Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 10-11 класс, ОГЭ 23 (ГИА С3), Функции

Задания 23 (С3) ОГЭ 2015 на построение графиков функций.


Здравствуйте, друзья! Я недавно приобрела новую книжечку для подготовки к ОГЭ (страшно люблю книжки покупать), и там попались мне на глаза задания С3, которые показались интересными для разбора. Поэтому сегодня я предлагаю их вашему вниманию. Задачи на построение сложных графиков функций вы найдете также в статье “С3 ГИА – построение графиков функций”

Пример 1. Задача из пособия “Математика. ОГЭ 2015. 20 типовых вариантов. Рослова Л.О., Кузнецова Л.В., Шестаков А.С., Ященко И.В.” Вариант 6, задача 23.

Постройте график функции y=(sqrt{4-x})^2/{x+2}. Найдите все значения а, при которых прямая y=a не имеет с графиком данной функции общих точек.


 

Сначала займемся областью определения данной функции: x<>-2″ title=”x<>-2″/><img src=, так как на ноль делить нельзя, и  4-x>=0″ title=”4-x>=0″/><img src=, то есть x<=4,так как подкоренное выражение неотрицательно.

Теперь можно преобразовать выражение, попробовать его упростить. Получим:

y=(sqrt{4-x})^2/{x+2}={4-x}/{x+2}

Выделим целую часть:

 y={4-x}/{x+2}=-{x-4}/{x+2}=-{x+2-6}/{x+2}=-(1-6/{x+2})=-1+6/{x+2}

Теперь картина стала совсем ясной: имеем обычную гиперболу с коэффициентом 6  y=6/x, которую сместили влево на 2 единицы  y=6/{x+2}, а потом сместили на одну единицу вниз:  y=6/{x+2}-1. Причем существует эта наша гипербола, согласно области определения, только до точки 4, а в точке (-2) имеет вертикальную асимптоту. Строим:

К задаче 1

Видно, что прямая  y=-1 не будет иметь с графиком общих точек, так как является горизонтальной асимптотой. Также все прямые, лежащие выше нее, до прямой  y=0, также не будут иметь общих точек с данной функцией, а сама прямая y=0 – будет уже иметь точку пересечения с гиперболой, так как неравенство области определения – нестрогое.

Ответ:  a in[-1;0)

Пример 2. Задача из пособия “Математика. ОГЭ 2015. 20 типовых вариантов. Рослова Л.О., Кузнецова Л.В., Шестаков А.С., Ященко И.В.” Вариант 7, задача 23.

Постройте график функции y=(sqrt{x^2-4})^2/{x-2}. Найдите все значения а, при которых прямая y=a не имеет с графиком данной функции общих точек.


 

 

Область определения данной функции: x<>2″ title=”x<>2″/><img src=, так как на ноль делить нельзя, и  x^2-4>=0″ title=”x^2-4>=0″/><img src=, то есть x in (-infty; -2] union (2; infty),так как подкоренное выражение неотрицательно.

Теперь можно преобразовать выражение, попробовать его упростить. Получим:

y=(sqrt{x^2-4})^2/{x-2}={x^2-4}/{x+2}={(x-2)(x+2)}/{x+2}=x-2

Имеем прямую, параллельную биссектрисе 1 и 3 квадрантов, смещенную вниз по оси ординат на 2 единицы, и не существующую на отрезке (-2; 2]. Строим:

К задаче 2

По графику видно, что любая прямая, параллельная оси х и проходящая через точки оси y с координатами (0;4] не будет иметь общих точек с графиком функции.

Ответ:  a in( 0;4].


Пример 3. Задача из пособия “Математика. ОГЭ 2015. 20 типовых вариантов. Рослова Л.О., Кузнецова Л.В., Шестаков А.С., Ященко И.В.” Вариант 18, задача 23.

Постройте график функции y=delim{|}{x}{|}/x. Найдите все значения p, при которых прямая y=x+p  имеет с графиком данной функции 2 общие точки.


 

Кстати, здесь можно найти статью о том, как строить графики функций с модулями.

Область определения x<>0″ title=”x<>0″/><img src=

Раскрываем модуль. В положительной полуплоскости (правой)  delim{|}{x}{|}=x, в отрицательной полуплоскости (левой)  delim{|}{x}{|}=-x. Тогда в правой полуплоскости имеем  y=1, в левой полуплоскости y=-1.

Функция  y=x+p представляет собой прямую  y=x, которую можно двигать вверх-вниз на p единиц. Построим график заданной функции и подвигаем по нему прямую y=x+p:

К задаче 3

Видим, что между двумя крайними положениями прямой  y=x+p, показанными синим цветом,  то есть при  p=1 и  p=-1, когда имеем только одну общую точку, располагаются прямые, имеющие с графиком функции две общие точки. Тогда две общие точки будем иметь при  p in (-1;1).

Ответ:  p in (-1;1).

Пример 4. Задача из пособия “Математика. ОГЭ 2015. 20 типовых вариантов. Рослова Л.О., Кузнецова Л.В., Шестаков А.С., Ященко И.В.” Контрольный вариант, задача 23.

Постройте график функции y={x^4-13x^2+36}/{(x-3)(x+2)}. Найдите все значения а, при которых прямая y=c имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.

Область определения данной функции – вся числовая ось, кроме точек (-2) и (3), так как в этих точках знаменатель обращается в ноль.

Теперь упростим выражение, задающее график функции:

y={x^4-13x^2+36}/{(x-3)(x+2)}

 Разложим числитель на множители: y={z^2-13z+36}, где  z=x^2.

D=b^2-4ac=13^2-4*36=25z_{1,2}={-b pm sqrt{D}}/{2a}={13 pm 5}/2.

z_1=9.

z_2=4.

Имеем: y={(x^2-9)(x^2-4)}/{(x-3)(x+2)}=(x+3)(x-2)

Получили параболу. Точки пересечения с осью x – (-3) и (2) – это корни уравнения (x+3)(x-2)=0. Вершина параболы: y=(x+3)(x-2)=x^2+x-6 в точке (-0.5; -6.25). Не забудем о двух выколотых точках! Строим:

К задаче 4

Таким образом, если прямая y=c пройдет через эти выколотые точки, то она неминуемо пересечет только одну ветвь параболы. Тогда необходимо определить ординаты выколотых точек, для этого подставим их абсциссы в уравнение, задающее функцию. Получим две точки: (-2; -4) и (3; 6).

Однако надо учесть еще и то, что парабола всегда “растет” быстрее прямой, поэтому, если прямая пройдет через вершину параболы и через начало координат, то она уже не будет пересекаться с параболой вверху, просто “не догонит”. Поэтому еще один вариант ответа – c=-6,25.

Ответ: с=-4 и с=6.

Ну и напоследок, как всегда, самое вкусное! Задачу принес ученик, она попалась ему на пробном ОГЭ 13 марта.

Пример 5. Постройте график функции y=1/2(delim{|}{x/2-2/x}{|}+x/2+2/x) и определите по графику, сколько общих точек будет иметь график этой функции с прямой  y=c при различных значениях параметра с.

Трудно себе представить вот так, сразу, без подготовки, что называется, “на вскидку”, как будет выглядеть график этой функции. Но мы видим модуль – это часто делает функцию кусочной. То есть на одном интервале она задается одним выражением, а на другом интервале – другим. Поэтому прежде всего нужно определить, в каких точках подмодульное выражение меняет знак. Для этого приведем оба слагаемых подмодульного выражения к одному знаменателю:x/2-2/x={x^2-4}/{2x}. Теперь приравняем к нулю числитель и знаменатель полученного выражения:

 x^2-4=0x=pm 2

2x=0x=0

Нарисуем строго друг под другом числовые прямые и покажем на них динамику смены знака числителем и знаменателем, тогда можно будет определить, где и как меняет знак все подмодульное выражение.

Раскрываем модуль

На луче ( -infty;-2] раскроем модуль с отрицательным знаком, на интервале (-2;0) – с положительным, на полуинтервале (0;2] вновь с отрицательным, и, наконец, на луче (2;infty) – также с положительным. Тогда:

На первом и третьем:  y=1/2(delim{|}{x/2-2/x}{|}+x/2+2/x)=1/2(-x/2+2/x+x/2+2/x)=2/x

На втором и четвертом: y=1/2(delim{|}{x/2-2/x}{|}+x/2+2/x)=1/2(x/2-2/x+x/2+2/x)=x/2

Строим функцию по интервалам:

К задаче 5

Тогда становится видно, что при с=-1 и с=1 имеем одну точку пересечения, при c in (-1;0) и c in (1;infty) – два, а при c in ({-infty};{-1}) union [0;1) – ни одного.

Комментариев - 2

  • Надежда
    |

    А в 4 примере не будет ли еще один ответ. с=-6,25 там график функции с прямой пересекается тоже в одной точке. В точке вершины.

    Ответить
    • Анна
      |

      Спасибо, упустила.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *