Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Электростатика

Закон Кулона. Силы и ускорения.

В статье рассмотрены задачи, сочетающие законы динамики и взаимодействие зарядов. Здесь встретится и сила упругости, и сила натяжения нити, и нормальное ускорение при движении по окружности. Задачи среднего уровня сложности.

 

Задача 1. Два одинаковых заряда , соединенных резиновыми шнурами со стенками так, как показано на рисунке, находятся на расстоянии друг от друга. Расстояние между стенками , длина каждого недеформированного шнура . Определить жесткость шнура, массой зарядов пренебречь.

Жесткость шнура равна  , где – сила натяжения шнура, – удлинение шнура.

Определим, насколько шнур стал длиннее.

   

К задаче 1.

Определим силу кулоновского взаимодействия зарядов:

   

Определим силу натяжения шнура, для этого приравняем проекции сил кулоновского взаимодействия и натяжения шнуров:

   

   

Найдем косинус угла из геометрических соображений:

   

Тогда можем подставить все в формулу для жесткости:

   

Ответ: .

 

Задача 2. Внутри гладкой сферы диаметром находится маленький заряженный шарик. Какой минимальной величины заряд нужно поместить в нижней точке сферы, для того чтобы шарик находился в ее верхней точке в устойчивом равновесии? Заряд шарика , его масса .

К задаче 2

Минимальная сила, которая может нам понадобиться, это кулонова сила, равная силе тяжести. Тогда

   

   

Посмотрим, достаточно ли этого, чтобы равновесие было устойчивым: если шарик отклонится на небольшой угол от вертикали, то кулонова сила может быть разложена на две составляющие, причем раскладывать силу будем, направив ось по касательной к сфере, а ось – перпендикулярно касательной. Тогда проекция кулоновой силы на данное направление равна , а проекция силы тяжести на это же направление равна . Чтобы шарик возвращался назад в точку равновесия нужно, чтобы проекция кулоновой слы была бы больше проекции силы тяжести. Осталось установить, как соотносятся углы и . Посмотрим на рисунок: угол – центральный, а угол – вписанный. Поэтому .

Тогда:

   

В силу малости углов можно принять , . Тогда

   

   

   

Иными словами, устойчивым равновесие будет, если

   

Ответ:

 

Задача 3. Два заряженных шарика соединены нитью см. Отношение масс шариков , заряды по модулю одинаковы Кл, но противоположны по знаку. Какую минимальную внешнюю силу надо приложить к шарику массой , чтобы в процессе движения нить не провисала?

Шарики заряжены одноименно, то есть будут притягиваться. Нужно, чтобы левый шарик «убегал» от правого с определенным ускорением. Нарисуем чертеж:

К задаче 3

Запишем второй закон Ньютона для левого шарика:

   

Здесь – внешняя сила, – кулонова сила, – сила натяжения нити.

Для правого шарика

   

Чтобы нить не провисала, достаточно чтобы натяжение нити было нулевым, :

   

   

Подставим второе в первое:

   

   

Подставим ускорение из записанного ранее равенства:

   

   

   

Ответ: 27 мН

 

Задача 4. Вокруг неподвижного положительного заряда Кл движется по окружности отрицательный заряд. Радиус окружности 1 см. Один оборот заряд совершает за время с.  Найти отношение заряда к массе для движущегося заряда.

При движении по окружности всегда присутствует нормальное ускорение, поворачивающее вектор скорости. Чтобы его найти, надо бы узнать скорость движения заряда. Мы знаем время прохождения одного оборота, длина же окружности радиуса равна , поэтому линейная скорость движения заряда равна .

Нормальное ускорение:

   

Кулонова сила равна центростремительной:

   

   

Запишем иначе:

   

   

Ответ: Кл/кг

 

Задача 5. Шарик массой и зарядом , подвешенный на непроводящей нити длиной  ,  вращается вокруг вертикальной оси так, что нить образует с вертикалью угол . Определить период  обращения шарика  и  силу натяжения нити, если неподвижный точечный заряд находится: а) в точке подвеса; б) в центре окружности, описываемой шариком; в) на оси вращения, на расстоянии от шарика  внизу.

Первый случай. Заряд – в месте прикрепления нити к потолку, сила кулоновского взаимодействия направлена вдоль нити вниз. Нарисуем картинку и запишем второй закон Ньютона.

К задаче 5 а)

В векторной форме:

   

Здесь – сила натяжения нити, – кулонова сила, – сила, обусловленная наличием нормального ускорения.

Разложим теперь вектора на проекции вдоль координатных осей. Ось абсцисс направим горизонтально вправо, ось ординат – вверх. Тогда:

   

   

Определим отсюда силу натяжения нити:

   

Теперь займемся периодом. Для его определения нужно знать скорость шарика. Распишем второе уравнение, подставив силу натяжения нити и нормальное ускорение:

   

   

Так как , то

   

   

   

Второй случай – заряд в центре окружности.

Сила кулоновского взаимодействия направлена вдоль радиуса, наружу. Нарисуем картинку и запишем второй закон Ньютона.

К задаче 5 б)

В векторной форме:

   

Разложим теперь вектора на проекции вдоль координатных осей. Ось абсцисс направим горизонтально вправо, ось ординат – вверх. Тогда:

   

   

Определим отсюда силу натяжения нити:

   

Тогда первое уравнение:

   

   

   

   

Определим период. Скорость знаем, длину окружности – тоже. Тогда:

   

Упростим немного выражение:

   

   

   

   

   

Наконец, рассмотрим третий случай, когда заряд находится на оси вращения внизу. Сила кулоновского взаимодействия направлена вдоль линии, проведенной через заряды, вверх и влево.

Нарисуем картинку и запишем второй закон Ньютона.

К задаче 5 в)

В векторной форме:

   

Разложим теперь вектора на проекции вдоль координатных осей. Ось абсцисс направим горизонтально вправо, ось ординат – вверх. Тогда:

   

   

Определим отсюда силу натяжения нити:

   

   

   

   

   

Зная скорость, определим период:

   

   

 

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *