Закон Кулона: задачи с нитями

В этой статье – так случайно само собой вышло – собрались задачи, в которых заряженные шарики подвешивают на нитях. Так что в задачах  на тела действует не только  Кулонова сила, но и силы тяжести, силы упругости и силы натяжения нитей.

Задача 1. Два одинаковых шарика массой г каждый, заряжены одинаковыми зарядами, соединены нитью и подвешены к потолку. Какой заряд должен иметь каждый шарик, чтобы натяжение нитей было одинаковым? Расстояние между центрами шариков м. Чему равно натяжение каждой нити?

Изобразим оба шарика и нарисуем вектора всех сил, приложенных к обоим шарикам. Так как шарики заряжены одноименно, они будут отталкиваться друг от друга. Таким образом, кулоновская сила будет «подталкивать» верхний шарик, и наоборот, «жать книзу» нижний.

Тогда для верхнего шарика второй закон Ньютона запишем в виде:

   

Для нижнего шарика:

   

Из условия и первого уравнения вытекает, что

   

   

   

   

   

Определим натяжение нитей:

   

Ответ:  Кл,  Н

 

Задача 2. Шарик массой г, несущий заряд нКл, подвешен на нити. При приближении к нему заряда противоположного знака  нить отклонилась на угол от вертикального направления. Найти модуль заряда , если расстояние см.

Изобразим рисунок и запишем второй закон Ньютона в векторной форме для шарика:

   

Теперь введем систему координат, где ось ординат направлена вверх, а ось абсцисс – вправо, и запишем последнее уравнение в проекциях по осям:

   

   

Тогда

   

   

С другой стороны, , тогда

   

   

   

Ответ: , или 57 нКл.

Задача 3. На шелковых нитях, образующих угол  ,  подвешен заряженный шарик массой кг. Снизу к нему подносят другой такой же шарик с таким же зарядом, в результате чего натяжение нити уменьшается в раза. Расстояние между центрами шариков см.  Определить заряд каждого шарика и натяжение нити в этом случае.

Запишем уравнение по второму закону Ньютона для шарика на нитях:

   

Или, поскольку нити одинаковые и равной длины ,

   

Теперь введем систему координат  с осью ординат, направленной вертикально вверх, и запишем это уравнение в проекциях на нее:

   

Или

   

Теперь запишем то же уравнение после того, как поднесли второй шарик:

   

   

Но теперь по условию натяжение нити уменьшилось в два раза – :

   

Выразим кулоновскую силу отсюда:

   

   

Подставим ранее полученную силу натяжения нити:

   

С другой стороны, кулонова сила равна

   

Откуда, приравнивая, получаем:

   

   

   

Или Кл, или 7,45 нКл.

Определим силу натяжения нити до внесения второго шарика:

   

После внесения второго шарика сила натяжения нити будет равна Н.

Ответ: 2,8 мН

 

Задача 4. Шарики А и В, массой кг каждый,  имеют одинаковые по модулю и  противоположные по знаку заряды мкКл. Шарик А  подвешен на непроводящей пружине  жесткостью Н/м над шариком В.  В начальном положении сила кулоновского взаимодействия между шариками равна . Верхний конец пружины медленно поднимают. На сколько надо переместить точку О, чтобы натяжение шелковой нити BC стало равным ?

Проанализируем ситуацию. Итак, понятно, что шарики притягиваются. Тогда  вначале пружина обязательно растянута, и растянута сообразно кулоновской силе и силе тяжести, воздействующих на нее. Поэтому, когда мы начнем поднимать верхний конец, и верхний шарик поползет вверх, сила кулоновского взаимодействия ослабнет и растяжение пружины будет меньшим, хотя и ненулевым. То есть мы поднимем конец пружины (точку О) на одно расстояние, а расстояние между шариками изменится на большую величину.

Итак, сначала . Тогда сила упругости, действующая на пружину, равна

   

Сама кулоновская сила равна

   

Откуда расстояние между шариками вначале:

   

   

   

Из условия, что натяжение нити стало равным нулю, заключаем, что в воздухе второй шарик удерживается исключительно благодаря кулоновской силе, то есть . Иными  словами, она стала в 4 раза меньше. А это значит, что расстояние между шариками удвоилось:

   

Это удвоение произошло, во-первых, благодаря меньшему теперь растяжению пружины, а во-вторых, за счет подъема точки О.

Сила упругости, которая теперь растягивает пружину, равна:

   

Первоначальное растяжение пружины равно:

   

Конечное растяжение пружины равно:

   

Первоначальное положение точки О относительно нижнего шарика – это начальное расстояние между шариками плюс растяжение пружины:

   

Окончательное положение точки О – аналогично:

   

Чтобы узнать разницу, надо вычесть:

   

   

Подставим то, что знаем:

   

   

   

Ответ: м, или 18 см.