Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Электростатика

Закон Кулона: сложные задачи

В этой статье собраны задачи довольно сложные, требующие знания и геометрии так же, как и физики. Здесь мы вспомним законы Ньютона, и еще раз повторим как разложить силы на проекции по осям.

Задача 1. Три точечных заряда мкКл, и расположены на окружности радиусом см так, как показано на рисунке. Найти модуль и направление  (угол с горизонтом) силы, действующей на заряд со стороны двух других.

Задача 1

Модуль силы взаимодействия зарядов и равен (заряды отталкиваются):

   

Модуль силы взаимодействия зарядов и равен (заряды притягиваются):

   

Расстояние , или сразу , определим из теоремы Пифагора:

   

Треугольник равнобедренный, острые углы равны , поэтому угол – прямой, и смежный с ним угол (угол между векторами сил и ) также прямой. Поэтому равнодействующую можно определить по теореме Пифагора:

   

   

   

   

Определим угол наклона равнодействующей к горизонту. Проще всего определить тангенс угла :

   

Однако – не искомый угол. Искомый угол – это угол . Он равен . Угол дополняет угол до , поэтому

   

Искомый угол:

   

   

Ответ: 18 Н, .

 

Задача 2. На гладкую замкнутую непроводящую нить длиной см нанизаны три бусинки с зарядами мкКл, и  . Система находится в равновесии. Найти силу натяжения нити .

Задача 2

Задача  довольно-таки непростая, так как сразу понятно, что, имея одноименные заряды, шарики будут отталкиваться друг от друга и в результате расположатся в вершинах треугольника, только вот длины сторон этого треугольника и его углы непонятно,  какие.

Обозначим стороны через , а углы через . Тогда можно записать теорему синусов для данного треугольника:

   

Модули сил взаимодействия между зарядами будут равны:

   

   

   

Из рисунка понятно, что, поскольку шарики все нанизаны на одну и ту же нить, и сила ее натяжения не может быть разной на отдельных участках, а везде одинакова, то

   

Отсюда имеем:

   

   

   

   

Или

   

Тогда

   

   

Известно, что , подставим:

   

   

Найдем :

   

Найдем :

   

И, наконец, :

   

Тогда

   

Ответ: 10 Н

 

Задача 3. Три шарика соединены между собой одинаковыми резиновыми шнурами так, что получился правильный треугольник. Система лежит на гладком горизонтальном столе. Какие одинаковые заряды надо сообщить шарикам, чтобы площадь треугольника увеличилась в 4 раза? Коэффициент жесткости каждого шнура , начальная длина .

Площадь изменяется пропорционально квадрату коэффициента подобия, поэтому, если площадь выросла  вчетверо, то, следовательно, длина шнура увеличилась вдвое: .

Тогда  модуль силы взаимодействия между соседними зарядами равен:

   

Причем удлинение шнура равно: .

Откуда величина заряда равна:

   

   

Ответ:

 

 

Задача 4. По кольцу, расположенному горизонтально, могут свободно перемещаться три шарика. Заряд первого шарика , второго и третьего – каждый. Чему равно отношение зарядов  , если при равновесии дуга между зарядами   составляет  ?

Задача 4

Шарики будут находиться в равновесии, если будет соблюдаться условие

По теореме синусов можем записать, что

   

Здесь – модули сил. Например,

   

Определим  , по теореме косинусов для треугольника :

   

Или

   

Тогда сила равна:

   

Сила взаимодействия между зарядами равна:

   

Определим из ранее записанной теоремы синусов соотношение сил:

   

С другой стороны,

   

Приравняем правые части:

   

Откуда

   

В знаменателе имеем , заменим его выражением :

   

   

   

Ответ:

 

Задача 5. В центре равностороннего треугольника находится заряд мкКл. Какие одинаковые заряды следует поместить в вершинах треугольника, чтобы вся система находилась в равновесии?

Рассмотрим рисунок:

Задача 5

Необходимо, чтобы заряды в вершинах отталкивались, поэтому они должны быть отрицательными.

Из рисунка понятно, что условие равновесия

   

   

   

Откуда

   

– радиус описанной окружности данного треугольника, поэтому .

   

Ответ: 1 мкКл.

 

Задача 6. В непроводящей сфере радиусом см находятся 4 маленьких шарика массой г каждый. Какие по величине одноименные заряды нужно сообщить шарикам, чтобы в положении равновесия они расположились в углах квадрата со стороной ?

Задача 6

Шарики упали бы вниз, на донышко, да не тут-то было. Сила Кулона не дает им приблизиться друг к другу, и поэтому они разошлись на то максимальное расстояние, которое позволила им сила тяжести. Шарики опираются о стенку сферы  и на них действует, кроме упомянутых силы  тяжести и кулоновой силы,  еще и сила реакции опоры.

Нарисуем вид сверху: из рисунка понятно, что расстояние между шариками, находящимися по диагонали квадрата, не равно , то есть шарики расположились не на диаметре сферы, а ниже. Определим, насколько: в прямоугольном треугольнике определим длину катета . Нам известна длина гипотенузы, она равна радиусу сферы, ведь – ее центр. Расстояние – радиус окружности сечения той плоскостью, в которой расположились шарики. Его можно найти из треугольника :

   

   

   

Тогда

   

   

Тогда получается, что треугольник равнобедренный, и оба острых угла у него по .

Запишем уравнение по второму закону Ньютона:

   

Распишем по осям:

   

   

Определим кулонову силу. Каждый шарик взаимодействует с тем, что напротив него (по диагонали),  и с обоими смежными шариками. Тогда:

Задача 6

   

   

Найдем силу реакции опоры:

   

Подставим силу реакции и кулонову силу:

   

   

   

   

   

Ответ: 2,7 мкКл

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *