Предлагаю разбор двух заданий ЕГЭ-2007. Первое – уравнение, второе – неравенство.
1. Решите уравнение:
[pmath]3*4^x-10*2^x+4=x{{x^2-3x+3}/{(x-1)^3+1}}[/pmath]
Cразу бросается в глаза показательная левая часть уравнения. Чтобы решить показательное уравнение, нам придется сначала упростить правую часть. В правой видим в знаменателе сумму кубов, давайте разложим ее по формуле приведения:
[pmath]3*4^x-10*2^x+4=x{{x^2-3x+3}/{((x-1)+1)((x-1)^2-(x-1)+1)}}[/pmath]
После упрощения имеем:
[pmath]3*4^x-10*2^x+4=x{{x^2-3x+3}/{x(x^2-3x+3)}}[/pmath]
Так как дискриминант выражения [pmath]x^2-3x+3[/pmath] меньше ноля, то значение выражения положительно при любых х, и мы можем смело сокращать:
[pmath]3*4^x-10*2^x+4=1[/pmath]
Осталось решить показательное уравнение. Введем замену: [pmath]a=2^x[/pmath]
Тогда:
[pmath]3a^2-10a+3=0[/pmath]
Решаем квадратное уравнение:
[pmath]D=b^2-4ac[/pmath]
[pmath]D=10^2-4*3*3=64[/pmath]
[pmath]a_1=1/3[/pmath]
[pmath]a_2=3[/pmath]
Проводим обратную замену и получаем решения, их два:
[pmath]2^x=1/3[/pmath]
[pmath]x=-log_2{3}[/pmath]
и
[pmath]2^x=3[/pmath]
[pmath]x=log_2{3}[/pmath]
И второе задание:
найдите все значения х, при которых точка графика функции [pmath]y=log_2(x-1)[/pmath] более удалена от оси абсцисс, чем соответствующая точка графика функции [pmath]y=log_2(5x-1)[/pmath].
Здесь необходимо решить неравенство, и это неравенство будет содержать модули, так как модуль как раз и есть расстояние. Тогда наше неравенство будет выглядеть так:
[pmath]delim{|}{log_2(x-1)}{|}>delim{|}{log_2(5x-1)}{|}[/pmath][pmath][/pmath]
Сначала найдем ОДЗ:
[pmath]5x-1>0[/pmath][pmath][/pmath]
[pmath]5x>1[/pmath][pmath][/pmath]
[pmath]x>0,2[/pmath][pmath][/pmath]
[pmath]x-1>0[/pmath][pmath][/pmath]
[pmath]x>1[/pmath][pmath][/pmath]
В целом ОДЗ будет [pmath]x>1[/pmath][pmath][/pmath].
Теперь наша задача – раскрыть модули. Для этого понадобится знать, в каких точках подмодульное выражение меняет знак. Приравняем подмодульные выражения к нулю и решим полученные уравнения:
[pmath]log_2(x-1)=0[/pmath]
[pmath]x-1=2^0[/pmath]
[pmath]x-1=1[/pmath]
[pmath]x=2[/pmath]
[pmath]log_2(5x-1)=0[/pmath]
[pmath]5x-1=2^0[/pmath]
[pmath]5x-1=1[/pmath]
[pmath]5x=2[/pmath]
[pmath]x=0,4[/pmath]
Итак, получили две точки: [pmath]x=2[/pmath] и [pmath]x=0,4[/pmath]. Нарисуем, какие знаки будут принимать оба подмодульных выражения (римскими цифрами) на полученных интервалах:
Теперь на каждом интервале раскрываем модули. На первом оба раскроем с отрицательными знаками, на втором первый модуль – с отрицательным, а второй -с положительным знаком, и на третьем оба со знаком плюс. Полученные неравенства объединим в систему и решим. Делаем!
Первое неравенство:
[pmath]-log_2(x-1)+log_2(5x-1)>0[/pmath][pmath][/pmath]
Второе неравенство:
[pmath]-log_2(x-1)-log_2(5x-1)>0[/pmath][pmath][/pmath]
Третье неравенство:
[pmath]log_2(x-1)-log_2(5x-1)>0[/pmath][pmath][/pmath]
Решаем первое:
[pmath]log_2({5x-1}/{x-1})>0[/pmath][pmath][/pmath]
[pmath]{{5x-1}/{x-1}}>1[/pmath][pmath][/pmath]
[pmath]{{(5x-1)-(x-1)}/{x-1}}>0[/pmath][pmath][/pmath]
[pmath]{{4x}/{x-1}}>0[/pmath][pmath][/pmath]
Левая часть ([pmath]x<0[/pmath][pmath][/pmath]) нам не подходит по ОДЗ, правая ([pmath]x>1[/pmath][pmath][/pmath]) годится, берем ее в ответ.
Решаем второе:
[pmath](5x-1)(x-1)<2^0[/pmath][pmath][/pmath]
[pmath]5x^2-6x<0[/pmath][pmath][/pmath]
[pmath]x(5x-6)>0[/pmath][pmath][/pmath]
Решаем третье:
[pmath]log_2({x-1}/{5x-1})>0[/pmath][pmath][/pmath]
[pmath]{{x-1}/{5x-1}}>1[/pmath][pmath][/pmath]
[pmath]{{(x-1)-(5x-1)}/{5x-1}}>0[/pmath][pmath][/pmath]
[pmath]{{-4x}/{5x-1}}>0[/pmath][pmath][/pmath]
Решение этого неравенства нас не устроит по ОДЗ. Накладываем решения первого и второго друг на друга, имеем:
[pmath]1<x<1,2[/pmath][pmath][/pmath]
Этот интервал – и есть ответ задачи.
Через недельку...
и за этот ответ спасибо. Теперь уж...
Огромное спасибо...
А почему я не вижу нормального текста ? Половина текст ,а другая половина символы ...
Ждем-с. Скоро...