Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Гидродинамика, Олимпиадная физика

Закон Бернулли и формула Эйлера. Готовимся к олимпиадам, 9 класс

В задачах сегодняшней статьи снова “не школьные” темы: закон Бернулли и формула Эйлера (закон неразрывности струи).

Задача 1. По каналу с радиусом закругления L=30 м и шириной S=3 м течёт вода. Два манометра, находящиеся в одной горизонтальной плоскости у наружной и внутренней стенок канала, дают показания, отличающиеся на \Delta p=400 Па. Чему равна скорость воды в канале? Плотность воды \rho=1000 кг/м^3. Ответ дать в м/с, округлить до целых.

Решение.

Для трубки тока, расположенной горизонтально (h_1=h_2), уравнение Бернулли имеет вид: p_1+\frac{p\upsilon_1^2}{2}=p_2+\frac{p\upsilon_2^2}{2}. По условию задачи p_2-p_1=\Delta p. Скорость воды в канале на повороте должна подчиняться условию

    \[\omega=\frac{\upsilon}{R}=\frac{\upsilon_2}{L}=\frac{\upsilon_1}{L+S}=\frac{\upsilon}{L+\frac{S}{2}}=\frac{2\upsilon}{2L+S},\]

где \upsilon — скорость течения воды в канале на середине реки, \upsilon_1 и \upsilon_2 — скорости у берегов, соответственно.

Таким образом, \upsilon_2=\frac{2\upsilon_1 L}{2L+S} и \upsilon_1=\frac{2\upsilon(L+S)}{2L+S}.

Подставляя скорости в уравнение для \Delta p, получим

    \[\Delta p=\frac{2p\upsilon^2(2LS+S^2)}{(2L+S)^2},\]

откуда

    \[\upsilon=\sqrt{\frac{\Delta p(2L+S)^2}{2p(2LS+S^2)}}=2.\]

Ответ: 2 м/с.

 

Задача 2. На некоторых реках недалеко от устья во время прилива наблюдается бор – волна, представляющая собой резкое повышение уровня воды. Определите скорость движения бора, считая, что его форма не меняется со временем. Высота бора h=1,5 м, глубина реки H=3 м, скорость течения \upsilon=1 м/с. Ответ дать в м/с, округлить до десятых.

К задаче 2

Решение.

Пусть скорость бора равна c. Перейдём в сопутствующую систему отсчета, движущуюся со скоростью бора. Тогда вода набегает со скоростью \upsilon_1=c+\upsilon, а после бора движется с некоторой скоростью \upsilon_2. Из закона Бернулли \frac{\upsilon_1^2}{2}=gh+\frac{\upsilon_2^2}{2} и из уравнения неразрывности \upsilon_1H=\upsilon_2(H+h) получаем \upsilon_1^2=\frac{g(h+H)^2}{H+\frac{h}{2}}, окончательно c=\upsilon_1-\upsilon=6,3.

Ответ: 6,3 м/с.

Задача 3. Что произойдёт, если продувать струю воздуха между двумя шариками от пинг-понга, подвешенными на нитях?

К задаче 3

  1. Останутся неподвижными
  2. Будут двигаться вместе вправо или влево
  3. Отклонятся друг от друга
  4. Приблизятся друг к другу

Решение.

В системе отсчёта шариков воздух между ними имеет скорость, а воздух снаружи неподвижен. В соответствии с законом Бернулли давление в движущейся среде меньше, чем в неподвижной. Поэтому шарики начнут сближаться.

Ответ: 4.

 

Задача 4. На поршень горизонтально расположенного шприца площадью поперечного сечения S_1=2 см^2 действует постоянная горизонтальная сила F=5 Н. С какой скоростью вытекает струя из отверстия площадью S_2=10^{-2} см^2, если плотность жидкости \rho=1000 кг/м^3 и поршень движется равномерно? Ответ дать в м/с. Округлить до целых.

К задаче 4

Решение.

Пусть скорость движения поршня \upsilon_1, а скорость струи на выходе из шприца \upsilon_2. Тогда по уравнению Бернулли \frac{F}{S_1}+\frac{\rho\upsilon_1^2}{2}=\frac{\rho\upsilon_2^2}{2}. Но, из уравнения неразрывности \upsilon_1 S_1=\upsilon_2 S_2. Обобщая всё написанное выше, получаем, что \upsilon_2=\sqrt{\frac{2FS_1}{\rho(S_1^2-S_2^2)}}=7 м/с. Малой площадью выходного отверстия в последней формуле можно пренебречь.

Ответ: 7 м/с.

Задача 5. Вода течёт по горизонтальной трубе переменного сечения. Скорость течения в широкой части трубы 20 см/с. Определите скорость течения воды в узкой части трубы, диаметр которой в 2 раза меньше диаметра широкой части. Ответ дать в см/с, округлив до целых.

Решение.

Применим уравнение неразрывности струи \upsilon_1\cdot \pi(2d)^2=\upsilon_2\cdot \pi d^2, где \upsilon_1=20 см/с, d — диаметр узкой трубы. Откуда \upsilon_2=4\upsilon_1=80 см/с.

Ответ: 80 см/с.

 

Комментариев - 4

  • |

    Уважаемая Анна
    Гидродинамика – это не Ваша область знаний.

    Задача 1.
    На поворотах течение реки будет приблизительно безвихревым: V(R)~1/R
    Ваше решение ошибочно.

    Задача 3.
    Ваше объяснение ошибочно полностью, от начала и до конца. Абсолютное непонимание теоремы Бернулли.
    Вместо шариков повесьте 2 треуголные призмы, “остриями” к направлению продувки. Например вот так (вид сверху): ^^ . Направление продувки на картинке – сверху вниз. Призмы не притянутся, а разойдутся.

    Задача 4.
    Истекающая струя в Вашей задачке отнюдь не будет иметь площадь S2. Надо учесть так называемый коэффициент сжатия струи. Для Вашей геометрии – приблизительно 0,7

    Ответить
    • Анна
      |

      1. Там это и написано. Решение верно.
      3. Воздух продувают горизонтально. Решение верно.
      4. Мы с Вами в рамках школьной физики. Решение верно.

      Ответить
      • |

        1) Нет. Ваше решение предполагает, что угловая_скорость=const(R) Это верно для вращения твердого тела, но отнюдь не всегда верно для вращения жидкости.
        3) Вместо шариков повесьте на ниточках 2 призмы и продуйте воздух между ними. Вас ожидает сюрприз.
        4) Формула v_1*S_1=v_2*S_2 в геометрии данной задачки ошибочна.
        Правильная формула v_1*S_1=v_2*0,7*S_2
        Другое дело, что в приближении S_2<<S_1 площадь S2 вообще не входит в ответ, так что на правильность ответа "скорость истечения = 7м/с" ошибка в решении не повлияла. Вот если бы Вы решали другую задачку: "каков будет расход воды через отверстие?", то Ваша ошибка в промежуточной формуле немедленно бы проявилась в ответе.

        Ответить
        • Анна
          |

          Не буду спорить. Но это задачи для школьников. Здесь лучшее – враг хорошего. Для них все упрощено. Так что оставим. А с призмами сделаю, интересно, хоть в задачах и не призмы, а именно шары.

          Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *