Закон Кулона и напряженность поля. Снова шарики на нитках

В этой статье я возвращаюсь к теме шариков на нитках, хотя задачи на эту тему на сайте есть. Помните о том, что в поле заряженный предмет обладает потенциальной энергией – о ней часто забывают, а ее обязательно нужно включить в расчет. В каждой из этих задач было составлено уравнение по второму закону Ньютона: внимательно следите за записью проекций, не путайте тригонометрические функции.

Задача 1. Заряженный шарик массой 2 г подвешен на нити длиной 1 м и движется по окружности в горизонтальной плоскости. В центре окружности помещен шарик с таким же зарядом. Угол отклонения нити от вертикали равен , угловая скорость вращения равна 1 рад/с.  Определите заряд каждого шарика.

Сначала определим различные расстояния, например, радиус окружности, по которой вращается шарик:

   

Тогда можно найти линейную скорость шарика:

   

Запишем уравнения Ньютона в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси:

   

   

Из последнего

   

Подставляем в первое:

   

Кулонова сила взаимодействия зарядов равна

   

Тоже подставим:

   

   

Подставим также нормальное ускорение, ведь нам известна скорость шарика, поэтому:

   

   

Отсюда уже можно найти заряды шариков:

   

   

Ответ: 0,51 мкКл

Задача 2. Четыре заряда связаны нитями длиной каждая. Определите угол между нитями.

Рассмотрим рисунок.

Запишем силы взаимодействия между зарядами – большими, маленькими, и между маленьким и большим. Для этого нужно обозначить расстояния между зарядами. Обозначим большую диагональ – , а меньшую – :

   

   

   

Теперь запишем уравнения для двух точек, А и В, (по 2 закону, в проекциях на оси) –  для точки А по горизонтальной оси, а для В – по вертикальной.

   

   

Из первого уравнения

   

Из второго уравнения

   

Можно приравнять правые части:

   

Или

   

Подставив силы, получим:

   

Но , поэтому

   

Или это можно переписать в следующем виде:

   

   

   

Ответ:

Задача 3. Три тонкие металлические пластины, расположенные параллельно друг другу, имеют заряды , и ( мкКл). Расстояние между соседними пластинами см, площадь каждой пластины м. Найдите силу, действующую на среднюю пластину.

Определим напряженность поля между пластинами 1 и 3. Пока забудем про вторую пластину, мы ее потом в это поле внесем.

   

   

Так как заряды первой и третьей пластин разных знаков, то вектора напряженностей сложатся, и итоговая напряженность будет равна

   

Теперь в это поле вносим вторую пластину. Так как расстояние между пластинами много меньше их линейных размеров (об этом мы будем судить по площади), то поле однородно, и неважно, где (на каких расстояниях от первой и третьей) находится вторая пластина. Сила будет равна

   

Ответ: 45,2 Н.

 

Задача 4. Тонкое проволочное кольцо радиусом имеет некоторый электрический заряд .  В центре кольца располагается одноименный с зарядом заряд , причем . Сила, с которой растянуто кольцо, равна . Определите заряд , который имеет кольцо.

Пусть малый элемент кольца, ограниченный дугой в радиан, имеет малый заряд

   

Тогда этот малый элемент будет взаимодействовать с большим зарядом в центре кольца с силой

   

Данная нам сила, с которой растянуто кольцо, может быть найдена как

   

   

   

Откуда

   

Ответ:

Задача 5. Шар массой 0,1 кг и зарядом подвешен на изолирующей нити в однородном электрическом поле напряженностью , причем вектор направлен горизонтально влево.  Шар отвели вправо до угла отклонения нити от вертикали на  и отпустили.  Найдите натяжение нити при прохождении шариком нижней точки траектории.

Шарик обладает энергией в своем стартовом положении. Это не только потенциальная энергия поля тяжести, но и потенциальная энергия электрического поля:

   

Определим, чему будут равны отрезки и :

   

   

Потенциальная энергия шарика перейдет в кинетическую:

   

То есть можно определить квадрат скорости:

   

Следовательно, нормальное ускорение шарика будет равно

   

Теперь для нижнего положения шарика запишем второй закон Ньютона:

   

Или

   

Подставим ранее найденное нормальное ускорение:

   

Упрощая,  получим

   

Численный ответ:

   

Ответ: 1,51 Н