Задания ЕГЭ-2007. С1 и С3

Предлагаю разбор двух заданий ЕГЭ-2007. Первое – уравнение, второе – неравенство.

1. Решите уравнение:

[pmath]3*4^x-10*2^x+4=x{{x^2-3x+3}/{(x-1)^3+1}}[/pmath]

Cразу бросается в глаза показательная левая часть уравнения. Чтобы решить показательное уравнение, нам придется сначала упростить правую часть. В правой видим в знаменателе сумму кубов, давайте разложим ее по формуле приведения:

[pmath]3*4^x-10*2^x+4=x{{x^2-3x+3}/{((x-1)+1)((x-1)^2-(x-1)+1)}}[/pmath]

После упрощения имеем:

[pmath]3*4^x-10*2^x+4=x{{x^2-3x+3}/{x(x^2-3x+3)}}[/pmath]

Так как дискриминант выражения   [pmath]x^2-3x+3[/pmath]  меньше ноля, то значение выражения положительно при любых х, и мы можем смело сокращать:

[pmath]3*4^x-10*2^x+4=1[/pmath]

Осталось решить показательное уравнение. Введем замену: [pmath]a=2^x[/pmath]

Тогда:

[pmath]3a^2-10a+3=0[/pmath]

Решаем квадратное уравнение:

[pmath]D=b^2-4ac[/pmath]

[pmath]D=10^2-4*3*3=64[/pmath]

[pmath]a_1=1/3[/pmath]

[pmath]a_2=3[/pmath]

Проводим обратную замену и получаем решения, их два:

[pmath]2^x=1/3[/pmath]

[pmath]x=-log_2{3}[/pmath]

и

[pmath]2^x=3[/pmath]

[pmath]x=log_2{3}[/pmath]

И второе задание:

найдите все значения х,  при которых точка графика функции [pmath]y=log_2(x-1)[/pmath] более удалена от оси абсцисс, чем соответствующая точка графика функции [pmath]y=log_2(5x-1)[/pmath].

Здесь необходимо решить неравенство, и это неравенство будет содержать модули, так как модуль как раз и есть расстояние. Тогда наше неравенство будет выглядеть так:

[pmath]delim{|}{log_2(x-1)}{|}>delim{|}{log_2(5x-1)}{|}[/pmath][pmath][/pmath]

Сначала найдем ОДЗ:

[pmath]5x-1>0[/pmath][pmath][/pmath]

[pmath]5x>1[/pmath][pmath][/pmath]

[pmath]x>0,2[/pmath][pmath][/pmath]

[pmath]x-1>0[/pmath][pmath][/pmath]

[pmath]x>1[/pmath][pmath][/pmath]

В целом ОДЗ будет [pmath]x>1[/pmath][pmath][/pmath].

Теперь наша задача – раскрыть модули. Для этого понадобится знать, в каких точках подмодульное выражение меняет знак. Приравняем подмодульные выражения к нулю и решим полученные уравнения:

[pmath]log_2(x-1)=0[/pmath]

[pmath]x-1=2^0[/pmath]

[pmath]x-1=1[/pmath]

[pmath]x=2[/pmath]

[pmath]log_2(5x-1)=0[/pmath]

[pmath]5x-1=2^0[/pmath]

[pmath]5x-1=1[/pmath]

[pmath]5x=2[/pmath]

[pmath]x=0,4[/pmath]

Итак, получили две точки: [pmath]x=2[/pmath] и [pmath]x=0,4[/pmath]. Нарисуем, какие знаки будут принимать оба подмодульных выражения (римскими цифрами) на полученных интервалах:

Теперь на каждом интервале раскрываем модули. На первом оба раскроем с отрицательными знаками, на втором первый модуль – с отрицательным, а второй  -с положительным знаком, и на третьем оба со знаком плюс. Полученные неравенства объединим в систему и решим. Делаем!

Первое неравенство:

[pmath]-log_2(x-1)+log_2(5x-1)>0[/pmath][pmath][/pmath]

Второе неравенство:

[pmath]-log_2(x-1)-log_2(5x-1)>0[/pmath][pmath][/pmath]

Третье неравенство:

[pmath]log_2(x-1)-log_2(5x-1)>0[/pmath][pmath][/pmath]

Решаем первое:

[pmath]log_2({5x-1}/{x-1})>0[/pmath][pmath][/pmath]

[pmath]{{5x-1}/{x-1}}>1[/pmath][pmath][/pmath]

[pmath]{{(5x-1)-(x-1)}/{x-1}}>0[/pmath][pmath][/pmath]

[pmath]{{4x}/{x-1}}>0[/pmath][pmath][/pmath]

Левая часть ([pmath]x<0[/pmath][pmath][/pmath]) нам не подходит по ОДЗ, правая ([pmath]x>1[/pmath][pmath][/pmath]) годится,  берем ее в ответ.

Решаем второе:

[pmath](5x-1)(x-1)<2^0[/pmath][pmath][/pmath]

[pmath]5x^2-6x<0[/pmath][pmath][/pmath]

[pmath]x(5x-6)>0[/pmath][pmath][/pmath]

Решаем третье:

[pmath]log_2({x-1}/{5x-1})>0[/pmath][pmath][/pmath]

[pmath]{{x-1}/{5x-1}}>1[/pmath][pmath][/pmath]

[pmath]{{(x-1)-(5x-1)}/{5x-1}}>0[/pmath][pmath][/pmath]

[pmath]{{-4x}/{5x-1}}>0[/pmath][pmath][/pmath]

Решение этого неравенства нас не устроит по ОДЗ. Накладываем решения первого и второго друг на друга, имеем:

[pmath]1<x<1,2[/pmath][pmath][/pmath]

Этот интервал – и есть ответ задачи.