г, несущий заряд $q_1=278$ нКл, подвешен на нити. При приближении к нему заряда $q_2$ противоположного знака  нить отклонилась на угол $\alpha=45^{\circ}$ от вертикального направления. Найти модуль заряда $q_2$, если расстояние $r=6$ см.

Изобразим рисунок и запишем второй закон Ньютона в векторной форме для шарика:

$$\vec{F}+\vec{mg}=\vec{T}$$

Теперь введем систему координат, где ось ординат направлена вверх, а ось абсцисс – вправо, и запишем последнее уравнение в проекциях по осям:

$$mg=T \cos{\alpha}$$

$$F=T \sin{\alpha}$$

Тогда

$$T=\frac{mg}{\cos{\alpha}}$$

$$F=\frac{mg}{\cos{\alpha}}sin{\alpha}=mg \operatorname{tg}{\alpha}$$

С другой стороны, $F=k\frac{q_1q_2}{r^2}$, тогда

$$ k\frac{q_1q_2}{r^2}= mg \operatorname{tg}{\alpha}$$

$$q_2=\frac{ mg \operatorname{tg}{\alpha}r^2}{k q_1}$$

$$q_2=\frac{ 4\cdot10^{-3}\cdot 10(0,06)^2}{9\cdot10^9\cdot278\cdot10^{-9}}=5,7 \cdot10^{-8}$$

Ответ: $q_2=5,7 \cdot10^{-8}$, или 57 нКл.

Задача 3. На шелковых нитях, образующих угол  $\alpha=60^{\circ}$,  подвешен заряженный шарик массой $m=10^{-3}$ кг. Снизу к нему подносят другой такой же шарик с таким же зарядом, в результате чего натяжение нити уменьшается в $n=2$ раза. Расстояние между центрами шариков $r=1$ см.  Определить заряд каждого шарика и натяжение нити в этом случае.

Запишем уравнение по второму закону Ньютона для шарика на нитях:

$$\vec{T_1}+\vec{T_2}+\vec{mg}=0$$

Или, поскольку нити одинаковые и равной длины $T_1=T_2=T$,

$$2\vec{T}+\vec{mg}=0$$

Теперь введем систему координат  с осью ординат, направленной вертикально вверх, и запишем это уравнение в проекциях на нее:

$$2T\cos{\frac{\alpha}{2}}-mg=0$$

Или

$$ T =\frac{mg}{2\cos{\frac{\alpha}{2}}}$$

Теперь запишем то же уравнение после того, как поднесли второй шарик:

$$\vec{T_3}+\vec{T_4}+\vec{mg}+\vec{F}=0$$

$$T_3=T_4$$

Но теперь по условию натяжение нити уменьшилось в два раза – $T_3=T_4=\frac{T}{2}$:

$$\frac{2T\cos{\frac{\alpha}{2}}}{2}+F-mg=0$$

Выразим кулоновскую силу отсюда:

$$T\cos{\frac{\alpha}{2}}+F-mg=0$$

$$ F = mg- T\cos{\frac{\alpha}{2}}$$

Подставим ранее полученную силу натяжения нити:

$$F =mg- \cos{\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{mg}{2\cos{\frac{\alpha}{2}}}=\frac{mg}{2}$$

С другой стороны, кулонова сила равна

$$F=\frac{kq^2}{r^2}$$

Откуда, приравнивая, получаем:

$$\frac{kq^2}{r^2}=\frac{mg}{2}$$

$$q^2=\frac{mgr^2}{2k}$$

$$q=r\sqrt{\frac{mg}{2k}}=0,01\sqrt{\frac{10^{-3}\cdot10}{18\cdot10^9}}=0,745\cdot10^{-8}$$

Или $q=7,45\cdot10^{-9}$ Кл, или 7,45 нКл.

Определим силу натяжения нити до внесения второго шарика:

$$T =\frac{mg}{2\cos{\frac{\alpha}{2}}}=\frac{10^{-3}\cdot10}{2\cos{30^{\circ}}}=\frac{10^{-2}}{\sqrt{3}}=5,7\cdot10^{-3}$$

После внесения второго шарика сила натяжения нити будет равна $\frac{T}{2}=2,8\cdot10^{-3}$ Н.

Ответ: 2,8 мН

 

Задача 4. Шарики А и В, массой $m=0,1$ кг каждый,  имеют одинаковые по модулю и  противоположные по знаку заряды $q=10$ мкКл. Шарик А  подвешен на непроводящей пружине  жесткостью $k=9,8$ Н/м над шариком В.  В начальном положении сила кулоновского взаимодействия между шариками равна $4mg$. Верхний конец пружины медленно поднимают. На сколько надо переместить точку О, чтобы натяжение шелковой нити BC стало равным $0$?

Проанализируем ситуацию. Итак, понятно, что шарики притягиваются. Тогда  вначале пружина обязательно растянута, и растянута сообразно кулоновской силе и силе тяжести, воздействующих на нее. Поэтому, когда мы начнем поднимать верхний конец, и верхний шарик поползет вверх, сила кулоновского взаимодействия ослабнет и растяжение пружины будет меньшим, хотя и ненулевым. То есть мы поднимем конец пружины (точку О) на одно расстояние, а расстояние между шариками изменится на большую величину.

Итак, сначала $F_1=4mg$. Тогда сила упругости, действующая на пружину, равна

$$F_{upr1}=F_1+mg=4mg+mg=5mg$$

Сама кулоновская сила равна

$$F_1=\frac{kq^2}{{r_1}^2}$$

Откуда расстояние между шариками вначале:

$$r_1^2=\frac{kq^2}{F_1}=\frac{kq^2}{4mg}$$

$$r_1=\sqrt{\frac{kq^2}{4mg}}$$

$$r_1=\frac{q}{2}\sqrt{\frac{k}{mg}}$$

Из условия, что натяжение нити стало равным нулю, заключаем, что в воздухе второй шарик удерживается исключительно благодаря кулоновской силе, то есть $F_2=mg$. Иными  словами, она стала в 4 раза меньше. А это значит, что расстояние между шариками удвоилось:

$$r_2=2r_1$$

Это удвоение произошло, во-первых, благодаря меньшему теперь растяжению пружины, а во-вторых, за счет подъема точки О.

Сила упругости, которая теперь растягивает пружину, равна:

$$F_{upr2}=F_2+mg=mg+mg=2mg$$

Первоначальное растяжение пружины равно:

$$\Delta x_1=\frac{F_{upr1}}{k_{pr}}=\frac{5mg}{ k_{pr}}$$

Конечное растяжение пружины равно:

$$\Delta x_2=\frac{F_{upr2}}{k_{pr}}=\frac{2mg}{ k_{pr}}$$

Первоначальное положение точки О относительно нижнего шарика – это начальное расстояние между шариками плюс растяжение пружины:

$$L_1=r_1+\Delta x_1$$

Окончательное положение точки О – аналогично:

$$L_2=r_2+\Delta x_2$$

Чтобы узнать разницу, надо вычесть:

$$L_2-L_1= r_2+\Delta x_2- r_1-\Delta x_1$$

$$\Delta L= r_2- r_1+\Delta x_2-\Delta x_1$$

Подставим то, что знаем:

$$\Delta L= 2r_1- r_1+\frac{2mg}{ k_{pr}}-\frac{5mg}{ k_{pr}}=r_1-\frac{3mg}{ k_{pr}}$$

$$\Delta L= \frac{q}{2}\sqrt{\frac{k}{mg}}-\frac{3mg}{ k_{pr}}$$

$$\Delta L= \frac{10^{-5}}{2}\sqrt{\frac{9\cdot10^9}{0,1\cdot9,8}}-\frac{3\cdot0,1\cdot9,8}{9,8}=0,179$$

Ответ: $\Delta L=0,179$ м, или 18 см.