Закон Кулона и малые колебания

 

В этой статье затронута тема малых колебаний (повторим тему и формулы),  а также и задачи с нитями: вспомним второй закон Ньютона. Старайтесь все нанести на рисунок: вектора сил,  углы, можно обозначить длины некоторых отрезков. Хороший рисунок – это часто половина решения.

Задача 1. Четыре положительных заряда связаны нитями одинаковой длины , как показано на рисунке. Определить силу натяжения нити , связывающей заряды .

Рассмотрим рисунок.

Одинаковыми цветами на нем показаны равные силы. Тогда для силы натяжения нити можно записать уравнение по второму закону Ньютона в векторном виде:

   

А в проекциях на вертикаль это уравнение запишется так:

   

Откуда искомая сила натяжения нити будет равна:

   

Стало понятно, что без силы не обойтись. Поэтому, чтобы найти ее, запишем уравнение по второму закону Ньютона для заряда :

   

А в проекциях на нить уравнение запишем так:

   

Тогда

   

Найдем теперь силу :

   

Определим силы взаимодействия зарядов:

   

   

   

Угол , так как все нити равной длины. Тогда , и можно упростить выражение:

   

   

   

   

 

Задача 2. Четыре заряда мкКл, мкКл ,  мкКл  и  мкКл  расположены в вершинах квадрата со стороной м. В центр квадрата помещен заряд мкКл. Найти силу, действующую на центральный заряд.

Искомая сила представляет собой векторную сумму сил, действующих на заряд. Так как диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам, то центральный заряд равноудален ото всех зарядов в вершинах. Кроме того, диагонали квадрата пересекаются под прямым углом. Значит, можно рассчитать сначала равнодействующие для зарядов, расположенных по диагоналям, а потом  равнодействующую равнодействующих  определить по теореме Пифагора:

   

Здесь учтено, что в углах квадрата заряды отрицательные, а в центре – положительный, поэтому все силы направлены от положительного заряда к отрицательным и в итоге при векторном сложении нам придется вычитать из большего по длине вектора меньший.

При стороне квадрат имеет диагональ, равную , а полдиагонали – .

При расчете сил взаимодействия между зарядами используется квадрат расстояния, для всех зарядов это будет .

Тогда:

   

   

   

   

   

Ответ:  Н.

 

Задача 3. Секундный маятник ( c) состоит из шарика массой г, подвешенного на шелковой нити. Шарик заряжают отрицательно, а под ним на расстоянии см помещают другой шарик с таким же по модулю, но положительным зарядом. При этом период колебаний становится с. Вычислить силу взаимодействия между шариками и заряд каждого шарика.

Период колебаний шарика до того, как под ним поместили заряд, был равен

   

Определим длину нити:

   

После того  как шарик зарядили и поднесли другой заряд, сила взаимодействия зарядов

   

Так как кулонова сила направлена вниз, то к ускорению свободного падения добавится составляющая, обусловленная этой силой:

   

Тогда

   

А длина нити:

   

Поскольку длина нити не меняется, то приравняем длину нити, выраженную через , к длине, выраженной через :

   

Таким образом,

   

   

Тогда, зная добавочное ускорение, найдем силу:

   

   

Из равенства (приравниваем два выражения для ускорений)

   

Найдем заряд:

   

Теперь можно считать:

   

Ответ: 88,2 мН, мкКл

Задача 4. На концах тонкого непроводящего горизонтального стержня длиной м закреплены две маленькие бусинки, а третья надета на стержень, по которому она может перемещаться без трения. Всем бусинкам сообщают одинаковые заряды Кл. Найти период малых колебаний подвижной бусинки. Масса бусинки г.

Период колебаний бусинки может быть рассчитан по формуле:

   

Здесь – некоторый коэффициент, играющий роль коэффициента жесткости. Он может быть определен из соотношения:

   

Где – смещение бусинки из положения равновесия.

Сила, действующая на бусинку при выходе из положения равновесия (возвращающая сила ) может быть записана как равнодействующая двух сил, действующих на бусинку со стороны обоих зарядов:

   

   

Приведем к общему знаменателю левую часть:

   

Упростим:

   

   

   

Откуда :

   

Тогда период колебаний равен:

   

Так как величина очень маленькая – ведь речь идет о малых колебаниях – то ею можно пренебречь. Кроме того, . Тогда:

   

Так как , то

   

   

Ответ: 0,83 с

 

Задача 5. На концах гладкого непроводящего горизонтального стержня длиной см закреплены два заряда и . По стержню без трения может скользить бусинка массой г. Бусинке сообщают заряд и выводят из положения равновесия. Период малых колебаний бусинки   c. Найти заряд, сообщенный  бусинке.

Поскольку заряды положительные, то и у бусинки тоже должен быть положительный заряд, иначе она притянется к большему по модулю заряду сразу, как только ее выведут из состояния равновесия. Так как заряды не равны по модулю, то очевидно, что начальное положение бусинки – не середина стержня. Найдем ее положение равновесия. Обозначим расстояние от первого заряда за , тогда от бусинки до второго , и, раз она находится в состоянии равновесия, то ее силы взаимодействия с зарядами равны:

   

   

Приравниваем:

   

   

   

   

   

Оставляем только положительный корень, так как отрицательный означает, что еще одно положение равновесия есть, но уже не на стержне.

Период колебаний бусинки может быть рассчитан по формуле:

   

Здесь – некоторый коэффициент, играющий роль коэффициента жесткости. Он может быть определен из соотношения:

   

Где – смещение бусинки из положения равновесия.

Сила, действующая на бусинку при выходе из положения равновесия (возвращающая сила ) может быть записана как равнодействующая двух сил, действующих на бусинку со стороны обоих зарядов:

   

Если от первого заряда до положения равновесия бусинки , то от положения равновесия до второго заряда – .

   

Приведем к общему знаменателю левую часть:

   

Упростим:

   

   

   

   

 

Определим квадрат периода:

   

Подставляем

   

Выразим :

   

Так как величина очень маленькая – ведь речь идет о малых колебаниях – то ею можно пренебречь:

   

   

Подставим также :

   

Определим, чему равен заряд  численно:

   

Ответ: .

 

Задача 6. Два одноименных заряда ( Кл) укреплены на расстоянии см друг от друга.  Посередине между ними на тонком непроводящем стержне , перпендикулярном к линии, соединяющей заряды, находится бусинка массой г, которая может скользить по стержню. Бусинке сообщают заряд . Циклическая частота малых колебаний бусинки с. Определить заряд , силу тяжести не учитывать.

Очевидно, что у бусинки заряд отрицательный, поскольку она при смещении из состояния равновесия (точки посередине между зарядами) будет стремиться вернуться в него. Период колебаний определяется формулой:

   

С другой стороны,

   

Тогда

   

Или:

   

Возведем в квадрат:

   

   

Здесь – некоторый коэффициент, играющий роль коэффициента упругости. Он может быть определен из соотношения:

   

Где – смещение бусинки из положения равновесия.

Сила, действующая на бусинку при выходе из положения равновесия (возвращающая сила ) может быть записана как равнодействующая двух сил, действующих на бусинку со стороны обоих зарядов:

   

   

   

Аналогично можно записать и вторую силу. Тогда при смещении бусинки, например, вверх по стержню на , возвращающая сила будет равна:

   

Упростим:

   

Подставляем:

   

С учетом малости отклонения:

   

   

Считаем:

   

Ответ: 2 мкКл