Закон Кулона: задачи с нитями

В этой статье – так случайно само собой вышло – собрались задачи, в которых заряженные шарики подвешивают на нитях. Так что в задачах на тела действует не только Кулонова сила, но и силы тяжести, силы упругости и силы натяжения нитей.

Задача 1. Два одинаковых шарика массой $m=0,09$ г каждый, заряжены одинаковыми зарядами, соединены нитью и подвешены к потолку. Какой заряд должен иметь каждый шарик, чтобы натяжение нитей было одинаковым? Расстояние между центрами шариков $R=0,3$ м. Чему равно натяжение каждой нити?

Изобразим оба шарика и нарисуем вектора всех сил, приложенных к обоим шарикам. Так как шарики заряжены одноименно, они будут отталкиваться друг от друга. Таким образом, кулоновская сила будет «подталкивать» верхний шарик, и наоборот, «жать книзу» нижний.

К задаче 1

Тогда для верхнего шарика второй закон Ньютона запишем в виде:

$mg+T_2=T_1+F$

Для нижнего шарика:

$T_2=F+mg$

Из условия $T_1=T_2$ и первого уравнения вытекает, что

$F=mg$

$k\frac{q_1q_2}{R^2}=mg$

$q^2=\frac{mgR^2}{k}$

$q=R\sqrt{4 \pi \varepsilon_0 mg}$

$q=2R\sqrt{\pi \varepsilon_0 mg}=0,3\sqrt{\frac{10\cdot0,09\cdot10^{-3}}{9\cdot 10^9}}=0,95\cdot10^{-7}$

Определим натяжение нитей:

$T_2=F+mg=2mg=1,8\cdot 10^{-3}$

Ответ: $q=9,5\cdot10^{-8}$ Кл, $T_2=1,8\cdot 10^{-3}$ Н

Задача 2. Шарик массой $m=4$ г, несущий заряд $q_1=278$ нКл, подвешен на нити. При приближении к нему заряда $q_2$ противоположного знака нить отклонилась на угол $\alpha=45^{\circ}$ от вертикального направления. Найти модуль заряда $q_2$ , если расстояние $r=6$ см.

Изобразим рисунок и запишем второй закон Ньютона в векторной форме для шарика:

К задаче 2

$\vec{F}+\vec{mg}=\vec{T}$

Теперь введем систему координат, где ось ординат направлена вверх, а ось абсцисс – вправо, и запишем последнее уравнение в проекциях по осям:

$mg=T \cos{\alpha}$

$F=T \sin{\alpha}$

Тогда

$T=\frac{mg}{\cos{\alpha}}$

$F=\frac{mg}{\cos{\alpha}}sin{\alpha}=mg \operatorname{tg}{\alpha}$

С другой стороны, $F=k\frac{q_1q_2}{r^2}$ , тогда

$k\frac{q_1q_2}{r^2}= mg \operatorname{tg}{\alpha}$

$q_2=\frac{ mg \operatorname{tg}{\alpha}r^2}{k q_1}$

$q_2=\frac{ 4\cdot10^{-3}\cdot 10(0,06)^2}{9\cdot10^9\cdot278\cdot10^{-9}}=5,7 \cdot10^{-8}$

Ответ: $q_2=5,7 \cdot10^{-8}$ , или 57 нКл.

Задача 3. На шелковых нитях, образующих угол $\alpha=60^{\circ}$ , подвешен заряженный шарик массой $m=10^{-3}$ кг. Снизу к нему подносят другой такой же шарик с таким же зарядом, в результате чего натяжение нити уменьшается в $n=2$ раза. Расстояние между центрами шариков $r=1$ см. Определить заряд каждого шарика и натяжение нити в этом случае.

К задаче 3

Запишем уравнение по второму закону Ньютона для шарика на нитях:

$\vec{T_1}+\vec{T_2}+\vec{mg}=0$

Или, поскольку нити одинаковые и равной длины $T_1=T_2=T$ ,

$2\vec{T}+\vec{mg}=0$

Теперь введем систему координат с осью ординат, направленной вертикально вверх, и запишем это уравнение в проекциях на нее:

$2T\cos{\frac{\alpha}{2}}-mg=0$

Или

$T =\frac{mg}{2\cos{\frac{\alpha}{2}}}$

Теперь запишем то же уравнение после того, как поднесли второй шарик:

$\vec{T_3}+\vec{T_4}+\vec{mg}+\vec{F}=0$

$T_3=T_4$

Но теперь по условию натяжение нити уменьшилось в два раза – $T_3=T_4=\frac{T}{2}$ :

$\frac{2T\cos{\frac{\alpha}{2}}}{2}+F-mg=0$

Выразим кулоновскую силу отсюда:

$T\cos{\frac{\alpha}{2}}+F-mg=0$

$F = mg- T\cos{\frac{\alpha}{2}}$

Подставим ранее полученную силу натяжения нити:

$F =mg- \cos{\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{mg}{2\cos{\frac{\alpha}{2}}}=\frac{mg}{2}$

С другой стороны, кулонова сила равна

$F=\frac{kq^2}{r^2}$

Откуда, приравнивая, получаем:

$\frac{kq^2}{r^2}=\frac{mg}{2}$

$q^2=\frac{mgr^2}{2k}$

$q=r\sqrt{\frac{mg}{2k}}=0,01\sqrt{\frac{10^{-3}\cdot10}{18\cdot10^9}}=0,745\cdot10^{-8}$

Или $q=7,45\cdot10^{-9}$ Кл, или 7,45 нКл.

Определим силу натяжения нити до внесения второго шарика:

$T =\frac{mg}{2\cos{\frac{\alpha}{2}}}=\frac{10^{-3}\cdot10}{2\cos{30^{\circ}}}=\frac{10^{-2}}{\sqrt{3}}=5,7\cdot10^{-3}$

После внесения второго шарика сила натяжения нити будет равна $\frac{T}{2}=2,8\cdot10^{-3}$ Н.

Ответ: 2,8 мН

Задача 4. Шарики А и В, массой $m=0,1$ кг каждый, имеют одинаковые по модулю и противоположные по знаку заряды $q=10$ мкКл. Шарик А подвешен на непроводящей пружине жесткостью $k=9,8$ Н/м над шариком В. В начальном положении сила кулоновского взаимодействия между шариками равна $4mg$ . Верхний конец пружины медленно поднимают. На сколько надо переместить точку О, чтобы натяжение шелковой нити BC стало равным $0$ ?

К задаче 4

Проанализируем ситуацию. Итак, понятно, что шарики притягиваются. Тогда вначале пружина обязательно растянута, и растянута сообразно кулоновской силе и силе тяжести, воздействующих на нее. Поэтому, когда мы начнем поднимать верхний конец, и верхний шарик поползет вверх, сила кулоновского взаимодействия ослабнет и растяжение пружины будет меньшим, хотя и ненулевым. То есть мы поднимем конец пружины (точку О) на одно расстояние, а расстояние между шариками изменится на большую величину.

Итак, сначала $F_1=4mg$ . Тогда сила упругости, действующая на пружину, равна

$F_{upr1}=F_1+mg=4mg+mg=5mg$

Сама кулоновская сила равна

$F_1=\frac{kq^2}{{r_1}^2}$

Откуда расстояние между шариками вначале:

$r_1^2=\frac{kq^2}{F_1}=\frac{kq^2}{4mg}$

$r_1=\sqrt{\frac{kq^2}{4mg}}$

$r_1=\frac{q}{2}\sqrt{\frac{k}{mg}}$

Из условия, что натяжение нити стало равным нулю, заключаем, что в воздухе второй шарик удерживается исключительно благодаря кулоновской силе, то есть $F_2=mg$ . Иными словами, она стала в 4 раза меньше. А это значит, что расстояние между шариками удвоилось: