Задания ЕГЭ-2007. С1 и С3

Предлагаю разбор двух заданий ЕГЭ-2007. Первое – уравнение, второе – неравенство.

1. Решите уравнение:

$3*4^x-10*2^x+4=x{{x^2-3x+3}/{(x-1)^3+1}}$

Cразу бросается в глаза показательная левая часть уравнения. Чтобы решить показательное уравнение, нам придется сначала упростить правую часть. В правой видим в знаменателе сумму кубов, давайте разложим ее по формуле приведения:

$3*4^x-10*2^x+4=x{{x^2-3x+3}/{((x-1)+1)((x-1)^2-(x-1)+1)}}$

После упрощения имеем:

$3*4^x-10*2^x+4=x{{x^2-3x+3}/{x(x^2-3x+3)}}$

Так как дискриминант выражения x^2-3x+3 меньше ноля, то значение выражения положительно при любых х, и мы можем смело сокращать:

3*4^x-10*2^x+4=1

Осталось решить показательное уравнение. Введем замену: a=2^x

Тогда:

3a^2-10a+3=0

Решаем квадратное уравнение:

D=b^2-4ac

D=10^2-4*3*3=64

a_1=1/3

a_2=3

Проводим обратную замену и получаем решения, их два:

2^x=1/3

$x=-log_2{3}$

2^x=3

$x=log_2{3}$

И второе задание:

найдите все значения х, при которых точка графика функции y=log_2(x-1) более удалена от оси абсцисс, чем соответствующая точка графика функции y=log_2(5x-1) .

Здесь необходимо решить неравенство, и это неравенство будет содержать модули, так как модуль как раз и есть расстояние. Тогда наше неравенство будет выглядеть так:

$delim{|}{log_2(x-1)}{|}>delim{|}{log_2(5x-1)}{|}” title=”delim{|}{log_2(x-1)}{|}>delim{|}{log_2(5x-1)}{|}”/><img src=$

Сначала найдем ОДЗ:

5x-1>0″ title=”5x-1>0″/><img src=

5x>1″ title=”5x>1″/><img src=

x>0,2″ title=”x>0,2″/><img src=

x-1>0″ title=”x-1>0″/><img src=

x>1″ title=”x>1″/><img src=

В целом ОДЗ будет x>1″ title=”x>1″/><img src= .

Теперь наша задача – раскрыть модули. Для этого понадобится знать, в каких точках подмодульное выражение меняет знак. Приравняем подмодульные выражения к нулю и решим полученные уравнения:

log_2(x-1)=0

x-1=2^0

x-1=1

x=2

log_2(5x-1)=0

5x-1=2^0

5x-1=1

5x=2

x=0,4

Итак, получили две точки: x=2 и x=0,4 . Нарисуем, какие знаки будут принимать оба подмодульных выражения (римскими цифрами) на полученных интервалах:

задача 13 профиль

Теперь на каждом интервале раскрываем модули. На первом оба раскроем с отрицательными знаками, на втором первый модуль – с отрицательным, а второй -с положительным знаком, и на третьем оба со знаком плюс. Полученные неравенства объединим в систему и решим. Делаем!

Первое неравенство:

-log_2(x-1)+log_2(5x-1)>0″ title=”-log_2(x-1)+log_2(5x-1)>0″/><img src=